Матрицы. Дифференциальные уравнения
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка 
называется началом вектора 
, а точка 
тАУ его концом (рис. 1).
Обозначения: , 
.
Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается 
, 
.
Определение. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. На плоскостиOxy
; в пространствеOxyz
.
Определение. Суммой и разностью векторов 
и 
являются соответственно векторы
;
;
произведение вектора на число l есть вектор
.
Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
(на плоскости);
(в пространстве).
Определение. Расстояние d между двумя точками A и Bможно рассматривать как длину вектора 
, т.е.
(на плоскости);
(в пространстве).
Определение. Если два вектора 
и 
перпендикулярны, то
(на плоскости);
(в пространстве).
Определение Вектор Xназывается собственным вектором линейного оператора A(матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.
Число l называется собственным значением оператора A, заданного матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения 
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение тАУ уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
Определение Порядок старшей производной тАУ порядок дифференциального уравнения.
Определение Решение дифференциального уравнения тАУ такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.
Определение Общее решение дифференциального уравнения - го порядка называется такое его решение 
, которое является функцией переменной x и постоянных. Частное решение при конкретных значениях 
.
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
.
Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде
.
(Для решения используется замена t=y/x)/
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид
(линейное неоднородное).
(Сначала решаем уравнение 
- линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).
Определение Уравнение вида
называется уравнением Бернулли.
(Для решения используется замена 
).
Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
=0
(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение 
).
Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем 
. Тогда общее решение уравнения имеет вид
(С1, С2 тАУ некоторые числа).
2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид
(С1, С2 тАУ некоторые числа).
3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид
, где
, С1, С2 тАУ некоторые числа.
НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ
Общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+
(k=tgjкоэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)
Если две прямые y=k1x+1 и y=k2+2 параллельны, то k1=k2.
Если две прямые y=k1x+1 и y=k2+2 перпендикулярны, то k1*k2=-1.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):
Пусть прямая проходит через точку M1(x1y1) и образует с осью Ox угол 
y-y1=k(x-x1)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1y1) и M2(x2y2):
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид
y-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)
Геометрический смысл производной:
f¢(x0)=k=tga
(производная f¢(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)
МАТРИЦЫ
Определение: Матрицей размера m
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрица размера m:
.
Виды матриц
Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца тАУ матрицей (вектором)- столбцом.
Пример:
; 
.
Определение: Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
Пример:
- квадратная матрица третьего порядка.
Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример:
- диагональная матрица третьего порядка.
Определение: Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей -го порядка, она обозначается буквой E.
Пример:
- единичная матрица второго порядка;
- единичная матрица третьего порядка.
Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.
Операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число
Каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример:
, 0,5
.
2. Сложение матриц
!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы складываются поэлементно.
Пример:
.
3. Вычитание матриц
!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.
Матрицы вычитаются поэлементно.
Пример:
.
4. Умножение матриц
!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы 
называется такая матрица 
, каждый элемент которой cijравен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
5. Возведение в степень
Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.
.
Пример:
, найти А2.
6. Транспонирование матрицы
Транспонированная матрица тАУ матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается 
.
Пример:
.
Обратная матрица
Определение: Матрица 
называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.
.
!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим определитель матрицы, т.е.
.
2. Находим транспонированную матрицу , т.е..
3. Находим присоединенную матрицу, т.е 
(матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле 
.
5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.
Ранг матрицы
Определение: Ранг матрицы тАУ это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.
!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).
Элементарными называются следующие преобразования матриц:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;
3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;
4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.
Пусть зависимость между двумя переменными xи y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
Вместе с этим смотрят:
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов