Философия математики
1. Греческая математика и её философия
2. Взаимосвязь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века
3. Философия и математика в эпохе просвещения
4. Анализ природы математического познания немецкой классической философии
5. Развитие математики во второй половине хiх столетия
Заключение
У философии и математики немало сопряженных точек. Их определенно больше, чем во взаимных отношениях философии с другими науками.
Благодаря отвлеченности математического объекта от любых природных, вещественных свойств, образуются абстракции высоких порядков, несущие глубокие обобщения о реальности. Ибо математика, по признанию многих ее творцов, есть искусство давать одно и то же имя разным вещам. И чем дальше отстоят вещи, тем эффективнее математическое обобщение. Так оно достигает предельных значений, оказываясь объектом столь же математической, столько философской компетенции: количественные и пространственные структуры, бесконечность, вероятность. Философия имеет и другие основания тАЬприсмотретьсятАЭ к математике.
Специфичность предмета математики (науки о формах и отношениях, взятых в отвлечении от содержания) ставит ее как и философию, в особую позицию естествознанию, а в последние десятилетия - и к обществознанию. Речь идет о том, что их сближает внимание к общим аспектам познавательного процесса, поскольку они раскрывают: математика - лежащие в фундаменте всего естествознания методы и алгоритмы количественной обработки информации, философия - общую стратегию научного поиска.
Но математика являет собой не только язык науки (при том, как считают, наиболее подходящий язык), не только способ переработки ее материала в формы, открывающие новые пути исследования. Она для естествознания также источник представлений и концепций. Эта способность обслуживать науку эвристически, а так же поставлять ей методы анализа еще более сближает математику с философией.
Наконец, философы испытывают притяжение к математике и в связи с тАЬнестандартностью" ее содержания и методов.
В современных условиях необходимость сотрудничества ощущается еще острее. Реализуя внутренние потенции, математика ныне поднялась к абстракциям, особенно отрешенным от действительности. Она всегда отличалась умением находить аналогии, сближая (часто весьма далекие) явления и процессы. И если вначале это были аналогии между утверждениями и доказательствами, позднее - между теориями, современная математика ставит вопрос о самой природе аналогий.
В данной дипломной работе исследуется взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития с точки зрения математики. Она включает листов и состоит из: введения, основной части и заключения. Основная часть содержит в себе следующие разделы: греческая математика и ее философия; взаимосвязь философии и математики от начала эпохи Возрождения до конца XYII века; философия и математика в эпоху Просвещения; анализ природы математического познания немецкой классической философии; развитие математики во второй половине XIX столетия.
Математика Древней Греции характеризуется прежде всего тесной связью с философией, причем эта связь разностороння и простирается на все виды культуры. В этот период математика как наука закладывала основные части своего фундамента: аксиоматику геометрии, дедуктивный вывод, понятие числа и т.д. На развитие математики, конечно, в первую очередь влияли авторитет и мировоззрение основателя школы. Однако в этих школах все же больше было идей, нежели предрассудков. Кроме того, не существовало никакой другой более существенной формы развития науки кроме философских школ.
В эпоху средневековья в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики не вышла за рамки пифагореизма. Лишь в XIV-XV веках математика стала рассматриваться как вторичное знание, зависящее от внешних реальностей. В философии важными результатами естественнонаучного направления были методы экспериментально-математического исследования природы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают как пренебрежение философским анализом математического познания, так и отождествление философских проблем математики с основоположениями философской системы. Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления ее мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики.
В эпоху просвещения главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII века было овладение приемами дифференциального и интегрального исчислений и широкое использование их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается падение интереса к философии. Изменилось отношение и философов к математике. Ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.
В период бурного развития политической мысли, в эпоху политических и философских революций в математике происходила бурная борьба между материалистическим и идеалистическим направлениями. Эта борьба принесла свои плоды: возникновение дифференциального и интегрального исчислений, открытие неевклидовой геометрии, разрушение догматических воззрений на природу математики. Такая эволюция математики стимулировала развитие техники, убеждая, кстати, в востребованности самой математики.
Во второй половине XIX столетия математика все настоятельнее требовала таких ученых, которые сочетали бы в себе теоретика, практика и организатора. Философскую основу продуктивной деятельности великих математиков XIX века составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики. Роль материализма состояла не в слепой победе над идеализмом, а в очищении познания от догматических принципов, что является непосредственным двигателем прогресса.
Философия впервые в истории человечества возникла в странах Древнего Востока - Египте, Вавилоне, Индии, Китае. Здесь же впервые зарождаются и системы математических знаний. Последние носили преимущественно характер эмпирических сведений, полученных в процессе производственной деятельности и были направлены на решение конкретных практических задач. Исходные направления философской мысли в ряде случаев соприкасались с элементами математического познания, но эта связь не выступала в такой отчётливой форме, не оказывала заметного стимулирующего воздействия на последующее развитие как философии так и математики по сравнению с тем, что мы имеем в науке Древней Греции. Это может служить некоторым оправданием тому, чтобы, опуская длительную историю формирования философских и математических знаний в странах Востока, непосредственно приступить к исследованию поставленной проблемы в древнегреческой науке.
Совместный путь математики и философии начался в Древней Греции около VI века до н.э. Не стеснённое рамками деспотизма, греческое общество той поры было подобно питательному раствору, на котором выросло многое, что дошло до нас в сильно измененном временем виде, однако сохранив основную, заложенную греками идею: театр, поэзия, драматургия, математика, философия.
Анализ древнегреческой математики и философии следует начать с милетской школы, заложившей основы математики как доказательной науки.
Милетская школа - одна из первых древнегреческих математических школ, оказавшая существенное влияние на развитие философских представлений того времени. Она существовала в Ионии в конце V - IV вв. до н.э. Основными деятелями её являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э).
Наиболее полные сведения имеются о математической деятельности Фалеса, об Анаксимандре известно только то, что он занимался геометрией (составил первый "очерк геометрии"), конкретных указаний о математической деятельности Анаксимена не сохранилось.
Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.
Появление потребности доказательства в греческой математике получает удовлетворительное объяснение, если учесть взаимодействия мировоззрения на развитие математики. В этом отношении греки существенно отличаются от своих предшественников. В их философских и математических исследованиях проявляются вера в силу человеческого разума, критического отношения к достижениям предшественников, динамизм мышления, у греков влияние мировоззрения превратилось из сдерживающего фактора математического познания в стимулирующий, в действенную силу прогресса математики.
В том, что обоснование приняло именно форму доказательства, а не остановилось на эмпирической проверке, решающим является появление новой, мировоззренческой функции науки. Фалес и его последователи воспринимают математические достижения предшественников, прежде всего для удовлетворения технических потребностей, но наука для них - нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач. Отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему, и здесь выполняют роль антипода мифологическим и религиозным верованиям. Эмпирическая подтверждаемость для элементов философской системы была недостаточной в силу общности их характера и скудности подтверждающих их факторов. Математические знания же к тому времени достигли такого уровня развития, что между отдельными положениями можно было установить логические связи. Такая форма обоснований оказалась объективно приемлемой для математических положений.
Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в некотором смысле подчиненным математике. "Математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает сомнения, исходные посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны ", - пишет Е.А. Беляев.
На примере милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического познания только при радикальном изменении социально-экономических условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.
Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н.э. и прошёл в своём развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор Самосский (около 580 - 500 до н. э).
В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифагорейский образ жизни ") и теоретическую (определённая совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалось обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определённое душевное состояние и лишь, потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями у пифагорейцев было специфическое представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного морального кодекса, "пифагорейский образ жизни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и полученными исследованиями.
Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство высвобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешены с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения.
Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как сущность вещей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "всё есть число".
Согласно Аристотелю, Пифагор пришёл к понятию числа как универсальной основы всех вещей через изучение музыки. Он случайно обнаружил, что любое различие в звучании определяется числовым соотношением. Велико было восхищение, вызванное этим открытием. Однако вскоре философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур. Убежденье в истинности того или иного убеждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии. Пифагорейцы искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в окружающем мире, надеясь найти в них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких совпадений ещё не возникало.
Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и милетской школы, то можно выявить ряд существенных различий. Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность мира, то есть радикально изменилась само понимание природы математических объектов, кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И, наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют положение математики для решения производственных задач. Пифагор, скорее всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельности, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая деятельность этих школ носила различный характер.
Что касается природы самой математической закономерности, истоков её обусловленной истинности, то ранние пифагорейцы, скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счёт.
Сочинение Платона (427-347 гг. до н. э) - уникальное явление в отношении выделения философских концепций. Это высоко художественное, выхватывающее описание самого процесса становления, концепций, с сомнениями и не уверенностью, подчас с безрезультатными попытками решения поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так как приходится реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою противоположность.
Математические истины для Платона врожденны, они представляют собой впечатление об истине самой по себе, которые душа получила пребывая в более совершённом мире, в мире идей. Математическое познание есть по этому просто воспоминание, оно требует ни опыта, ни наблюдения природы, а лишь ведения разума.
Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные сущности, в отличие от сущностей, данных в опыте, эмпирических. "Когда геометры - говорит Платон, - пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили". Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей) можно видеть только "мысленным взором".
В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен вопрос о специфике объектов изучаемых математикой, который является одним из основных и в современной философии математики.
Наряду с пифагорейской философией существовала, хотя и в недостаточно выраженной форме, другая, более реалистическая философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Данная позиция отчасти диктовалась общей установкой атомизма, но главное было в том, что допущение бесконечной делимости приводило к многочисленным парадоксам. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует.
Математически атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивал на частоте математического метода, а так же и на идеализации бесконечной делимости геометрических величин. Система евклидовой математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм, тем не менее, содержал в зародыше будущую, более эмпирическую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.
Первый наиболее сильный удар по философии пифагореизма был нанесен открытием несоизмеримых отрезков. Это подрывало не только гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, но и их идеологию в целом. В связи с кризисом пифагорейской философии математики необходимо так же упомянуть об апориях Зенона - нескольких рассуждениях, которые будучи (по крайней мере, по видимости) строгими, вместе с тем ставят под сомнения некоторые очевидные факторы, в частности время и движения. Главная ошибка в этих рассуждениях в неправильном использовании понятий.
Широкая критика пифагореизма была дана Аристотелем в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его мировосприятие отличается от платоновского радикальным образом.
Аристотеля можно назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического познания не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.
В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражение объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится все математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.
Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные представления. Наука для Аристотеля - не конструирование гармонии, но отыскание причин явлений. Из философии Аристотель удаляет всякую примесь поэзии; его стиль лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные сущности. Математика по Аристотелю - это не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные от вещей.
Если подвести итог тем результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и пропорциональности чисел, закладываются основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих материалистов-атомистов, возглавлявшаяся Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).
Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного проведения религиозно-идеалистических установок их мировоззрения, сколько преодолением их. Ведь если следовать за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда не имело никакого смысла вести самостоятельную исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами главы секты пересекают поиск истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.
Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь вступают в противоречия с рядом методологических установок (необходимость научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения идеалистического характера последовательно выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.
Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах мира, можно признавать его как определённый метод аргументации. В этом плане он оказал громадное влияние на последующее развитие философской и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке сохраняется как антологизация различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть электромагнитную природу света. Как можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.
За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV - XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытно зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Важными результатами естественнонаучного направления в философии эпохи Возрождения были методы экспериментально-математического исследования природы.
В период средневековья считалось, что центр Земли совпадает с центром Вселенной. Солнце, луна и звезды укреплены на прозрачных сферических оболочках и вращаются вокруг единого центра. Коперник на основании тщательных астрономических наблюдений и их математической обработки сделал вывод, что Земля вращается вокруг Солнца. Эту идею высказывали еще древние, но никто из предшественников Коперника не мог дать ей достаточно полного математического обоснования. Математическую форму изложения учения Коперника отличал и Джордано Бруно, который вышел за пределы солнечной системы, представив Вселенную как безграничную область, заполненную бесчисленными мирами. Кеплер, на основе широкого использования математики, открывал законы движения планет. Галилей подтвердил и развил учение Коперника. "Важно подчеркнуть, что одним из руководящих критериев, направлявших Галилея на пути к выработке именно этой мировоззренческой концепции была математика", - писал Кедровский О.И.
Таким образом, возникало новое научное мышление. Созданные в первые десятилетия XVII века работами Кеплера и Галилея фрагменты новой науки были изолированы, поскольку земные небесные движения рассматривались как качественно отличные друг от друга. Отсутствовала синтезирующая концепция, которая соединила бы законы Кеплера и Галилея. Существенную роль в решении этой задачи сыграли работы Р. Декарта. Мир представлялся Декарту заполненным материей пространства. Природа материи состоит в протяженности, все свойства материальных тел сводятся к преобразованию протяженности, а все движения - к механическому перемещению. Таким образом, природа мироздания определяется в конечном итоге математическими и механическими характеристиками. Влияние математики при решении важных философских проблем несомненно, но оно не выражается через выявление строгих количественных закономерностей.
Декарт создал метод координат, перебросив мостик между алгеброй и геометрией. Алгебраические задачи теперь можно решать геометрическими методами и наоборот. Очень важно также было систематизирование им математических обозначений и перевод математики на современный язык. Декарт рассматривал всю математику как теорию алгебраических уравнений. Он считал всю математику универсальной, позволяющей решать математические и нематематические проблемы - "нужно лишь следовать по тому же пути". Поворотным пунктом математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движения и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникало и которое было и в целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.
Однако уже самому Декарту приходится искать не алгебраические пути при решении некоторых задач. Требовалось изменить статус алгебры как универсального математического метода. В силу жесткой связи между математическим методом и общей методологией познания, такое изменение затрагивало основы философской системы.
И. Ньютон синтезирует многочисленные исследования, проведенные его предшественниками и им самим, и создает принципиально новую систему знаний о природе. Читая лекцию по теории света и цветов, он на основе измерительного математического опыта и математического расчета, делал вывод, что науку о цветах "следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением". Ньютон в своих "Началах" впервые создал математическое естествознание о смысле математического изучения механических, физических и астрономических явлений, исходя из единого основания. Математика, согласно Ньютону, играет очень важную роль: ее понятия являются как бы прообразами и необходимыми компонентами фундаментальных понятий теоретического исследования. В "Началах" натурфилософские представления времени пространства, места и движения формализуются, в них выделяется математически точный компонент.
При решении некоторых физических задач Ньютону приходилось сталкиваться с проблемой проведения касательных к кривым. Им был разработан универсальный метод построения касательных - метод флюксий, являвшийся, по сути, методом нахождения производных. Создание теории флюксий Ньютона было осуществлено в органическом единстве математических знаний философских идей. Философские понятия выполнили синтезирующую роль по отношению к фактам математического знания.
Успехи, достигаемые на пути математизации естествознания, укрепляли веру в значимости математики. Появление работ Ньютона, как образно выразился Д.А. Граве, открыло эпоху перехода этой веры в полное внутреннее убеждение. Из сферы умозрительных натурфилософских рассуждений по средствам математики и опыта выводится обширная область явлений, которые теперь находят более скрытое объяснение в пределах конкретной науки. Широкое распространение получает мнение, что посредством математики и механики, которые разъяснили столь многое, можно объяснить всё. Когда же обнаружилась неспособность "математизированной метафизики" выполнять возложенные на неё функции, то это послужило одним из оснований для дискредитации всей системы механического материализма, повода для возрождения идеалистических и теологических позиций в науке. Подобного рода тенденция находит проявление в работах Г.В. Лейбница.
Одним из приверженцев новой науки становится Лейбниц. Он предсказывает неудовлетворение механической картиной мира и делает попытку изменить её. Великой заслугой немецкого мыслителя было то, что он, хотя и в теологической форме, но подходил к принципу неразрывной (и универсальной, абсолютной) связи материи и движения.
Но Лейбниц неправ, когда дополнение количества качеством по сути дела приводит как дополнение материального идеальным.
Тенденция дематематизации начал бытия, проводимая Лейбницем, поскольку она была продиктована стремлением найти более глубокое объяснение явлений действительности и установить более рациональное отношение между математикой и философией, имела прогрессивное значение.
Независимо от Ньютона Лейбниц так же пришёл к открытию дифференциального, а затем и интегрального исчисления. Многие основные черты нового метода математики выступили как конкретное преломление, примиритель к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии.
Воззрение Н. Коперника, Дж. Бруно, И. Кеплера, Г. Галилея, Р. Декарта, И. Ньютона и Г.В. Лейбница представляют основное течение формирования новой системы взглядов на мир. Наиболее ортодоксальными противниками этой линии были сторонники религиозно-схоластического миропонимания. Между теми и другими формировались и эволюционировали промежуточные направления, в большей или меньшей мере они равнялись на математику. Однако наиболее ярко последняя проявила себя именно в сочинениях рассмотренных выше учёных.
Успехи, достигнутые на пути широкого применения математических средств, на пути количественного анализа послужили поводом для распространения последнего за рамки допустимого. Использование математики в ряде случаев сопровождается абсолютизацией дедуцирования по сравнению с опытным исследованием, преувеличением роли количественного подхода и умалением значимости качественного анализа, неправомерной подменой мировоззренческих, философских принципов положениями математического естествознания, чрезмерное увлечение математикой в системе философского познания делает последний односторонним. Абсолютизация роли математики оказала отрицательное воздействие на прогресс науки, поскольку послужила монологическим источником возникновения на новой основе идеалистических воззрений.
Философский анализ у мыслителей новой эпохи не охватывает столь широкого спектра проблем, как период античности, особенно в логико-монологическом аспекте, но поставленные проблемы решаются в значительно более многообразных формах. Предлагаемые решения не столь строго аргументированы как в период античности, но они посвящены более оригинальным и продуктивным идеям. Философские проблемы математики в период античности имеют более чётко выраженный системный характер, так как они подверглись тщательной логической обработке. В данном случае зависимости между содержанием отдельных проблем, детерминируемость одних проблем другими носят несколько фрагментарный характер.
Преобразование системы философии математики античности осуществлялась как представителями конкретной исследовательской деятельности в математике, так и представителями философской науки, впрочем, в рассматриваемую эпоху подчас трудно определить в какую категорию отнести того или иного ученого. В лице Галилея мы имеем особенно яркий пример ученого, который занимался философскими проблемами математики не столь для решения философских или натурфилософских проблем, сколько под воздействием конкретных исследований в математике и механике. Спиноза и Гоббс занимались анализом философских проблем математики, преимущественно исходя из потребностей разработки системы философского знания. В д
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Актуальные проблемы квантовой механики