Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики
№1 Функциональные ряды
Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+тАж+Un(x)+тАж Придавая х какое-либо значение х0из области определения функций Un(x), получим числовой ряд U1(x0)+ U2(x0)+тАж+ Un(x0)+тАж Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х0ряд расходится, то точка х0называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.
Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, ], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд 1+ 2 +тАж+bn+тАж, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, ], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. |Un(x)| ≤ bn (=1, 2, тАж)
№2 Неопределенный интеграл и его свойства
Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).
Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство FтАЩ(x)=f(x).
Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где СтВмR.
Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом
Свойства:
тАУ неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;
тАУ постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
№3 Асимптоты
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.
Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если lim f(x)=∞ ,
x→0В±a
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b
R = lim(y/x) ; b = lim (y тАУ Rx)
x→0 x→0
Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.
№4 Экстремум функции (для одной переменной)
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и fтАЩ(x)>0 (fтАЩ(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х, не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х0), где х0 тАУ точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.
Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.
Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х0 тАУ точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х0 тАУ точка минимума.
№5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.
Физический: производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к 0.
Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в точке х0.
№6 Замечательные пределы
lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e тАУ экспонент)
x→∞ x→0
№7 Точки разрыва функции, классификация
Точка х0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке х0 функция не определена, или не существует предел функции при х → х0 , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х0: lim f(x) ≠ f(х0). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,
x→x0
если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)≠f(x0+0). x→x0-0 x→x0+0
Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).
№8 Непрерывность функции на отрезке
Функция y=f(x) называется непрерывной, если:
тАУ функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
тАУ функция имеет предел при x→x0,
тАУ предел функции при x→x0 равен значению функции в точке x0: lim f(x) = f(х0)
x→x0
Если в точке х0 функция непрерывна, то точка х0 называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х0 справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 . Если lim f(x) = f(х0), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0 справа; если lim f(x) = f(х0),
x→x0+0x→x0-0
то функция называется непрерывной в точке x0 слева.
№9 Предел функции по Гейне
Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 если для любой последовательности { xn} сходящейся к x0 , последовательность F({ xn}) соответствующих значений функции сходится к А:
lim f(x) =A
x→x0
№10 Предел функции по Коши
Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число δ>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x0|< δ, x≠x0 выполняется неравенство |f(x)-A|№11 Предел числовой последовательности
Число а называется пределом последовательности xn, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где nn-a|n = a
n→∞
Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Операции над пределами последовательностей:
Пусть lim xn = a; lim уn = b, тогда
n→∞ n→∞
тАУ lim (xnВ± уn) = aВ±b;
n→∞
тАУ lim (xn* уn) = a*b;
n→∞
тАУ lim (c* xn) = c*a;
n→∞
тАУ lim (xn)^R = (lim xn)^R=a^R;
n→∞
тАУ lim (xn)^1/R = a^1/R;
n→∞
тАУ lim a = a.
n→∞
Бесконечно большие последовательности:
тАУ lim xn= В±∞;
n→∞
Правила вычисления пределов ЧП:
тАУ lim xn= а; lim yn= В±∞, тогда lim xn/ lim yn= а/В±∞=0;
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
тАУ lim xn= 0; lim yn= В±∞, тогда lim yn=0, lim (xn/ yn)= В±∞
n→0 n→∞ n→∞ n→∞
№12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Если точки М0 (x0 ; y0 ; z0 ), М1 (x1 ; y1 ; z1 ), М2 (x2 ; y2 ; z2 ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением
x тАУ x0 y тАУ y0 z тАУ z0
x1 тАУ x0 y1 тАУ y0 z1 тАУ z0 = 0
x2 тАУ x0 y2 тАУ y0 z2 тАУ z0
№14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).
Прямая L, проходящая через точку М0 (x0 ; y0 ; z0 ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,}, представляется уравнениями x тАУ x0 y тАУ y0 z тАУ z0
= = ,
l m n
выражающими коллинеарность векторов a {l,m,} и М0М { x тАУ x0 , y тАУ y0 , z тАУ z0}. Они называются каноническими.
№15 Уравнение прямой на плоскости.
Ax + By + C = 0, где А, В, С тАУ постоянные коэффициенты.
Заметим, что n (А; В) тАУ нормальный вектор (n ┴ прямой).
Частные случаи этого уравнения:
тАУ Ах + By = 0 (C=0) тАУ прямая проходит через начало координат;
тАУ Ах + С = 0 (В=0) тАУ прямая параллельна оси Оу;
тАУ Ву + С = 0 (А=0) тАУ прямая параллельна оси Ох;
тАУ Ах = 0 тАУ прямая совпадает с осью Оу;
тАУ Ву = 0 тАУ прямая совпадает с осью Ох.
№16 Векторы. Операции над векторами.
Вектор тАУ направленный отрезок прямой.
I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.
а b а b а a c
а b a + b = c
a b b а
Равенство векторов:
Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов:
Суммой векторов называется третий вектор
Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, тАж, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.
Коллинеарность векторов:
Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Скалярное произведение:
Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними
Угол между векторами:
cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2
№17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.
x = ∆1/∆; x2 = ∆2/∆; тАж xn = ∆n/∆
№18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.
Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+тАж+аnxn = b1;
{ а21х1 + а22х2 + а23х3+тАж+аnxn = b2; }, где аij тАУ коэффициенты системы, bi тАУ свободные
am1x1 + am2x2 + am3x3+тАж+amnxn = bm члены
№19 Обратная матрица. Ранг матрицы.
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А-1 = А-1*А = Е
Всякая невырожденная матрица (т.е. ∆≠0) имеет обратную.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;
2. находим матрицу АТ, транспонированную к А;
3.