Численные методы

ЛЕКЦИЯ №1

Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач.

Погрешности, возникающие при решении задач, бывают двух видов:

Ва1)абсолютная

p - p Ва, гдеВаВаВа pВа - точное значение, p - не точное.

Ва2)относительная

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Эмпирические данные:

ПогрешностиВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа СлучайныеВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ошибки

измерительногоВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа помехиВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа набора

прибора

1) Нахождение нулей функции;

2) Системы линейных и нелинейных уравнений;

3) Приближение функции. Интерполяция. Экстраполяция.

4) Решение дифференциальных уравнений.

5) Расчет собственных значений и собственных векторовВа матриц.

НАХОЖДЕНИЕ НУЛЕЙ ФУНКЦИИ

Общая постановка задачи

Дана некоторая функция f(х). Необходимо найти хотя бы одно значение х, при котором f(х)=0.

Этапы:

1) Отделение корней.

Область определения функции разбивается на отрезки, на каждом из которых

содержится единственный корень функции.

2) Уточнение корня при помощи одного из численных методов на каждом из выбранных отрезков.

Нуль функции тАУ точка пересечения графика функции с осью Ох.

Непрерывность f(х) в точке х₀:

Производная функции:ВаВаВа f' =

Физический смысл: f'(х₀)- скорость

Геометрический смысл: f'(х₀)-тангенс угла наклонной касательной к графику функции, проведенной в данной точке.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна. Обратное не верно.

Предел функции в точке:

x: | x-x₀| <

ε >0 (ε)

Ва | f(x) тАУ A| < ε

ВаВаВаВаВаВаВаВа Градиент функции тАУ это вектор.

Геометрический смысл : показывает направление локального возрастания функции в данной точке .

1) Наблюдаем смену знака функции.

2) Исследуем функцию на монотонность.

Теорема №1: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и в концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке функция имеет хотя бы один корень.

f(x) ВаC[a, b]

f(a) * f(b) < 0 → [a, b]Ва f()=0

Теорема№2:если функция непрерывна и монотонна на отрезке иВа в концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует только единственный корень функции.

f(x) C[a, b], fВаВаВа (ВаВаВа ) и f(a) * f(b) < 0→[a, b]Ва f() = 0

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Дано: f(x) непрерывна на [a,b], на [a,b] существует динственный корень f(x)=0, ε

1) Делим отрезок пополам. Получаем точку

с= (b + a)/2.

Если f(a) * f(c) < 0,то b:=c.

Если f(b) * f(c) < 0,то а:=с

2) Продолжаем делить [a, b] на 2, пока|b-a| > ε, где ε- заданная точность.

ЛЕКЦИЯ №2

МЕТОД ХОРД

Дано: 1) f(x) ВаC''[a, b]

ВаВаВаВаВа 2) f(a) * f(b) < 0

ВаВаВаВаВа 3) f'(x) и f''(x) знакопостоянна на отрезке [a, b].

ВаВаВаВаВа 4) ε, чтобы получить f(x)=0

Ва 1) f(b)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 2)

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f'(x) >

0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаf'(x) > 0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f''(x) >

0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f''(x) < 0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f(a)ВаВаВа aВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа x

ВаВаВаВаВа 3)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа 4)

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f'(x)

<0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f'(x) <0 ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f''(x)

<0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа f''(x) > 0ВаВаВа

Ва(2.1)

x₁(x₁,f(x₁))

b тАУ неподвижный конец отрезка.

Для случаев 1), 3)

Для случаев 2), 4)

Можем ввести некоторую с:

Ва (2.2)

ВаВа (2.3)

Алгоритм:

1) Вычисляем неподвижный конец отрезка секущих по формуле(2.3)

2) Находим первое приближение к корню по формуле (2.1)

3) Находим первое приближение к корню по формуле (2.2) до тех пор, пока модуль разности двух последних приближений не станет меньше заданной точности. В этом случае, значением корня является последнее приближение.

МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ

Дано: 1) f(x)ВаC''[a, b];

2) f(a)*f(b) < 0;

3) f'(x) и f''(x) знакопостоянны на [a, b];

4) ε, чтобы решить уравнение f(x)=0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа т. х₀

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) тАУ

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВауравнение касательной

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа aВаВаВаВаВаВаВа x_{2ВаВаВаВаВа} ВаВаВаВаВаx₁ВаВаВаВаВаВаВа b

y=f(b)+fтАЩ(b)*(x-b)

(x₁,0) : 0= f(b)+ fтАЩ(b)(x₁-b)

x₁=

x₂=

x_n+1=ВаВаВаВаВа (2.4)

Второй подход (метод Ньютона):

-приближение

0 = f() = f(x_n+h_n) ≈ f(x_n)+f'(x_n)*h_n

x₀ =Ваначальное приближениеВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2.5)

Алгоритм:

1) По формуле (2.5) находим первое приближение к корню х₀ (начальное)

2) По формуле (2.4) находим последующее приближение к корню до тех пор, пока модуль разности двух последних приближений не станет заданной точности. В этом случае корень равен последнему приближению.

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

Дано: 1) f(x)C''[a,b]

Ва2)f(a)*f(b)<0

Ва3)f'(x) знакопостоянна

Ва4)ε, f(x)=0

Уравнение f(x)=0 заменяется уравнением вида x=φ(x)

φ(x)=x-f(x)*C ВаВаВаВа Ва(2.6)

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Пока |x_n+1-x_n|<ε

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа φ' >0

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Cтроим последователь

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Выбираем

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Находим значение функции

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа x₂= φ(x₁), x₃= φ(x₂)

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа x_n+1= φ(x_n)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2.7)

Точка ε, для которой выполняется ε=f(ε), называется неподвижной точкой метода итераций. Очевидно, что эта точка является корнем уравнения f(x)=0.

φ(ε)Ваε -f(x)* ε

0 f(ε)*C

f(ε) 0

Достаточное условие: для того, чтобы метод итераций сходился достаточно чтобы:

1) φ(x)Ва(2.8) - Функция является непрерывной и дифференцируемой на [a,b].

2) φ(x) значенияВа Ва- является необходимым условием

3) |φ(x)|<1 для всех

Константа С в формуле(2.6) подбирается таким образом, чтобы функция

φ(x) удовлетворяла условиям сходимости метода итераций.

Скорость сходимости метода Ньютона (касательных) выше сходимости метода секущих (хорд).

ЛЕКЦИЯ №3

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Общий вид алгебраического уравнения:

а₀хⁿ+ а₁хⁿ⁺¹+тАж+ а_n-1х+a_n=0, a₀0ВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа(3.1)

n=1: а₀х+a₁=0, x=

n=2: а₀х²+a₁x+a₂=0, x_1,2=

Алгебраическое уравнение n- степени имеет ровно n корней.

Теорема Виета (обобщенная):

xⁿ+x^n-1+тАж+x+=0

x₁+x₂+тАж+x_n=-;ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.2)

x₁x₂+x₁x₃+тАж+x_n-1x_n=;

x₁x₂x₃тАжx_n=(-1);

Пусть все корни уравнения (3.1) действительны, различны и удовлетворяют соотношениям:

|x₁|>>|x₂|>>тАж>>|x_n|ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВа(3.3)

Преобразуем:

x₁(1++тАж+)=Ва x₁=-;ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.4)

Подставим (3.4) : х₂=-Вапродолжая получим общую формулу

х_k=-, k=1,nВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.5)

Корни уравнения, удовлетворяющие соотношения(3.3), называются отдельными. Задача состоит в том, чтобы по исходному уравнению построить такое уравнение, корни которого будут отделены.

y_i=-x_i^m

b₀yⁿ + b₁y^n-1+тАж+ b_n-1y+b_n=0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.6)

|x₁|>|x₂|>тАж>|x_n|ВаВаВаВаВа

Решив уравнение (3.6), корни которого являются отдельными, получим уравнения y₁тАжy_n

, i=2,n

ЗначитВаВаВа |y_i-1|>>|x_i|ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа

МЕТОД ЛОБАЧЕВСКОГО

Для отделения корней Лобачевский предложил метод квадратирования -Ва способ построения по исходному уравнению нового уравнения, кони которого связаны с корнями исходного следующим образом:

y_i=-x_i²ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.7)

Процедура выполнения многократна, пока не достигнем серьёзной разницы модуля разности корней

b₀^(m)yⁿ + b₁^(m)y^n-1+тАж+ b_n-1^(m)y+ b_n^(m)=0ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.8)

Пусть уравнение (3.8) получено в результате m-го шага квадрирования.

m=1ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа b₀⁽¹⁾=a₀²,Ва b₁⁽¹⁾= a₁²=2 a₀ a₂

b_k⁽¹⁾=a_k²-2a_k-1a_k+1+2a_k-2a_k+2тАж.,k=0,n

При получении b_k коэффициента , который рассчитывается как квадрат соответствующего коэффициента a_k минус удвоенное произведение соседних коэффициентов с a_kплюс удвоенное произведение следующей пары соседей , чередуя знаки, пока в число соседних коэффициентов не попадут а₀ и а_n.

m>1b₀^(m)=( b₀^(m-1))²,Ва b₁^(m)=( b₁^(m-1))²-2b₀^(m-1)b₂^(m-1)ВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа(3.9)

b_k^(m)=( b₀^(m-1))²-2b_k-1^(m-1)b_k-1^(m-1)+2b_k-2^(m-1)b_k+2^(m-1)

Критерий остановки:Ва b_k^(m)≈( b₀^(m-1))²,ВаВаВаВаВаВаВа k=0,nВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.10)

Получим корень: y_i^(m)=-x_i²,ВаВа i=1,nВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.11)

(3.11)-связь корней, полученных на m-шаге процесса квадрирования с корнями исходного уравнения.

y_i на m-шаге : , отсюда

Ва,Ва i=1,nВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.12)

Знак x_i определяется путем подстановки в исходное уравнение. Те коэффициенты, которые будут отвечать за наличие комплексных корней, имеют следующий признак: один или несколько коэффициентов в ходе процесса квадрирования ведут себя неправильно (все остальные коэффициенты →к квадратам предыдущих, а неправильные →к квадратам предыдущих могут менять знак).

Признак наличия кратных корней: один или несколько коэффициентов → к половине квадрата коэффициента предыдущего шага.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

СЛАУ

Методы решения СЛАУ делятся на точные и приближенные. К точным методам относятся метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы .

Существуют приближенные методы: метод итераций, Зейделя и т.д.

Общий вид СЛАУ:

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.13)

Сколько переменных столько и ограничений на них.

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа пересечение прямых (точка)

ВаВаВа пересечение плоскостей (прямая)ВаВаВа

ВаВаВаВаВаВа точка пересечения трех плоскостей

Т.о. геометрический смысл решения СЛАУ тАУ точка пересечения гиперплоскостей в n-мерном пространстве.

Матрица :=А;ВаВаВаВа B=;ВаВа X=;

C_n*k*D_k*m=Z_n*m , A_n*n*B_n*1=X_n*1AX=BВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3.14)

ЛЕКЦИЯ №4

МЕТОД ГАУССА

Метод имеет прямой и обратный ход. Будем рассматривать процедуру прямого хода метода с выбором главного элемента. Главный элемент тАУ максимальный по модулю элемент матрицы, выбранный на заданном множестве строкВа и столбцов.

1 шаг: Выбираем в матрице А максимальный элемент по всем строкам и столбцам. Путем перестановки строк и столбцов ставим этот элемент на место а₁₁. Теперь а₁₁- главный элемент.

А→А¹→А²→тАж→Аⁿ

Аⁿ должна будет содержать ниже главной диагонали все нули.

Ва, j =1,n ;ВаВа b₁ =b₁/a₁₁

Получим систему вида

Ва, i=2,n ,ВаВа j=1,n

Ва Получим А' х=В' и систему

Пусть а₂₂¹ тАУ максимальный по модулю элемент матрицы А¹ по строкам i≥2 и столбцам j≥2. Если это не так, то добиваемся этого путем перестановки строк и столбцов.

А²:ВаВа

В²:Ва b₁²=b₁¹;ВаВа b₂²=b₂¹/a₂₂¹;Ва b_i²=b_i¹-b₂²-b₂²a_i2¹

Пусть а^к_к+1 максимальный по модулю элемент матрицы А^к, i≥k, j≥k.

Пусть на некотором шаге k=0, матрица В^к имеет ∞ множество решений. Причем корни х₁,тАжх_к являются зависимыми, а корни х_к+1,тАж.x_n тАУ независимые.

Если хотя бы один элемент b_i^kВа при i≥k+1 ¹ 0, то решения у системы нет.

Если была получена матрица Аⁿ, то система имеет единственное решение.

Начинается обратный ход метода Гаусса.

МЕТОД КРАМЕРА

Определитель : det A=

det A==a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁

Минор H_ij элемента матрицы a_ij представляет собой определитель, полученный из матрицы А путем вычеркивания i cтроки иВаВа j столбца.

Алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij называется число, равное

ВаА_ij=(-1)^i+j*M_ij

Способы вычисления определителей

1. Привести определитель к треугольному виду (ниже главной диагонали все элементы=0). Достичь этого можно путем вычитания (сложения) строк определителя, умноженных на некоторое число. При перестановки строк/столбцов знак определителя меняется на противоположный. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.

2. Рекуррентный способ основан на том, что определитель равен сумме произведений элементов строки/столбца на их алгебраические дополнения. Т.о. задача вычисления определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей n-1 порядка.

Наиболее целесообразно раскладывать определитель по той строке/столбцу, которая содержит максимальное количество нулей. Алгебраическое дополнение 0-го элемента можно не вычислять.

Пусть дана система уравнений вида Ах=В

Если определитель А=0, то система может решений не иметь, либо иметь бесконечное множество решений.

Если определитель А≠0, то корни системы могут быть найдены следующим образом.

Пусть А_к-матрица, полученная из матрицы А путем замен к-го столбца на матрицу-столбец В. Тогда решение .

МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Пусть дана система Ах=В и detA≠0.

Умножим обе части системы на А^-1:

А^-1*Ах=А^-1*В→х=А^-1*В

Способы нахождения обратной матрицы:

1. Способ основан на методе Гаусса.

Записать матрицу А, а рядом с ней единичную матрицу. Выполняя элементарные преобразования матрицы А, параллельно выполнять те же преобразования над единичной матрицей. Как только матрица А превратилась в единичную на месте исходной единичной матрицы будет обратная к матрице А.

2. Через алгебраические дополнения.

Составить матрицу алгебраических дополнений, в которой на месте a_ij элементов будут находиться A_ij.

Разделить каждый элемент матрицы алгебраических дополнений на detA.

Транспонировать матрицу алгебраических дополнений, т.е. поменять местами элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики