Математика и золотое сечение
1. История золотого сечения
2. Математическая сущность золотого сечения
3. Золотое сечение в современной науке
Заключение
Список литературы
Введение
Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) тАУ деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.
Принципы Влзолотого сеченияВ» используются в математике, физике, биологии, астрономии и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.
ВлВ геометрии существует два сокровища тАУ теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнемВ». Эти слова сказал четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер, они являются эпиграфом практически ко всем трудам, посвященным Влзолотому сечениюВ». Гениальный ученый поставил пропорцию Влзолотого сеченияВ» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.
Однако Влзолотому сечениюВ» повезло меньше, чем теореме Пифагора тАУ ВлклассическаяВ» наука и педагогика его игнорируют, а ВлофициальнаяВ» математика не признаёт.
Цель данной работы провести краткий обзор истории и математической сущности золотого сечения, и попытаться осмыслить его роль в современной математике.
1. История золотого сечения
В математике принцип Влзолотого сеченияВ» впервые был сформулирован в ВлНачалахВ» Эвклида, самом известном математическом сочинении античной науки, написанном в III веке до н.э. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
Если упростить задачу Эвклида, то отрезок линии АВ будет считаться разделенным точкой С (которая ближе к точке А) в Влзолотой пропорцииВ», если отношение большей части СВ к меньшей АВ равно отношению всего отрезка АВ к большей части СВ, т.е. СВ:АС=АВ:СВ. Результатом решения этой задачи является иррациональное число, приблизительно равняющееся 1,618, которое и называют золотым сечением, золотым числом или золотой пропорцией.
После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.
В целом все первые геометрические системы тАУ эвклидова геометрия, теорема Пифагора тАУ свидетельствуют о том, насколько волновали древних греков проблемы гармонии, поиск идеальных пропорций и форм. Однако есть предположение, что первыми к принципу золотого сечения пришли все же египтяне. Наиболее известная пирамида Хеопса построена с использованием т.н. золотого треугольника, в котором соотношение гипотенузы к меньшему катету равно золотому сечению. Храмы, барельефы, предметы быта и украшения из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения.
Эстетическим каноном древнегреческой культуры этот принцип стал благодаря Пифагору, который изучал в стране пирамид тайные науки египетских жрецов. Их результат воплощен в фасаде древнегреческого храма Парфенона, где присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Также с использованием золотого сечения созданы Афродита Праксителя и театр Диониса в Афинах.
Платон (427-347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог ВлТимейВ» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
Во времена средневекового Ренессанса гениальный итальянский математик Лука Пачоли написал первую книгу о золотом сечении, назвав ее ВлБожественной пропорциейВ». По его мнению, даже Бог использовал принцип золотого сечения для создания Вселенной. Эта идея была позже использована Кеплером, последняя книга которого так и называлась тАУ ВлГармония ВселеннойВ». Пачоли считают творцом начертательной геометрии.
В то же самое время Леонардо да Винчи, другом которого был Пачоли, использовал для композиционного построения своей знаменитой Джоконды т.н. Влзолотой равнобедренный треугольникВ», в котором отношение бедра к основе равно золотому сечению.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название Влзолотое сечениеВ». Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил Влзолотому сечениюВ». Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица тАУ ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Систематизировать знания по золотому сечению и придать им четкую арифметическую форму фундаментальной пропорции мироздания удалось уже только в наше время. Большая роль в исследовании золотого сечения принадлежит украинскому учёному Алексею Стахову, в 80-х годах прошлого века обосновавшему базис нового учения о гармонии систем, должного стать, по его мнению, основной интегрирующей наукой XXI века. Книги винницкого ученого ВлВведение к алгоритмической теории измеренияВ», ВлКоды золотой пропорцииВ», ВлКомпьютерная арифметика на числах Фибоначчи и золотом сеченииВ», ВлНовый тип элементарной математики и компьютерной науки на основе золотого сеченияВ» изданы за рубежом и не остались без внимания западных производителей информационных и компьютерных технологий. Канадский университет Торонто признал автора Влмыслителем XXI векаВ». Весной 2003 г. российский физик-теоретик Юрий Владимиров открыл принцип золотого сечения в структуре атома. Ощутимый прорыв в современных представлениях о природе формообразования биологических объектов сделал в начале 90-х годов украинский ученый Олег Боднар, создавший новую геометрическую теорию филлотаксиса.
Математика гармонии применима и к современной экономике. Довольно известны, например, работы российского ученого Харитонова об экономическом развитии российских регионов и страны, в целом исходя из принципов золотого сечения.
Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи вошли в сферу бизнеса как основа оптимальных стратегий.
Наиболее перспективным направлением применения новой математики считаются компьютерные технологии. Сегодня эти разработки защищены 65 патентами США, Японии, Англии, Германии и других стран. По одной из таких технологий известная американская фирма недавно запустила в серийное производство т.н. аналоговый микропроцессор для цифровой обработки сигналов.
2. Математическая сущность золотого сечения
Рис 1.
Рассмотрим рисунок 1. Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:
В· на две равные части АВ: АC = АВ: ВC;
В· на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют), таким образом, когда АВ: АC = АC: ВC.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Алгебраически Влзолотое сечение можно выразить следующим образом: AB: AC = AC: (AB тАУ AC), откуда AC = AB: 2 (√5 тАУ 1) ≈ 0,62 AB. Число 0,62 обозначено буквой φ, в честь древнегреческого скульптора Фидия.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618.., если C принять за единицу, А = 0,382тАж
Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.
Рассмотрим взаимосвязь Влзолотого сечения с числами Фибоначчи.
Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,.. называются Влчислами ФибоначчиВ», а сама последовательность тАУ последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.
Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875.. и через раз то превосходящая, то не достигающая его.
Широкое распространение получили т.н. Влзолотые фигурыВ», имеющие в своей основе Влзолотое сечениеВ».
Прямоугольник с ВлзолотымВ» отношением сторон стали называть Влзолотым прямоугольникомВ». Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.
ВлЗолотой треугольникВ» тАУ это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.
Есть и Влзолотой кубоидВ» тАУ это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются Влзолотыми треугольникамиВ». Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.
Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма тАУ первичное понятие, а Влзолотое сечениеВ» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов тАУ пентаграмма тАУ стала известна раньше, чем ВлзолотаяВ» пропорция.
ВлЛотарингский крестВ», служивший эмблемой ВлСвободной ФранцииВ» (организация, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль), составлен из тринадцати единичных квадратов. Установлено, что прямая, делящая площадь Вллотарингского крестаВ» на две равные части, делит его в золотом отношении.
Последовательно отсекая от Влзолотых прямоугольниковВ» квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, можно получить довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали. В настоящее время Влспираль АрхимедаВ» широко используется в технике. В гидротехнике по Влзолотой спиралиВ» изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.
Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил тАУ тяготении и инерции. Золотая пропорция тАУ это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом Влпо инерцииВ» до момента цветения.
Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте Влзолотого сеченияВ».
ВлЗолотую спиральВ» также можно заметить в созданиях природы.
Например, расположение семечек в корзине подсолнечника. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнечника закручено 13 спиралей, в другую тАУ 21. Отношение 13: 21 тАУ отношение Фибоначчи.У более крупных соцветий подсолнечника число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу j.
Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.
Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.
Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 тАУ 1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.
В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138В°. Величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.
3. Золотое сечение в современной науке
В каждой науке есть т.н. ВлметафизическиеВ» знания, без которых невозможно существование самой науки. Например, если исключить из математики понятия натурального и иррационального чисел или аксиомы геометрии, математика сразу же перестанет существовать. С таким же правом к разряду ВлметафизическихВ» знаний может быть отнесено и Влзолотое сечениеВ», которое считалось ВлканономВ» античной культуры, а затем и эпохи Возрождения. Однако, как это ни парадоксально, в современной теоретической физике и математике Влзолотая пропорцияВ» никак не отражена. Ныне делаются попытки показать, что Влзолотое сечениеВ» является одной из важнейших ВлметафизическихВ» идей, без которой трудно представить дальнейшее развитие науки, в частности, теоретической физики и математики.
Анализ современных программ образования в таких странах, как США, Канада, Россия и Украина, показывает, что в большинстве из них нет даже упоминания о Влзолотом сеченииВ». То есть, имеет место сознательное игнорирование одного из важнейших открытий античной математики. Возможно, причину следует искать в негативном отношении современной ВлматериалистическойВ» науки и ВлматериалистическогоВ» образования к астрологии и так называемым ВлэзотерическимВ» наукам. В них Влзолотое сечениеВ» и связанные с ним геометрические фигуры тАУ ВлпентаграммаВ», ВлПлатоновы телаВ», Влкуб МетатронаВ» тАУ широко используются в качестве основных ВлсакральныхВ» символов. И ВлматериалистическоеВ» образование не нашло ничего более разумного, как выбросить золотое сечение на свалку Влсомнительных научных концепцийВ» вместе с астрологией и ВлэзотерическимиВ» науками. В результат большинство т.н. ВлобразованныхВ» людей хорошо знают Влтеорему ПифагораВ», но имеют весьма смутное представление о Влзолотом сеченииВ».
В настоящее время исследуются математические теории связанные с принципами Влзолотого сеченияВ»: новая теория гиперболических функций, новая теория чисел, новая теория измерения, теория матриц Фибоначчи и так называемых ВлзолотыхВ» матриц, новые компьютерные арифметики, новая теорию кодирования и новая теория криптографии. Суть новой науки, в пересмотре с точки зрения золотого сечения всей математики, начиная с Пифагора, что, естественно, повлечет в теории новые и наверняка очень интересные математические результаты. В практическом отношении тАУ ВлзолотуюВ» компьютеризацию. А поскольку Влматематика гармонииВ» существенно дополнит классическую математику, вполне возможно придется пересмотреть и всю систему современного математического образования.
Заключение
В заключении попытаемся сформулировать наиболее популярное и понятное для обывателя определение Влзолотого сеченияВ».
Золотое сечение тАУ это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Нами был проведен исторический экскурс и разобрана математическая сущность Влзолотого сеченияВ», рассмотрено строение Влзолотых фигурВ».
Знакомство с принципами Влзолотого сеченияВ», помогает видеть гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека. Можно сделать выводы:
В· во-первых, золотое сечение тАУ это один из основных основополагающих принципов природы;
В· во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.
Несмотря на неприятие Влзолотого сеченияВ» современными Влофициальными науками, оно повсеместно используется в технике, во многих странах мира, в том числе в России и Украине, довольно крупные учёные продолжают изучать и искать практическое применение одному из ВлзолотыхВ» математических принципов.
Список литературы
1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. тАУ М.: Школа-пресс, 1998.
2. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. тАУ М., 1990.
3. Волошинов А.В. Математика и искусство. тАУ М., 1992.
4. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. тАУ М., 1994.
5. Кованцов Н.И. Математика и романтика. тАУ Киев, 1976.
6. МСЭ // под редакцией Б.А. Введенского. тАУ М. 1959.
7. Пидоу Д. Геометрия и искусство. тАУ М.: Мир, 1989.
8. Прохоров А.И. Золотая спираль // Квант. 1984. № 9.
Вместе с этим смотрят:
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов