Математическая статистика

математическая статистика


1. Генеральная совокупность и выборка

В предыдущем разделе нас интересовала распределение признака в некоторой совокупности элементов. Совокупность, которая объединяет все элементы, имеющая этот признак, называется генеральный. Если признак человеческий (национальность, образование, коэффициент IQ т.п.), то генеральная совокупность тАФ все население земли. Это очень большая совокупность, то есть число элементов в совокупности n велико. Число элементов называется объемом совокупности. Совокупности могут быть конечными и бесконечными. Генеральная совокупность тАУ все люди хотя и очень большая, но, естественно, конечная. Генеральная совокупность тАУ все звезды, наверное, бесконечно.

Если исследователь проводит измерение некоторой непрерывной случайной величины X, то каждый результат измерения можно считать элементом некоторой гипотетической неограниченной генеральной совокупности. В этой генеральной совокупности бесчисленная количество результатов распределены по вероятности под влиянием погрешностей в приборах, невнимательности экспериментатора, случайных помех в самом явлении и др.

Если мы проведем n повторных измерений случайной величины Х, то есть получим n конкретных различных численных значений , то этот результат эксперимента можно считать выборкой объема n из гипотетической генеральной совокупности результатов единичных измерений.

Естественно считать, что действительным значением измеряемой величины является среднее арифметическое от результатов . Эта функция от n результатов измерений называется статистикой, и она сама является случайной величиной, имеющей некоторое распределение называемая выборочным распределением. Определение выборочного распределения той или иной статистики тАФ важнейшая задача статистического анализа. Ясно, что это распределение зависит от объема выборки n и от распределения случайной величины Х гипотетической генеральной совокупности. Выборочное распределение статистики представляет собой распределение Хqв бесконечной совокупности всех возможных выборок объема n из исходной генеральной совокупности.

Можно проводить измерения и дискретной случайной величины.

Пусть измерение случайной величины Х представляет собой бросание правильной однородной треугольной пирамиды, на гранях которой написаны числа 1, 2, 3, 4. Дискретная, случайная величина Х имеет простое равномерное распределение:

Эксперимент можно производить неограниченное число раз. Гипотетической теоретической генеральной совокупностью является бесконечная совокупность, в которой имеются одинаковые доли (по 0.25) четырех разных элементов, обозначенных цифрами 1, 2, 3, 4. Серия из n повторных бросаний пирамиды или одновременное бросание n одинаковых пирамид можно рассматривать как выборку объема n из этой генеральной совокупности. В результате эксперимента имеем n чисел . Можно ввести некоторые функции этих величин , которые называются статистиками, они могут быть связаны с определенными параметрами генерального распределения.

Важнейшими числовыми характеристиками распределений являются вероятности Рi, математическое ожидание М, дисперсия D. Статистиками для вероятностей Рi являются относительные частоты , где ni тАФ частота результата i (i=1,2,3,4) в выборке. Математическому ожиданию М соответствует статистика

,

которая называется выборочным средним. Выборочная дисперсия

,

соответствует генеральной дисперсии D.

Относительная частота любого события Ва(i=1,2,3,4) в сериях из n повторных испытаний (или в выборках объема n из генеральной совокупности) будет иметь биномиальное распределение.

У этого распределения математическое ожидание равно 0.25 (не зависит от n), а среднее квадратическое отклонение равно Ва(быстро убывает с ростом n). Распределение является выборочным распределением статистики, относительная частота любого из четырех возможных результатов единичного бросания пирамиды в n повторных испытаниях. Если бы мы выбрали из бесконечной, генеральной совокупности, в которой четыре разных элемента (i=1,2,3,4) имеют равные доли по 0.25, все возможные выборки объемом n (их число также бесконечно), то получили бы так называемую математическую выборку объема n. В этой выборке каждый из элементов (i=1,2,3,4) распределен по биномиальному закону.

Допустим, мы выполнили Вабросания этой пирамиды, и число двойка выпало 3 раза (). Мы можем найти вероятность этого результата, используя выборочное распределение. Она равна

.

Наш результат оказался весьма маловероятным; в серии из двадцати четырех кратных бросаний он встречается примерно один раз. В биологии такой результат обычно считается практически невозможным. В этом случае у нас появится сомнение: является пирамида правильной и однородной, справедливо ли при одном бросании равенство , верно ли распределение и, следовательно, выборочное распределение.

Чтобы разрешить сомнение, надо выполнить еще один раз четырехкратное бросание. Если снова появится результат , то вероятность двух результатов с Ваочень мала . Ясно, что мы получили практически совершенно невозможный результат. Поэтому исходное распределение неверное. Очевидно, что, если второй результат окажется еще маловероятней , то имеется еще большее оснований разобраться с этой "правильной" пирамидой. Если же результат повторного эксперимента будет Ваи , тогда можно считать, что пирамида правильная, а первый результат (), тоже верный, но просто маловероятный.

Нам можно было и не заниматься проверкой правильности и однородности пирамиды, а считать априори пирамиду правильной и однородной, и, следовательно, правильным выборочное распределение. Далее следует выяснить, что дает знание выборочного распределения для исследования генеральной совокупности. Но поскольку установление выборочного распределения является основной задачей статистического исследования, подробное описание экспериментов с пирамидой можно считать оправданным.

Будем считать, что выборочное распределение верное. Тогда экспериментальные значения относительной частоты Вав различных сериях по n бросаний пирамиды будут группироваться около значения 0.25, являющегося центром выборочного распределения и точным значением оцениваемой вероятности. В этом случае говорят, что относительная частота Ваявляется несмещенной оценкой . Поскольку, выборочная дисперсия Вастремиться к нулю с ростом n, то экспериментальные значения относительной частоты будут все теснее группироваться около математического ожидания выборочного распределения с ростом объема выборки. Поэтому Ваявляется состоятельной оценкой вероятности .

Если бы пирамида оказалась направильной и неоднородной, то выборочные распределения для различных (i=1,2,3,4) имели бы отличные математические ожидания (разные ) и дисперсии.

Отметим, что полученные здесь биномиальные выборочные распределения при больших n () хорошо апроксимируются нормальным распределением с параметрами Ваи , что значительно упрощает расчеты.

Продолжим случайный эксперимент тАФ бросание правильной, однородной, треугольной пирамиды. Случайная величина Х, связанная с этим опытом, имеет распределение. Математическое ожидание здесь равно

.

Проведем n бросаний, что эквивалентно случайной выборке объема n из гипотетической, бесконечной, генеральной совокупности, содержащей равные доли (0.25) четырех разных элементов. Получим n выборочных значений случайной величины Х (). Выберем статистику, которая представляет собой выборочное среднее. Величина Васама является случайной величиной, имеющей некоторое распределение, зависящее от объема выборки и распределения исходной, случайной величины Х. Величина Ваявляется усредненной суммой n одинаковых, случайных величин (то есть с одинаковым распределением). Ясно, что

.

Поэтому статистика Ваявляется несмещенной оценкой математического ожидания. Она является также состоятельной оценкой, поскольку

.

Таким образом, теоретическое выборочное распределение имеет тоже математическое ожидание, что и у исходного распределения, дисперсия уменьшена в n раз.

Напомним, что Варавна

.

Математическая, абстрактная бесконечная выборка, связанная с выборкой объема n из генеральной совокупности и с введенной статистикой будет содержать в нашем случае Ваэлементов. Например, если , то в математической выборке будут элементы со значениями статистики . Всего элементов будет 13. Доля крайних элементов в математической выборке будет минимальной, так как результаты Ваи Ваимеют вероятности, равные . Среди множества элементарных исходов четырех кратного бросания пирамиды имеются только по одному благоприятному Ваи . При приближении статистик к средним значениям, вероятности будут возрастать. Например, значение Вабудет реализоваться при элементарных исходах , , Ваи т. д. Соответственно возрастет и доля элемента 1.5 в математической выборке.

Среднее значение будет иметь максимальную вероятность. С ростом n экспериментальные результаты будут теснее группироваться около среднего значения. То обстоятельство, что среднее выборочного среднего Варавно среднему исходной совокупности Вачасто используется в статистике.

Если выполнить расчеты вероятностей в выборочном распределении с , то можно убедиться, что уже при таком небольшом значении n выборочное распределение будет выглядеть как нормальное. Оно будет симметричным, в котором значение Вабудет медианой, модой и математическим ожиданием. С ростом n оно хорошо апроксимируется соответствующим нормальным даже, если исходное распределение прямоугольное. Если же исходное распределение нормально, то распределение Ваявляется распределением Стьюдента при любом n.

Для оценки генеральной дисперсии Ванеобходимо выбрать более сложную статистику, которая дает несмещенную и состоятельную оценку . В выборочном распределении для S2 математическое ожидание равно , а дисперсия . При больших объемах выборок выборочное распределение можно считать нормальным. При малых n и нормальном исходном распределении выборочное распределение для S2 будет χ2‑распределение.

Выше мы попытались представить первые шаги исследователя, пытающегося провести простой статистический анализ повторных экспериментов с правильной однородной треугольной призмой (тетраэдром). В этом случае нам известно исходное распределение. Можно в принципе теоретически получить и выборочные распределения относительной частоты, выборочного среднего и выборочной дисперсии в зависимости от числа повторных опытов n. При больших n все эти выборочные распределения будут приближаться к соответствующим нормальным распределениям, так как они представляют собой законы распределения сумм независимых случайных величин (центральная предельная теорема). Таким образом, нам известны ожидаемые результаты.

Повторные эксперименты или выборки дадут оценки параметров выборочных распределений. Мы утверждали, что экспериментальные оценки будут правильными. Мы не выполняли эти эксперименты и даже не приводили результаты опытов, полученные другими исследователями. Можно подчеркнуть, что при определении законов распределений теоретические методы используются чаще, чем прямые эксперименты.


2. Анализ вариационных рядов

Статистическое исследование может быть полным и выборочным. При полном исследовании измерение интересующего вас признака производится у каждого элемента совокупности. При этом определяется точное распределение признака. Например, декан получил точное распределение оценок на экзамене по математике у всех 230 студентов. Он может определить точные доли отличников и не успевающих, процент успеваемости, процент качества обучения и т.п. Но это не "настоящая" статистика.

Статистика решает задачу как, обследовав элементы выборки из генеральной совокупности, получить необходимую информацию о генеральной совокупности. Первое, что должен решить статистик тАФ это как провести выборку, чтобы она наилучшим образом соответствовала генеральной совокупности, то есть, чтобы выборка была репрезентативной. Выборка будет репрезентативной, если отбор элементов в выборку производится случайно. Это означает, что все элементы генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Один из способов получения случайной выборки состоит в том, что каждому элементу генеральной совокупности присваивается номер; билеты с номерами помещаются в шляпу или шарики с номерами в барабан; случайно извлекается билет или шарик, а затем выбирается соответствующий элемент. В настоящее время случайные числа выдают ЭВМ.

Обеспечить случайность выборки не так просто как кажется. Ни в коем случае не следует полагаться на свою интуицию, следует подчеркнуть: если выборка окажется не репрезентативной (ее называют смещенной), то с ростом ее объема может уменьшаться точность или могут появляться ошибочные выводы. Закон больших чисел сработает наоборот. По видимому, по этой причине Дизраэли пошутил: "На свете есть ложь наглая, ложь и статистика".

Раздел статистики, в котором изучаются виды выборок, разрабатываются методики, обеспечивающие репрезентативность выборок, изучается влияние объема выборки на получаемые результаты и др., называется теорией выборки. Очевидна ее важная роль в планировании статистического исследования.

2.1 Дискретный вариационный ряд

Допустим, произведено n измерений случайной дискретной величины Х и получено k различных значений . При этом Х1 наблюдалось m1 раз, Х2 тАФ m2 раз, тАж, Хk тАФ mk раз. Можно сказать, что из бесконечной гипотетической совокупности результатов измерений сделана выборка объемом . Числа Ваявляются частотами измеренных значений , которые называют вариантами. Величины , ,тАж,Ваназывают относительными частотами вариант Хi. Ясно, что . Будем считать, что варианты Вамы расположили в возрастающем порядке.

Полученные результаты удобно представить в виде таблицы.

Вторая строка таблицы представляет собой вариационный ряд для частот, третья тАФ для относительных частот, четвертая тАФ для кумулятивных относительных частот. Если число вариант k не очень велико, то для того, чтобы получить более наглядное представление о распределение случайной величины Х строят полигоны или кумуляты. Для этого на оси абсцисс откладывают значения вариант , а на оси ординат соответствующие значения частот Ваили относительных частот Ваили кумулятивных относительных частот Fi. Ясно, что полигон относительных частот дает представление о распределение вероятностей, а график кумулятивных относительных частот можно назвать эмпирической функцией распределения.

Эмпирическая функция распределения определена на всей числовой оси. Ясно, что Вадля всех Ваи Вадля всех . На интервале Вафункция Вабудет иметь вид ступенчатой монотонно возрастающей от 0 до 1 функции такой, что .

Рассмотрим пример. Пусть в результате обследования получены следующие значения вариант:

88981097761051110878
58771110119785108796
107866109998767898
8589711999869111076

Вместе с этим смотрят:


РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора


Актуальные проблемы квантовой механики


Алгебра и алгебраические системы


Волоконно-оптические датчики температуры на основе решеток показателя преломления


Время и пространство - идеалистические понятия