УПРАВЛEНИE КАЧEСТВОМ УЧEБНИК М 2005 196 С 13

Оценки вероятности обнаружения дефектных изделий

Число
дефектных изделий z Вероятность P(n,z) Кумулятивная
вероятность F(n,z) 0 0,2146 0,2146 1 0,3389 0,5535 2 0,2586 0,8122 3 0,127 0,9392 4 0,0451 0,9844 5 0,0124 0,9967 6 0,0027 0,9994 7 0,0005 0,9999 8 0,0001 0,999998 9 0,000001 0,999999
В правой части табл. 12.3 приведены результаты расчета так называемой кумулятивной вероятности, т.е., накопленной вероятности F(n,z). Величина F(n,z) позволяет оценить накопление дефектных изделий в выборке, их общее число равно:

где k - число дефектных изделий, для которых выполняется расчет.

Допустим, что k = 4. Тогда (по данным таблицы):

F (30,4)=(30,40)=0,2146 + 0,3389 + 0,2586 + 0,1270 + + 0,0451 = 0,9844.

Кумулятивная вероятность показывает тенденцию наполнения выборки негодными деталями.

Данные таблицы являются начальной информацией, которая далее позволит полностью определить условия контроля с помощью выборки. На данном этапе это только информация для изучения. Графики плотности вероятности (а) и кумулятивной вероятности (б) показаны на рис. 12.2.

a)

б)

Рис. 12.2. Графики плотности вероятности (а) и кумулятивной вероятности (б)

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Гипергеометрическое распределение характеризуется следующими зависимостями:

Характер графиков P(n,z) и F(n,z) не отличается от ранее рассмотренных. Сам закон более точно отражает ситуацию, когда выборка не возвращается в генеральную совокупность, что обычно имеет место на производстве.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Распределение Пуассона является предельным для биноминального распределения, когда вероятность (q Ј 0,1) мала, число событий велико, а математическое ожидание появления дефектных изделий является ограниченным числом.

Это распределение часто называют законом распределения редких событий. При таких условиях формула

заменяется на формулу

причем

Таблица 12.4

Сопоставление распределений

Число
дефектных
изделий z Вероятность биноминального
распределения P(n;z) Вероятность
распределения
Пуассона
q = 0,5; q = 0,1; q = 0,05; q = 0,01

n = 6 n = 30 n = 60 n = 300
0 0,0156 0,0424 0,0461 0,0490 0,0498 3 0,3125 0,2361 0,2298 0,2252 0,2240 10 0 0,004 0,0006 0,0008 0,008

ГЛАВА 13. ВЫБОРОЧНЫЙ ПРИЕМНЫЙ КОНТРОЛЬ И КАЧЕСТВО ИЗМЕРЕНИЙ

ПРИЕМОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ

Условия выборочного контроля наиболее адекватно отражает гипергеометрический закон распределения, рассмотренный выше. Два других закона используются для упрощенных оценок.

Решение о качестве партии изделий, принимаемой в результате выборочного контроля, требует определения объема выборки n при заданных уровне дефектности q и так называемом браковочном числе А.

С позиции теории, такое решение относят к решениям минимизирующим риск, и оно требует нахождения оперативной характеристики, которая определяется следующим образом:

где F(q) - вероятность приемки партии изделий, среди которых доля дефектных изделий составляет q;

- приемочное число (допустимое число дефектных изделий в выборке n);

P(n, z) - вероятности появления в выборке бракованных изделий, когда z последовательно принимает значения от 0 до .

Иными словами это кумулятивная вероятность и ее можно определить по формуле:

= Р(60,0) + Р(60,1) + Р(60,2) + ... Р(60,20),
где n для примера принято равным 60, а z заранее неизвестно и принято в диапазоне 0-20.

Оперативную характеристику можно представить в виде графика F(q) = f (q%), зафиксировав значение n, при заданных значениях и N.

Например, используя гипергеометрический закон распределения при q от нуля до 10, при N = 1200; n = 100 и А = 3 получим:

где N=1200 - объем партии;

N = qN - объем дефектных деталей в партии.

Результаты расчетов приведены в табл. 13.1. Полученная оперативная характеристика контроля показана на рис 13.1.

Таблица 13.1

Оперативная характеристика плана приемочного контроля
Доля дефектных
изделий (в %) в партии q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Вероятность приемки F(q) 1,0 0,98 0,86 0,65 0,43 0,25 0,15 0,08 0,04 0,02 0,01

Рис. 13.1. Оперативная характеристика плана приемочного контроля

На рис. 13.1 показаны: a - риск поставщика; b - риск заказчика; AQL - приемочный уровень дефектности (accept - принимать; quality - качество; level - уровень); LQ - браковочный уровень дефектности.

На кривой F(q) = f(q) совпадение заданных AQL и (1 - ) в точке М и LQ и в точке М маловероятно, что и показано на рисунке. Другими словами кривая F(q) = f(q) должна быть согласована с величинами AQL, , LQ и .

Покажем процедуру использования оперативной характеристики плана приемочного контроля на численном примере.

Пример. Поставщик (изготовитель) и заказчик (потребитель) договорились, что AQL = 2 %, = 0,05, LQ = 5 % и = 0,05. Объем партии большой, поэтому можно использовать распределение Пуассона. Необходимо построить оперативную характеристику и план контроля.

По горизонтальной оси отложим значения AQL и LQ, а по вертикальной оси (1 - ) и . Оперативная характеристика плана приемочного контроля приведена на рис.13.2.

Рис. 13.2. Оперативная характеристика плана приемочного контроля на основе распределения Пуассона

При построении графика через точки М и М нужно провести расчетную оперативную характеристику, для чего следует совместно решить систему уравнений:

Первое уравнение выражает риск поставщика, второе - риск заказчика.

В системе два уравнения и две неизвестные величины - n и .

Запишем вероятность приема партии F (n; ; q = 0,02) = 0,95 и вероятность ее браковки F (n; ; q = 0,05) = 0,05, используя распределение Пуассона:

Прямого решения этой системы нет, так как она трансцендентна, и ее нужно решать либо с помощью компьютера, либо с помощью таблиц функций F(q) = f(q). Учитывая, что

, = 0,05, =0,05,

и решая систему, получим:

= 12 и .

Из партии необходимо выбирать изделий.

Если среди 400 изделий окажется менее 12 дефектных, то она принимается, если более 12 дефектных, то она бракуется. При этом 5% партий может ошибочно браковаться и столько же может быть принято по ошибке.

Рассмотрим тенденции изменения вида функции F(q) при изменении величин n, :

1. Допустим, что / n = const, но n и A увеличиваются (рис. 13.3а). Кривая при этом увеличивает свою крутизну и в пределе, когда n = N, выборочный контроль перейдет в сплошной и AQL = LQ.

2. Пусть при n = const, - увеличивается (рис.13.3б).

3. Если при n = const, увеличивается (рис. 13.3в), то контроль становится менее жестким.

4. = const; n увеличивается (рис. 13.3г), контроль ужесточается

Рис. 13.3. Типичные оперативные характеристики планов приемочного контроля

КАЧЕСТВО ИЗМЕРЕНИЙ

Напомним, что в соответствии с положениями теоретической метрологии измерение может выполняться с использованием шкалы порядка (уровней), шкалы интервалов и шкалы отношений.

Во втором и третьем случаях результат измерения является случайной величиной и может записываться выражением:

где X - показание средства измерения;

- поправка.

Величина X характеризует правильность показаний, а поправка - точность измерений. По этим параметрам измерительная техника разделяется на классы точности в соответствии с допускаемой погрешностью измерений.

Приведенная погрешность измеряется в процентах от верхнего предела измерений, относительная погрешность - от результата самого показания.

Используется ряд классов точности, в том числе: 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 4.0. Характеристикой класса является относительная погрешность, указываемая в процентах: 0.1, 0.5, 4.0.

Правильность результата измерения обеспечивается совпадением среднего значения измерений со значением измеряемой величины.

Значение X - величина случайная, поправка Q не является случайной, она характеризирует относительную погрешность измерения.

На рис. 13.4 показано распределение плотности вероятности при точных измерениях (1) и менее точных (2).

Рис. 13.4. Распределение плотности вероятности при двух классах точности измерений

Если значение поправки с течением времени не меняется, то при многократном измерении постоянного размера одним и тем же средством измерений (в одинаковых условиях) получим:

где - средний арифметический результат измерений;

n - количество измерений;

- среднее значение показания при измерении;

- значение поправки;

= const.