Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Московский авиационный институт
/государственный университет/
Филиал ВлВзлетВ».
Курсовая работа
по Теории вероятности и математической статистике
Выполнил: студент группы
Р 2/1 Костенко В.В.
Проверил: Егорова Т.П.
г.Ахтубинск 2004 г.
Содержание
Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины
Задание №3: Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения
Список используемой литературы
Задание №1. Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы
Определение: При неограниченном увеличении числа опытов n частота события A сходится по вероятности к его вероятности p.
План проверки: Составить электрическую схему из последовательно и параллельно соединенных 5 элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6 < pi < 0.9. Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в среде Turbo Pascal .
Схема:
Электрическая цепь, используемая для проверки теоремы Бернулли:
Расчет:
Чтобы доказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частоты появления события в серии опытов в математическом моделировании равнялось значению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.
Математическое моделирование в среде TurboPascal
Program KURSOVIK;
Uses CRT;
Const c=5;
Var op,i,j,n,m:integer;
a,rab,pp,ppp,ppp1,ppp2:real;
p:array[1.c] of real;
x:array[1.c] of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p[1]:=0.7; p[2]:=0.8; p[3]:=0.9; p[4]:=0.7; p[5]:=0.8;
Writeln(' Опытов: Исходы: Вероятность:'); Writeln;
For op:=1 to 20 do Begin
n:=op*100;m:=0;
Write(' n=',n:4);
For i:=1 to n do Begin
For j:=1 to c do Begin
x[j]:=0;
a:=random;
if a
End;
rab:=x[i]+x[2]*(x[3]+x[4]+x[5]);
If rab>0 then m:=m+1;
End;
pp:=m/n;
writeln(' M= ',m:4,' P*= ',pp:3:3);
End;
ppp1:=p[1]+p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp2:=p[1]*p[2]*(p[3]+p[4]+p[5]-p[3]*p[4]-p[3]*p[5]-p[4]*p[5]+p[3]*p[4]*p[5]);
ppp:=ppp1-ppp2;
Writeln; Writeln(' Вер. в опыте: p=',ppp:6:3);
Readln;
End.
Результат работы программы
Опытов: Исходы: Вероятность:
n= 100 M= 94ВаВаВаВаВаВаВаВа P*= 0.940
n= 200 M= 163ВаВаВаВаВаВа P*= 0.815
n= 300 M= 247ВаВаВаВаВаВа P*= 0.823
n= 400 M= 337ВаВаВаВаВаВа P*= 0.843
n= 500 M= 411ВаВаВаВаВаВа P*= 0.822
n= 600 M= 518ВаВаВаВаВаВа P*= 0.863
n= 700 M= 591ВаВаВаВаВаВа P*= 0.844
n= 800 M= 695ВаВаВаВаВаВа P*= 0.869
n= 900 M= 801ВаВаВаВаВаВа P*= 0.890
n=1000 M= 908ВаВаВаВаВа P*= 0.908
n=1100 M= 990ВаВаВаВаВа Р*= 0.900
n=1200 M= 1102ВаВаВа P*= 0.918
n=1300 M= 1196ВаВаВа P*= 0.920
n=1400 M= 1303ВаВаВа P*= 0.931
n=1500 M= 1399ВаВаВа P*= 0.933
n=1600 M= 1487ВаВаВа P*= 0.929
n=1700 M= 1576ВаВаВа P*= 0.927
n=1800 M= 1691ВаВаВа P*= 0.939
n=1900 M= 1782ВаВаВа P*= 0.938
n=2000 M= 1877ВаВаВа P*= 0.939
Вероятность в опыте: p= 0.939
Теоретический расчёт вероятности работы цепи:
I способ:
II способ:
Вывод: Из математического моделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данного события P(A) = 0.939.
Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Моделирование случайной величины, имеющей геометрический закон распределения:
(X=xk) = p(1-p)k
где xk = k=0,1,2тАж, р тАУ определяющий параметр, 0
k) получим теоретический многоугольник распределения, изображённый на рис.1.
По ряду распределения составим теоретическую функцию распределения F(x), изображённую на рис.2. Смоделируем дискретную случайную величину, имеющую геометрический закон распределения, методом Монте тАУ Карло. Для этого надо:
1. Разбить интервал (0;1) оси ОК на k частичных интервалов:
D1 тАУ (0;р1), D2 тАУ (р1;р1+р2) тАж Dk тАУ (p1+p2+тАж+pk-1;1)
2. Разбросать по этим интервалам случайные числа rj из массива, смоделированного датчиком случайных чисел в интервале (0;1). Если rj попало в частичный интервал DI, то разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение xi.
По данным разыгрывания составим статистический ряд распределения Р*(Х) и построим многоугольник распределения, изображенный на рис.1. Построим статистическую функцию распределения F*(X), изображённую на рис.2. Теперь посчитаем теоретические и статистические характеристики дискретной случайной величины, имеющей геометрический закон распределения.
Рис.1.
Рис.2.
Задание №2. Смоделируем случайную величину, имеющую геометрический закон распределения случайной величины
Программав Turbo Pascal:
Program kursovik;
Uses crt;
Const M=300;
Var
K,I:integer;
P,SI,SII,SP,DTX,DSX,MX,MSX,GT,GS:real;
X:array[1.300] of real;
PI,S,P1,MMX,MS,D,DS,PS,STA,STR:ARRAY[0.10] OF REAL;
BEGIN;
CLRSCR;
randomize;
{ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД}
WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:');
P:=0.4; SI:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
IF K=0 THEN PI[K]:=P ELSE
IF K=1 THEN PI[K]:=P*(1-P) ELSE
IF K=2 THEN PI[K]:=P*SQR(1-P) ELSE
IF K=3 THEN PI[K]:=P*SQR(1-P)*(1-P) ELSE
IF K=4 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P)) ELSE
IF K=5 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P))*(1-P) ELSE
IF K=6 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P))*SQR(1-P) ELSE
IF K=7 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(1-P))*SQR(1-P)*(1-P) ELSE
IF K=8 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(SQR(1-P))) ELSE
IF K=9 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(SQR(1-P)))*(1-P) ELSE
IF K=10 THEN PI[K]:=P*SQR(SQR(SQR(1-P)))*SQR(1-P) ELSE
SI:=SI+PI[K];
WRITELN(' P[',K,']=',PI[K]:6:5);
END;
READLN;
WRITELN('ИНТЕРВАЛЫ:');
P1[1]:=0.4;
FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN
P1[K+1]:=PI[K]+P1[K];
WRITELN( 'PI[',K,']=',P1[K]:6:5);
END;
READLN;
{СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД}
WRITELN;
WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКИЙ РЯД:');
FOR I:=1 TO 9 DO BEGIN
X[I]:=RANDOM;
WRITE(X[I]:5:2);
END;
READLN;
FOR I:=10 TO 99 DO BEGIN
X[I]:=RANDOM;
WRITE(X[I]:5:2);
END;
READLN;
FOR I:=100 TO 200 DO BEGIN
X[I]:=RANDOM;
WRITE(X[I]:5:2);
END;
READLN;
FOR I:=201 TO 300 DO BEGIN
X[I]:=RANDOM;
WRITE(X[I]:5:2);
END;
READLN;
PS[K]:=0;
FOR I:=1 TO M DO BEGIN
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
IF ((X[I]
=P1[K-1])) THEN BEGIN
PS[K]:=PS[K]+1;
END;
END;
END;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
STA[K]:=PS[K+1]/M;
WRITELN('P*[',K,']=',STA[K]:6:5);
END;
WRITELN;
WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИНТЕРВАЛЫ:');
STR[1]:=STA[0];
FOR K:=1 TO 10 DO BEGIN
STR[K+1]:=STR[K]+STA[K];
WRITELN(' PS[',K,']=',STR[K]:6:5);
END;
READLN;
{ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx}
MX:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
MMX[K]:=K*PI[K];
MX:=MX+MMX[K];
END;
WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ MX:',MX:6:5);
MSX:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
MS[K]:=K*STA[K];
MSX:=MSX+MS[K];
END;
WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКОЕ МАТОЖИДАНИЕ Mx*:',MSX:6:5);
WRITELN;
{ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx}
DTX:=0; DSX:=0;
FOR K:=0 TO 10 DO BEGIN
D[K]:=SQR(K-MX)*PI[K];
DTX:=DTX+D[K];
DS[K]:=SQR(K-MSX)*STA[K];
DSX:=DSX+DS[K];
END;
WRITELN('ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx:',DTX:6:5);
WRITELN('СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ Dx*:',DSX:6:5);
WRITELN;
{ТЕОР И СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G}
GT:=SQRT(DTX);
GS:=SQRT(DSX);
WRITELN('ТЕОР СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G:',GT:6:5);
WRITELN('СТАТ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ G*:',GS:6:5);
WRITELN;
READLN;
END.
Результаты:
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РЯД:
P[0]=0.40000
P[1]=0.24000
P[2]=0.14400
P[3]=0.08640
P[4]=0.05184
P[5]=0.03110
P[6]=0.01866
P[7]=0.01120
P[8]=0.00672
P[9]=0.00403
P[10]=0.00242
ИНТЕРВАЛЫ:
PI[1]=0.40000
PI[2]=0.64000
PI[3]=0.78400
PI[4]=0.87040
PI[5]=0.92224
PI[6]=0.95334
PI[7]=0.97201
PI[8]=0.98320
PI[9]=0.98992
PI[10]=0.99395
Статистический ряд:
0.57 0.86 0.58 0.11 0.81 0.26 0.17 0.14 0.51 0.53 0.80 0.57 0.17 0.14 0.30 0.58 0.80 0.55 0.86 0.81 0.80 0.18 0.39 0.02 0.74 0.67 0.57 0.32 0.30 0.92 0.64 0.95 0.96 0.25 0.10 0.87 0.44 0.76 0.87 0.43 0.84 0.58 0.62 0.87 0.90 0.70 0.20 0.62 0.08 0.54 0.53 0.47 0.08 0.40 0.30 0.09 0.26 0.54 0.29 0.60 0.95 0.52 0.27 0.99 0.54 0.84 0.75 0.74 0.03 0.42 0.98 0.92 0.32 0.07 0.06 0.49 0.36 0.15 0.03 0.75 0.05 0.17 0.20 0.03 0.54 0.76 0.28 0.16 0.09 0.58 0.96 0.29 0.92 0.88 0.92 0.03 0.57 0.78 0.61 0.05 0.71 0.67 0.10 0.62 0.39 0.10 0.01 0.72 0.27 0.09 0.14 0.60 0.24 0.88 0.40 0.07 0.43 0.39 0.28 0.84 0.68 0.93 0.66 0.65 0.81 0.02 0.02 0.05 0.32 0.29 0.17 0.10 0.34 0.81 0.02 0.26 0.02 0.34 0.23 0.28 0.66 0.43 0.52 0.00 0.16 0.17 0.07 0.11 0.75 0.21 0.37 0.45 1.00 0.29 0.35 0.37 0.54 0.28 0.63 0.25 0.08 0.67 0.30 0.17 0.58 0.93 0.64 0.25 0.68 0.06 0.39 0.35 0.79 0.43 0.80 0.99 0.36 0.64 0.52 0.65 0.29 0.02 0.81 0.01 0.53 0.98 0.89 0.61 0.25 0.32 0.44 0.99 0.14 0.30 0.28 0.44 0.83 0.97 0.01 0.72 0.36 0.09 0.03 0.57 0.21 0.66 0.26 0.80 0.39 0.95 0.48 0.10 0.59 0.39 0.94 0.25
0.28 0.86 0.03 0.98 0.36 0.13 0.80 0.88 0.82 0.64 0.76 0.08 0.28 0.70 0.31 0.49 0.58 0.84 0.60 0.03 0.72 0.04 0.81 0.86 0.84 0.85 0.03 0.87 0.96 0.77 0.28 0.59 0.75 0.38 0.40 0.55 0.57 0.04 0.70 0.70 0.46 0.21 0.79 0.21 0.88 0.70 0.89 0.10 0.35 0.30 0.44 0.25 0.40 0.80 1.00 0.84 0.29 0.16 0.68 0.28 0.48 0.41 0.49 0.17 0.98 0.58 0.53 0.83 0.84 0.70 0.76 0.44 0.40 0.64 0.81 0.89 0.32 0.39 0.21 0.77 0.22 0.05 0.76 0.24
P*[0]=0.44333
P*[1]=0.21000
P*[2]=0.12667
P*[3]=0.11000
P*[4]=0.04000
P*[5]=0.02333
P*[6]=0.01667
P*[7]=0.01000
P*[8]=0.01000
P*[9]=0.00333
P*[10]=0.00148
Статистические интервалы:
PS[1]=0.44333
PS[2]=0.65333
PS[3]=0.78000
PS[4]=0.89000
PS[5]=0.93000
PS[6]=0.95333
PS[7]=0.97000
PS[8]=0.98000
PS[9]=0.99000
PS[10]=0.99333
Числовые характеристики:
MX:1.45465
Mx*:1.36478
Dx:3.29584
Dx*:3.20549
G:1.81544
G*:1.79039
Задание №3. Проверка критерием Колмогорова: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения
Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x).
D = max | F*(x)- F(x)|
D = 0.04
Далее определяем величину l по формуле:
l = D\| n ,
где n тАУ число независимых наблюдений.
l = D\| n =0,04*\/ 300 = 0,693
и по таблице значений вероятности P(l) находим вероятность P(l).
P(l) = 0,711.
Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое.
Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.
Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x).
D = max | F*(x)- F(x)|
D = 0.04
Далее определяем величину l по формуле:
l = D\| n ,
где n тАУ число независимых наблюдений.
l = D\| n =0,04*\/ 300 = 0,693
и по таблице значений вероятности P(l) находим вероятность P(l).
P(l) = 0,711.
Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое.
Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.
Список используемой литературы
1. ВлТеория вероятностейВ» В. С. Вентцель.
2. ВлТеория вероятностей (Задачи и Упражнения)В» В.С. Вентцель, Л. А. Овчаров.
3. ВлСправочник по вероятностным расчётамВ».
4. ВлТеория вероятностей и математическая статистикаВ» В.Е.Гмурман.
5. ВлРуководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистикеВ» В. Е. Гмурман.
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Актуальные проблемы квантовой механики