Контрольные задания для заочников по математике
Министерство образования Российской Федерации
государственный технический университет
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников всех специальностей
Одобрено
редакционно-издательским советом
государственного
технического университета
2004
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса тАЬМатематикатАЭ, используя учебную литературу. Список рекомендуемой литературы приведен в методических указаниях. Студент может использовать также учебники и учебные пособия, не включенные в данный список, если эти пособия содержат соответствующие разделы учебного курса.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать название учебной дисциплины, номер контрольной работы, а также полностью фамилию, имя и отчество студента, его адрес, специальность, номер студенческой группы, шифр (номер зачетной книжки) и дату отправки работы в институт.
Задачи контрольной работы выбираются в соответствии с указаниями преподавателя из таблиц вариантов. Вариант определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки. Предпоследняя цифра номера определяет таблицу вариантов, последняя цифра номера определяет столбец в выбранной таблице. Представленная для рецензирования контрольная работа должна содержать все задачи, указанные преподавателем. Решения задач следует приводить в той последовательности, которая определена в таблице вариантов. Условие каждой задачи должно быть приведено полностью перед ее решением. Контрольная работа должна быть подписана студентом.
Зачет по контрольной работе выставляется по результатам рецензирования и собеседования. Перед собеседованием студент обязан исправить в работе ошибки, отмеченные рецензентом.
Зачет по контрольным работам является обязательным для допуска к сдаче зачетов и экзаменов, которые предусмотрены учебным планом.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. -10. Векторы a, b, c, d заданы координатами в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис в пространстве, и найти координаты вектора d в этом базисе.
1. a=(3; 2; 2),b=(2; 3; 1),c=(1; 1; 3),d=(5; 1; 11).
2. a=(1; 2; 3),b=(-2; 3; - 2),c=(3; - 4; - 5),d=(6; 20; 6).
3. a=(4; 2; 5),b=(-3; 5; 6),c=(2; - 3; - 2),d=(9; 4; 18).
4. a=(1; 2; 4),b=(1; - 1; 1),c=(2; 2; 4),d=(-1; - 4; - 2).
5. a=(2; 3; 3),b=(-1; 4; - 2),c=(-1; - 2; 4),d=(4; 11; 11).
6. a=(1; 8; 4),b=(1; 3; 1),c=(-1; - 6; - 3),d=(1; 2; 3).
7. a=(7; 4; 2),b=(-5; 0; 3),c=(0; 11; 4),d=(31; - 43; - 20).
8. a=(3; 2; 1),b=(4; - 1; 5),c=(2; - 3; 1),d=(8; - 4; 0).
9. a=(1; 3; 3),b=(-4; 1; - 5),c=(-2; 1; - 6),d=(-3; 5; - 9).
10. a=(1; 5; 3),b=(2; 1; - 1),c=(4; 2; 1),d=(31; 20; 9).
11. -20. Даны координаты точек A1, A2, A3, A4. Известно, что отрезки A1A2, A1A3, A1A4 являются смежными ребрами параллелепипеда. Требуется найти:
длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A3; 3) площадь грани, содержащей вершины A1,A2,A3; 4) объем параллелепипеда; 5) уравнение прямой, проходящей через вершину A1 вдоль диагонали параллелепипеда; 6) уравнение плоскости A1A2A3; 7) угол между ребром A1A4 и гранью, содержащей вершины A1,A2,A3; 8) расстояние от вершины A4 до плоскости A1,A2,A3. Сделать чертеж.
11. A1(0; 3; 2),A2(-1; 3; 6),A3(-2; 4; 2),A4(0; 5; 4).
12. A1(4; 2; 5),A2(0; 7; 2),A3(0; 2; 7),A4(1; 5; 0).
13. A1(-1; 2; 0),A2(-2; 2; 4),A3(-3; 3; 0),A4(-1; 4; 2).
14. A1(4; 4; 10),A2(4; 10; 2),A3(2; 8; 4),A4(9; 6; 4).
15. A1(2; 2; 3),A2(1; 2; 7),A3(0; 3; 3),A4(2; 4; 5).
16. A1(4; 6; 5),A2(6; 9; 4),A3(2; 10; 10), A4(7; 5; 9).
17. A1(0; - 1; 2),A2(-1; - 1; 6),A3(-2; 0; 2),A4(0; 1; 4).
18. A1(3; 5; 4),A2(8; 7; 4),A3(5; 10; 4),A4(4; 7; 8).
19. A1(3; 0; 2),A2(2; 0; 6),A3(1; 1; 2),A4(3; 2; 4).
20. A1(10; 6; 6),A2(-2; 8; 2),A3(6; 8; 9),A4(7; 10; 3).
21. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x+2y+1=0 и 2x+y-3=0. Центр параллелограмма находится в точке A(1; 2). Найти уравнения двух других сторон. Сделать чертеж.
22. Даны две вершины треугольника A(2; 1), B(4; 9) и точка пересечения высот N(3; 4). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
23. Даны две противоположные вершины квадрата A(1; 3) и C(-1; 1). Найти координаты двух его других вершин и составить уравнения сторон. Сделать чертеж.
24. Найти уравнения сторон треугольника, если заданы его вершина A(1; 3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0, y-1=0. Сделать чертеж.
25. Известны уравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0 и точка пересечения диагоналей N(-2; 0). Найти уравнения остальных ее сторон. Сделать чертеж.
26. Уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 2x-y+8=0, x-2y-12=0. Точка N(4; 0) лежит на основании треугольника. Найти уравнение основания. Сделать чертеж.
27. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; - 7), а также уравнения высоты 3x+y+11=0 и медианы x+2y+7=0, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.
28. Точка A(5; - 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x-7y-8=0. Написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата. Сделать чертеж.
29. Уравнение основания равнобедренного треугольника x+y-1=0, уравнение боковой стороны x-2y-2=0. Точка N(-2; 0) лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение этой стороны. Сделать чертеж.
30. Даны уравнения медиан треугольника 5x+4y=0 и 3x-y=0 и одна из его вершин A(-5; 2). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
31. Составить уравнение и построить окружность, проходящую через точки A(1; 2), B(0; - 1) и C(-3; 0).
32. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(0; 1) в два раза меньше расстояния ее до прямой y-4=0.
33. Составить уравнение и построить линию, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек A(-3; 0) и B(3; 0) равна 50.
34. Составить уравнение и построить линию, расстояние от каждой точки которой до точки A(-1; 1) вдвое меньше расстояния до точки B(-4; 4).
35. Составить уравнение и построить линию, сумма расстояний от каждой точки которой до точек A(-2; 0) и B(2; 0) равна 2
.
36. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки F(2; 2) и оси Ox.
37. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятся как 5: 4.
38. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки A(5; 0) относятся как 2: 1.
39. Составить уравнение и построить гиперболу, проходящую через точку N(9; 8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения y=В±(2
/3) x.
40. Составить уравнение и построить гиперболу, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса 5x2+8y2=40.
41. -50. Кривая задана уравнением в прямоугольной системе координат. Требуется: 1) найти уравнение кривой в полярной системе координат, полюс которой совмещен с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось тАУ с положительной полуосью Ox; 2) построить кривую по точкам со значениями полярного угла φk=kπ/16.
41. (x2+y2) 2 = 2(x2-y2); 42. (x2+y2) 2 = 4xy;
43. (x2+y2) 2/4 = x2-y2; `44. (x2+y2) 2 = 8xy;
45. (x2+y2) 2 = 6(x2-y2); 46. (x2+y2) 2 = 2(y2-x2);
47. (x2+y2) 2 = - 4xy; 48. (x2+y2) 2 = 4(y2-x2);
49. (x2+y2) 2 = - 8xy; 50. (x2+y2) 2 = 12xy.
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
51. -60. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
51.52.
ì3x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 5, ì x1+2x2+ x3+6x4+ x5=4,
í2x1 - x2+3x3 = 4, í3x1 - x2 - x3+ x4+ =1,
î 5x2+6x3+ x4+ =11. î x1+3x2+5x3 =9.
53.54.
ì3x1 - x2+ x3+6x4+ x5=6, ì5x1+ x2+ x3+3x4+ x5=5,
í x1+ 5x3+ x4-7x5 =6, í - 2x2+4x3+ x4+ x5=3,
î x1+2x2+3x3+ x4+ x5 =6. î x1-3x2+5x3 =2.
55.56.
ì - x1+ x2+ x3+2x4+ x5=4, ì-2x1 - x2+2x3 =2,
í2x1 + x3 - 3x4+5x5=3, í x1+ x2+4x3+ x4+3x5=8,
î3x1 - x3+6x4+ x5=6. î3x1+ x2 - x3 =5.
57.58.
ì2x1+ x3 - x4+ x5=2, ì 6x1+ x2+ x3+ 2x4+ x5=9,
í4x1+ x2+ 3x3+ x4+2x5=7, í - x1 - x3+ 7x4+8x5=14,
î - x1+ x3+2x4+ x5=2. î x1+ 2x3+ x4+ x5=3.
59.60.
ì-2x1+ 3x3+ x4+ x5=5, ì2x1+ 3x3+ x4 =4,
í 3x1+ x2+ x3+6x4+2x5=9, í x1 - x3+2x4+3x5=4,
î - x1+ 2x3 - x4+2x5=3. î3x1+3x2+6x3+3x4+6x5=15.
61. -70. Для данной матрицы A построить обратную матрицу A-1. Правильность построения обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
61. é3 2 1ù 62. é 1 - 5 3ù 63. é4 - 3 2ù
A= ê2 3 1 ê A= ê 2 4 1 ê A= ê2 5 - 3 ê
ë2 1 1û. ë-3 3 - 7û. ë5 6 - 2û.
64. é-2 5 - 6ù 65. é2 - 1 - 1ù 66. é3 - 9 8ù
A= ê 1 7 - 5 ê A= ê3 4 - 2 ê A= ê2 - 5 5 ê
ë 4 2 - 1û. ë3 - 2 4û. ë2 - 1 1û.
67. é1 1 - 1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 - 5 0ù
A= ê8 3 - 6 ê A= ê4 - 1 5 ê A= ê4 0 11ê
ë4 1 - 3û. ë1 - 2 4û. ë2 3 4û.
70. é1 7 - 2ù
A= ê3 5 1 ê
ë-2 5 - 5û.
71. -80. Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.
71. é-1 3 ù 72. é4 - 1ù 73. é-6 5ù 74. é-4 - 3 ù
ë2 0 û. ë-2 3û. ë 2 - 3û. ë-2 1 û
75. é-3 2 ù 76. é1 - 2ù 77. é 4 - 1ù 78. é-1 3ù
ë 5 - 6û. ë-3 - 4û. ë-2 5û. ë2 - 2û.
79. é 1 - 2 ù 80. é1 2ù
ë-3 6 û. ë3 2û.
81. -90. Дано комплексное число z. Требуется:
1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
найти все корни уравнения w3+z=0, изобразить эти корни на плоскости комплексной переменной.
_ _ _
81. z=8/(1+iÖ3).82. z=-Ö8/(1+i).83. z=Ö8/(1-i).
_ _ _
84. z=2/(1-iÖ3).85. z=-2/(-i+Ö3).86. z=1/(Ö3+i).
_ _ _
87. z= - 4/(1-iÖ3).88. z=-Ö8/(-i+1).89. z=Ö8/(1+i).
_
90. z=1/(Ö3-i).
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
91. -100. Построить график функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшей элементарной функции.
91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).
92. f(x) = 3cos(2x тАУ 5).
________________
93. f(x) =Ö(4x2+7x тАУ2) / (4x-1).
94. f(x) = 9x2 тАУ 6x + 3.
95. f(x) = ln(x2 тАУ 6x + 9).
96. f(x) = - 2sin(3x + 4).
97. f(x) =2x3 тАУ 18x2 + 54x тАУ 53.
98. f(x) =ln((x+1) - 2 / e2).
99. f(x) = 
f(x) = (3x2 тАУ 5x + 2) /(2x2 + x тАУ 3).
101. -110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
_________ _
101. а) lim (Ö4x2 тАУ x + 3 - 2x); б) lim (Öx тАУ 1) тАУ 1sin(1 тАУ x);
x Во Вµ x Во1
в) lim (1 + x + x2) 1/x; г) lim (5x - 3x) /(7x тАУ 4x).
x Во 0 x Во 0
102. а) lim (x2+2xтАУ3) /(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3));
xВо - 3 x Во Вµ
в) lim (1 тАУ 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x тАУ 2 ln(cos2x).
x Во 0 x Во 0
______ _______ _____
103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9));
x Во Вµ
б) lim sin2(x тАУ 1) / (4x2 + 3x +2
); в) lim 
;
x Во Вµ xВо¥
г) lim (e2x тАУ 3ex + 2) /x.
x Во 0
__________ ______
104. а) lim (Öx2 + x + 1 - Öx2 - x); б) lim (1 тАУ cos2x) /(x sinx);
x Во Вµ x Во 0
в) lim((2x2+3x+4) /(2x2+x+1)) тАУx/2; г) lim [ln(1 + 3lnx) / ln(1 + 4lnx)].
x Во Вµ x Во1
105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) /(1 + 4x3 тАУ x5); б) lim x тАУ 2sin2(x2 + 2x);
xВо Вµ x Во 0
в) lim 
; г) lim (esinx тАУ ex) /x.
x Во 0 x Во 0
_______________
106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1); б) lim (cos 5x) /(sin 2x);
x Во Вµ x Во p/2
в) lim ((x2 + 7x + 8) /(x2 + 14x + 1)) тАУ x/3; г) lim (e тАУ ecosx ) /x.
x Во Вµ x Во 0
_____
107. а) lim (x2 - 5x + 6) /(x3 - 8x + 8); б) lim (1 - Ö1 тАУ x) тАУ 1 sinx;
x Во 2 x Во 0
_____
в) lim (x + Ö1 + x) 3/x; г) lim x тАУ 1 ln(cosx + sinx).
x Во 0 x Во 0
108. а) lim (3x4 тАУ 2x2 + 1) /(2x4 + 3x2 тАУ 2);
x Во Вµ
б) lim (sinx тАУ sin3x) /(sin6x тАУ sin7x);
x Во 0
в) lim 
; г) lim (ln cosx) /(cos3x тАУ cosx).
x Во 0x Во 0
109. а) lim 
; б) lim (cos8x тАУ cos2x) /(cos6x тАУ cos4x);
xВо5/2x Во 0
______
в) lim (9 тАУ2x) 1/(4 тАУ x); г) lim ln(x + Öx2 + 1) /x.
x Во 4x Во 0
____________
110. а) lim (x - Öx + 2) /(Ö4x + 1 - 3); б) lim (sin2xтАУ sinx) /(cos4x тАУ cos2x);
x Во 2 x Во 0
в) lim ((2x + 1) /(3x +1)) 1/x; г) lim (ln(3 тАУ 2tgx)) /cos2x.
xВо0 x Во p/4
111. -120. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построить схематический график функции.
111. 
112. 
113. 
114. 
115. 
æ (2x2 + 3) /5приxÎ( - ¥, 1] ;
116. 
í 6 тАУ 5xприx Î (1, 3);
è x тАУ 3приx Î [3, +¥).
117. arctg
.118. x ctgx.
119. 
.120
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИiИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
121. -130. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.
y = tg2x.122. y = ln(3x + 1).123. y = cos(x2).
y = sin(x2 + 2x).125. y = ctg(3x - 2).126. y = Ö 2x2 + 1.
127. y = Ö 2 тАУ cos3x.128. y = Ö 2 + sin2x.129. y = e2x.
y = (x + 1) /(x тАУ 1).
131. -140. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.
1) y = Ö4x4 + tgx; 2) y = x1/2 / sinx;
3) y = ctg5x / x3; 4) y = arctg(ex) + tg(arccos(ex)).
1) y = ln(tg(3x + 2)); 2) y = Ö 1 тАУ x2 arcsinx;
3) y = xtgx; 4) y = (x2 тАУ 1) /(x2 + 1).
1) y = arccos(x2) + arcctg(x2); 2) xy = cos(x тАУ y);
3) y = log2(2x + 1); 4) y = Ö1 тАУ x2 / Ö1 + x2.
1) y = (2 - 5x) / Ö2 тАУ 5x + x2; 2) y = ex тАУ y;
3) y = 2 lnx тАУ x; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.
1) y = (arcsinx) 1 тАУ x; 2) y = cos2 x + tg2x;
3) x3 + y3 тАУ 3xy = 3; 4) x = t тАУ sin2t, y = 1 тАУ cos 2t.
1) y = sin2x/(1 + sin2x); 2) y = 3arctgx + (arctgx) 3,
3) y = (1 + x2) 1 + 2x; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.
1) y = 3 тАУ3x + (3x) тАУ3; 2) y = (x тАУ 1) log5(x2 тАУ 1),
3) y = (x2 + 1) x; 4) y = tg(x2/y2).
1) y = ln(lg(log2x)); 2) y = (x2 + x + 1) /(x2 + 1);
3) y = (x + 1) x; 4) ex + y = x тАУ y.
1) y = (x2 + 1) 3 тАУ (x2 тАУ 1) 3; 2) y = (ln5x) /(x4 тАУ 1);
3) y = (tgx) ctgx; 4) x = t ctg(t2), y = t cos2(t2).
1) y = ln(x + Öx2 + 1); 2) y = x тАУsin2x;
3) y = 2/(x тАУ1) + 1/(x2 тАУ 1); 4) sin(x + y) + cos(x2 + y2) = 1.
141. -160. Построить график функции, используя общую схему исследования функции.
141. y = (x2 + 2x + 2) /(2 + x2) .142. y = (4 + x2) /(9 тАУ x2).
143. y = (2 + 3x2) /(1 + x2).144. y = (x3 + 2x2 + 2) /(x2 + 1).
145. y = (x2 + 3x + 5) /(x тАУ 1).146. y = (3x3 тАУ 2) /x.
147. y = (2x2 +3x + 1) /(x тАУ 2).148. y = x3/(x3 + 1).
149. y = (3 тАУ 9x2) /(1 тАУ 9x2).150. y = (x3 + 8) /(x3 тАУ 8).
151. y = x e 2x тАУ 1.152. y = ln(x2 тАУ 9).
153. y = (1 + x2) exp(-x2).154. y = lg(4 + x2).
155. y = exp(2/(1 тАУ x)) .156. y = ln(16 тАУ x2).
157. y = x2 + 1 + 2lnx.158. y = exp(1 + 4x тАУ 2x2).
159. y = (2 + x) exp( - 4 - 4x - x2)).160. y = (1 тАУ x) - 0.5 lg(1 тАУ x).
161. -170. Составить уравнение касательной и нормали:
к графику кривой y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x0;
к графику кривой x = x(t), y = y(t) в точке, для которой параметр t равен t0.
Построить графики кривых, касательных и нормалей. Для каждой кривой найти кривизну в указанных точках.
161.1) y = -Ö(9 тАУ x2) /3, x0 = - 3/2; 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = - p/3.
162.1) y = Ö4 тАУ 8x2, x0 = - 1/2; 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p/4.
163.1) y = Ö16 тАУ 4x2, x0 = 1; 2) x = -2 sint, y = - 4 cost, t0 = 5p/6.
164.1) y = -Ö8 тАУ 3x2, x0 = -Ö 2; 2) x = 2Ö 2/3 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = - p/6.
165.1) y = -Ö25 тАУ 5x2, x0 = -0.5Ö 5; 2) x = -Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 = 7p/6.
166.1) y = Ö(4 тАУ x2) /2, x0 = Ö 2; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 = -p/4.
167.1) y = Ö8 тАУ 4x2, x0 = -1; 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p/4
168.1) y = Ö(7 тАУ x2) /2, x0 = -0.5Ö 7; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7/2 sint, t0 = p/3.
169.1) y = -Ö2(4 тАУ x2), x0 = -1; 2) x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p/6.
170.1) y = -Ö4 тАУ 8x2, x0 = -1/2; 2) x = 1/Ö 2 cost, y = 2 sint, t0 = 5p/4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИiИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
171. -180. Даны функция u = f(x,y,z) и точки A(x0; y0; z0) и B(x1; y1; z1). Требуется:
вычислить значение u1 функции в точке В;
вычислить приближенное значение u1 функции в точке В, исходя из значения u0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;
составить уравнение касательной плоскости к поверхности f(x,y,z) =C в точке А.
171. u = x2 + xyz + z2,A(1; 2; 1),B(1.05; 1.95; 0.96),C = 4.
172. u = x2z тАУ xy + z2,A(1; 3; - 1),B(0.95; 3.08; - 0.96),C = - 3.
173. u = x2 + 2xz + y2z,A(4; 1; 0),B(4.1; 1.04; - 0.1),C = 16.
174. u = z2 тАУ y2 + x + y + z,A(-2; 3; 1),B(-2.1; 3.1.1.05),C = - 6.
175. u = xy + yz + xz,A(2; 1; 2),B(1.96; 0.95; 2.1),C = 8.
176. u = x2 +y2 + z2 +x тАУ z,A(1; - 1; 1),B(1.04; - 1.02; 0.95),C = 3.
177. u = 4 тАУ xy2 +yz,A(-2; 1; 3),B(-2.1; 1.04; 3.1),C = 9.
178. u = x(y + z) тАУ z2,A(-1; 2; 1),B(-0.95; 2.1; 0.95),C = - 4.
179. u = x2 тАУ y2 + z2 + yz,A(1; 1; - 1),B(1.08; 0.92; - 1.08),C = 0.
180. u = 2x тАУ z + 2y2 + xz,A(4; - 1; 1),B(3.95; - 1.05; 1.05),C = 13.
181. -190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = f(x; y) в области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
181. f(x; y) = x2 + 2y2 тАУ 5xy,x ³ - 1,y ³ - 1,x + y £ 1.
182. f(x; y) = x2 тАУ 3y2 + 6xy + 4,|x| + |y| £ 1.
183. f(x; y) = x2 + 2xy +3y + 4,y £ 5 - x2,y ³ 1.
184. f(x; y) = x2 + 2y2 тАУ 2x тАУ 4y + 5,1 £ |x + y| £ 2,x ³ 0, y ³ 0.
185. f(x; y) = 2y2 + 6xy тАУ 13x +2,x ³ y2 + 1,y ³ (x тАУ 1) /2.
186. f(x; y) = 2x2 + 2y2 тАУ 10x + 13y + 1,x ³ 2,y £ - 3,y ³ x тАУ 6.
187. f(x; y) = x2 + 3y2 + xy тАУ 2x тАУ y + 4,|x - 1| + |y| £ 1.
188. f(x; y) = 2x2 + 2xy тАУ 3y + 5,0 £ y £ x2,|x| £ 1.
189. f(x; y) = 3x2 + 2y2 тАУ 12x + 4y + 7,2 £ x тАУ y £ 4,x ³ 0, y £ 0.
190. f(x; y) = y2 + 2xy + 3x + 11,-3 £ x £ - y2 + 1.
191. -200. Дано скалярное поле u = u(x,y). Требуется:
1) составить уравнение линии уровня u = C и построить эту линию; __
2) в точке А найти градиент и производную по направлению вектора АВ;
3) в точке А построить касательную и нормаль к линии уровня, получив их уравнения.
191. u = x2 + 4y2 + 4x + 4y,C = 13,A(1, - 2),B(2, 4).
192. u = x2 + 9y2 + 2x - 6y,C = 2,A(-1, 1),B(0, 4).
193. u = 4x2 + y2 + 4x - 4y,C = 36,A(2, - 2),B(1, 1).
194. u = 9x2 + y2 - 6x - 2y,C = 6,A(1, 3),B(3, 0).
195. u = x2 + 4y2 + 2x - 8y,C = 20,A(2, 3),B(1, 4).
196. u = 25x2 + y2 + 10x + 2y, C = 14,A(-1, - 1),B(2, 4).
197. u = 4x2 + 9y2 - 4x - 12y, C = 8,A(2, 0),B(-1, - 1).
198. u = 9x2 + 4y2 - 12x - 4y, C = 8,A(0, 2),B(2, 5).
199. u = x2 + 25y2 - 2x + 20y, C = 165,A(2, - 3),B(2, 1).
200. u = x2 + 4y2 + 2x - 4y,C = 35,A(5, 1),B(5, 4).
201. -210. Значения функции, полученные экспериментально, приведены в таблице. Методом наименьших квадратов найти наилучшую линейную аппроксимацию экспериментальной зависимости. На плоскости (x, y) построить полученную прямую и точки, заданные табл.1.
Таблица 1
| 201. | x | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
| y | - 2.0 | - 0.5 | - 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.4 | 3.2 | 4.0 |
| 202. | x | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
| y | 6.0 | 4.5 | 4.5 | 2.8 | 1.0 | -0.5 | -1.5 | -2.8 |
| 203. | x | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 |
| y | - 5.0 | - 4.0 | -2.5 | -2.5 | -1.0 | - 0.5 | 1.2 | 2.0 |
| 204. | x | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 |
| y | 6.5 | 5.2 | 3.5 | 3.5 | 1.6 | 0.2 | - 1.5 | - 2.5 |
| 205. | x | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 |
| y | - 0.2 | 0 | 0 | 0.1 | 0.15 | 0.25 | 0.3 | 0.4 |
| 206. | x | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 |
| y | 0.6 | 0.45 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | - 0.1 | - 0.2 | - 0.3 |
| 207. | x | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
| y | - 0.5 | - 0.4 | - 0.25 | - 0.25 | - 0.1 | 0 | 0.1 | 0.2 |
| 208. | x | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 |
| y | 2.0 | 3.0 | 6.5 | 7.5 | 10 | 12.5 | 13.5 | 16.5 |
| 209. | x | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
| y | 2.0 | 0.5 | 0.5 | -1.5 | -1.5 | -3.0 | -4.2 | -5.2 |
| 210. | x | 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 1.2 | 1.4 |
| y | - 4.0 | -2.5 | - 2.5 | - 1.0 | 0.5 | 0.5 | 2.2 | 3.0 |
Вместе с этим смотрят:
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов