Краевые задачи и разностные схемы
Реферат з курсу тАЬВведение в численные методытАЭ
Тема: тАЬКРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫтАЭ
Содержание
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
4. Краевые задачи второго порядка
5. Разностные схемы для уравнений в частных производных
6. Повышение точности разностных схем
7. Сеточные методы для нестационарных задач
Литература
1. Приведение к системе уравнений первого порядка
Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.
Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.
Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:
где 
тАУ соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,
тАУ функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.
Обозначим первую производную искомой функции новой переменной 
, первую производную тАУ следующей переменной: 
, первую производную тАУ переменной 
и т.д. Таким образом из исходной системы мы сформируем 
дифференциальное уравнение первого порядка:
При таких заменах производных искомой функции 
ее -ная производная оказывается равной первой производной от 
:
В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:
В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции 
и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид
то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными 
осуществляется по следующим формулам:
Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.
И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:
Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:
Производные искомой функции 
можно выразить через вновь введенные переменные 
путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных 
:
Умножив каждое выражение для 
на коэффициенты 
и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных 
.
Система уравнений имеет вид:
В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:
где 
тАУ вектор известных коэффициентов,
тАУ вектор искомых коэффициентов,
тАУ соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:
.
Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если 
, то коэффициенты 
легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с 
.
Начальные условия для 
вычисляются по выражениям для 
следующим образом:
или в векторно-матричной форме:
,
.
2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений
Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i (
):
,
погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h.
Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной 
. В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: тАЬвпередтАЭ и тАЬ назадтАЭ.
При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий 
, еще один дополнительный вектор 
:
.
Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:
Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.
Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.
Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора 
как
,
обязательно задается полный набор краевых условий 
, включающий хотя бы одно значение 
, или набор комбинаций из значений 
и
Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы 
, 
, 
и матрица 
в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования 
, в котором 
с шагом по оси абсцисс равном 
. Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:
.
Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, ] через ординаты функции 
необходимо выполнить следующие операторные преобразования:
Заменив конечно-разностные операторы 
(после приравнивания нулю разностей со степенями выше ) выражениями с оператором сдвига 
и вспомнив, что 
, получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:
.
Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине 
и c наибольшим тАУ для точек конца интервала.
Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке тАУ коэффициенты k1, k2для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
| y(0) | y(1) | y(2) | 
|
yтАЩ(0) | -3 | 4 | -1 | 2 |
yтАЩ(1) | -1 | 0 | 1 | -1 |
yтАЩ(2) | 1 | -4 | 3 | 2 |
Четырех точечная аппроксимация первой производной
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -11 | 18 | -9 | 2 | -3 |
| -2 | -3 | 6 | -1 | 1 |
| 1 | -6 | 3 | 2 | -1 |
| -2 | 9 | -18 | 11 | 3 |
Пятиточечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
| 
| 
|
| -25 | 48 | -36 | 16 | -3 | 12 |
| -3 | -10 | 18 | -6 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 0 | 8 | -1 | 2 |
| -1 | 6 | -18 | 10 | 3 | -3 |
| 3 | -16 | 36 | -48 | 25 | 12 |
Шести точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
| 
| 
|
| -137 | 300 | -300 | 200 | -75 | 12 | -10 |
| -12 | -65 | 120 | -60 | 20 | -3 | 2 |
| 3 | -30 | -20 | 60 | -15 | 2 | -1 |
| -2 | 15 | -60 | 20 | 30 | -3 | 1 |
| 3 | -20 | 60 | -120 | 65 | 12 | -2 |
| -12 | 75 | -200 | 300 | -300 | 137 | 10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
| 
|  
|
| -147 | 360 | -450 | 400 | -225 | 72 | -10 | 60 |
| -10 | -77 | 150 | -100 | 50 | -15 | 2 | -10 |
| 2 | -24 | -35 | 80 | -30 | 8 | -1 | 4 |
| -1 | 9 | -45 | 0 | 45 | -9 | 1 | -3 |
| 1 | -8 | 30 | -80 | 35 | 24 | -2 | 4 |
| -2 | 15 | -50 | 100 | -150 | 77 | 10 | -10 |
| 10 | -72 | 225 | -400 | 450 | -360 | 147 | 60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
| 
|
| 1 | -2 | 1 | -12 , 2 |
| 1 | -2 | 1 | 0 , -1 |
| 1 | -2 | 1 | 12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
| 
|
| 2 | -5 | 4 | -1 | 55 , -6 |
| 1 | -2 | 1 | 0 | -5 , -2 |
| 0 | 1 | -2 | 1 | -5 , -2 |
| -1 | 4 | -5 | 2 | 55 , -6 |
Пятиточечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
| 
|
| 35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150 , 12 |
| 11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15 , -3 |
| -1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0 , 2 |
| -1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15 , 3 |
| 11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150 , -12 |
Шести точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
| 225 | -770 | 1070 | -780 | 305 | -50 |
| 50 | -75 | -20 | 70 | -30 | 5 |
| -5 | 80 | -150 | 80 | -5 | 0 |
| 0 | -5 | 80 | -150 | 80 | -5 |
| 5 | -30 | 70 | -20 | -75 | 50 |
| -50 | 305 | -780 | 1070 | -770 | 225 |
Семи точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
| 812 | -3132 | 5265 | -5080 | 2970 | -972 | 137 |
| 137 | -147 | -255 | 470 | -285 | 93 | -13 |
| -13 | 228 | -420 | 200 | 15 | -12 | 2 |
| 2 | -27 | 270 | -490 | 270 | -27 | 2 |
| 2 | -12 | 15 | 200 | -420 | 228 | -13 |
| -13 | 93 | -285 | 470 | -255 | -147 | 137 |
| 137 | -972 | 2970 | -5080 | 5265 | -3132 | 812 |
Например, производная первого порядка 
в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:
,
.
Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:
Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.
4. Краевые задачи для уравнений второго порядка
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.
Если в центральных точках точность аппроксимации производных с точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (+1)-й точки или более.
Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.
Вместе с этим смотрят:
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов