Випадковий процес в математицi

Курсова робота

Випадковий процес в математицi

Змiст

Введення

1. Визначення випадкового процесу i його характеристики

2. Марковськi випадковi процеси з дискретними станами

3. Стацiонарнi випадковi процеси

4. Ергодична властивiсть стацiонарних випадкових процесiв

Лiтература

Введення

Поняття випадкового процесу уведено в XX сторiччi й пов'язане з iменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцького (1880-1948), Н. Вiнера (1894-1965). Це поняття в нашi днi i одним iз центральних не тiльки в теорii ймовiрностей, але також у природознавствi, iнженернiй справi, економiцi, органiзацii виробництва, теорii зв'язку. Теорiя випадкових процесiв належить до категорii найбiльше що швидко розвиваються математичних дисциплiн. Безсумнiвно, що ця обставина значною мiрою визначаiться ii глибокими зв'язками iз практикою. XX столiття не могло задовольнятися тим iдейною спадщиною, що було отримано вiд минулого. Дiйсно, у той час, як фiзика, бiолога, iнженера цiкавив процес, тобто змiна дослiджуваного явища в часi, теорiя ймовiрностей пропонувала iм як математичний апарат лише засобу, що вивчали стацiонарнi стани. Для дослiдження змiни в часi теорiя ймовiрностей кiнця XIX - початку XX столiття не мало нi розроблених приватних схем, нi тим бiльше загальних прийомiв. А необхiднiсть iхнього створення буквально стукала у вiкна й дверi математичноi науки. Вивчення броунiвського руху у фiзику пiдвело математикiв до порога створення теорii випадкових процесiв.

Вважаю за необхiдне згадати ще про двi важливi групи дослiджень, початих у рiзний час i по рiзних приводах.

По-перше, ця роботи А.А. Маркова (1856-1922) по вивченню ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) по теорii випадкових функцiй. Обоi цих напрямку грали дуже iстотну роль у формуваннi загальноi теорii випадкових процесiв.

Для цiii мети вже був накопичений значний вихiдний матерiал, i необхiднiсть побудови теорii як би носилися в повiтрi.

Залишалося здiйснити глибокий аналiз наявних робiт, висловлених у них iдей i результатiв i на його базi здiйснити необхiдний синтез.

1. Визначення випадкового процесу i його характеристики

Визначення: Випадковим процесом X(t) називаiться процес, значення якого при будь-якому значеннi аргументу t i випадковою величиною.

РЖнакше кажучи, випадковий процес являi собою функцiю, що у результатi випробування може прийняти той або iнший конкретний вид, невiдомий заздалегiдь. При фiксованому t=t₀ X(t₀) являi собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t_0.

Приклади випадкових процесiв:

чисельнiсть населення регiону iз часом;

число заявок, що надходять у ремонтну службу фiрми, iз часом.

Випадковий процес можна записати у виглядi функцii двох змiнних X(t,?), де ?тВм?, tтВмT, X(t, ?) тВм ? i ? - елементарна подiя, ? - простiр елементарних подiй, Т - множина значень аргументу t, ? - множина можливих значень випадкового процесу X(t, ?).

Реалiзацiiю випадкового процесу X(t, ω) називаiться невипадкова функцiя x(t), у яку перетворюiться випадковий процес X(t) у результатi випробування (при фiксованому ω), тобто конкретний вид, прийнятий випадковим процесом X(t), його траiкторiя.

Таким чином, випадковий процес X(t, ω) сполучаi в собi риси випадковоi величини й функцii. Якщо зафiксувати значення аргументу t, випадковий процес перетворюiться у звичайну випадкову величину, якщо зафiксувати ?, те в результатi кожного випробування вiн перетворюiться у звичайну невипадкову функцiю. Надалi викладi опустимо аргумент ?, але вiн буде матися на увазi за замовчуванням.

На малюнку 1 зображено кiлька реалiзацiй деякого випадкового процесу. Нехай перетин цього процесу при даному t i безперервною випадковою величиною. Тодi випадковий процес X(t) при даному t визначаiться повнiстю ймовiрностi ?(x, t). Очевидно, що щiльнiсть ?(x, t) не i вичерпним описом випадкового процесу X(t), тому що вона не виражаi залежностi мiж його перетинами в рiзнi моменти часу.

Випадковий процес X(t) являi собою сукупнiсть всiх перетинiв при всiляких значень t, тому для його опису необхiдно розглядати багатомiрну випадкову величину (X(t₁), X(t₂), тАж, X(t_n)), що складаiться iз всiх сполучень цього процесу. У принципi таких сполучень нескiнченно багато, але для опису випадкового процесу вдаiться частина обiйтися вiдносно невеликою кiлькiстю сполучень.

Говорять, що випадковий процес маi порядок n, якщо вiн повнiстю визначаiться щiльнiстю спiльного розподiлу φ(x_1, x₂, тАж, x_n; t₁, t₂, тАж, t_n) n довiльних перетинiв процесу, тобто щiльнiстю n-мiрноi випадковоi величини (X(t₁), X(t₂), тАж, X(t_n)), де X(t_i) тАУ сполучення випадкового процесу X(t) у момент часу t_i, i=1, 2, тАж, n..

Як i випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадковоi величини цi характеристики i постiйними числами, то для випадкового процесу тАУ невипадковими функцiями.

Математичним очiкуванням випадкового процесу X(t) називаiться невипадкова функцiя a_x(t), що при будь-якому значеннi змiнноi t дорiвнюi математичному очiкуванню вiдповiдного перетину випадкового процесу X(t), тобто a_x(t)=М [X(t)].

Дисперсiiю випадкового процесу X(t) називаiться невипадкова функцiя D_x(t), при будь-якому значеннi змiнноi t рiвна дисперсii вiдповiдного сполучення випадкового процесу X(t), тобто D_x(t)= D[X(t)].

Середнiм квадратичним вiдхиленням σ_x(t) випадкового процесу X(t) називаiться арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсii, тобто σ_x(t)= D_x(t).

Математичне очiкування випадкового процесу характеризуi середню траiкторiю всiх можливих його реалiзацiй, а його дисперсiя або середнi квадратичне вiдхилення - розкид реалiзацiй щодо середньоi траiкторii.

Уведених вище характеристик випадкового процесу виявляiться недостатньо, тому що вони визначаються тiльки одномiрним законом розподiлу. Якщо для випадкового процесу Х₁(t) характерно повiльна змiна значень реалiзацiй зi змiною t, то для випадкового процесу Х₂(t) ця змiна проходить значно швидше. РЖнакше кажучи, для випадкового процесу Х₁(t) характерна тiсна iмовiрнiсна залежнiсть мiж двома його сполученнями Х₁(t₁) i Х₁(t₂), у той час як для випадкового процесу Х₂(t) ця залежнiсть мiж сполученнями Х₂(t₁) i Х₂(t₂) практично вiдсутнiй. Зазначена залежнiсть мiж сполученнями характеризуiться кореляцiйною функцiiю.

Визначення: Кореляцiйною функцiiю випадкового процесу Х(t) називаiться невипадкова функцiя

K_x(t₁, t₂) = M[(X(t₁) тАУ a_x(t₁))(X(t₂) тАУ a_x(t₂))] (1.)

двох змiнних t₁ i t₂ , що при кожнiй парi змiнних t₁ i t₂ дорiвнюi ковариацii вiдповiдних сполучень Х(t₁) i Х(t₂) випадковi процеси.

Очевидно, для випадкового процесу Х(t₁) кореляцiйна функцiя K_x1(t₁, t₂) убуваi в мiру збiльшення рiзницi t₂ - t₁ значно повiльнiше, нiж K_x2(t₁, t₂) для випадкового процесу Х(t₂).

Кореляцiйна функцiя K_x(t₁, t₂) характеризуi не тiльки ступiнь тiсноти лiнiйноi залежностi мiж двома сполученнями, але й розкид цих сполучень щодо математичного очiкування a_x(t). Тому розглядаiться також нормована кореляцiйна функцiя випадкового процесу.

Нормованою кореляцiйною функцiiю випадкового процесу Х(t) називаiться функцiя:

P_x(t₁, t₂) = K_x(t₁, t₂) / σ_x(t₁)σ_x(t₂) (2)

Приклад № 1

Випадковий процес визначаiться формулою X(t) = X cosωt, де Х тАУ випадкова величина. Знайти основнi характеристики цього процесу, якщо М(Х) = а, D(X) = σ^2.

Рiшення:

На пiдставi властивостей математичного очiкування й дисперсii маiмо:

a_x(t) = M(X cosωt) = cos?t * M(X) = a cos?t,

D_x(t) = D(X cosωt) = cos²ωt * D(X) = σ² cos² ωt.

Кореляцiйну функцiю знайдемо по формулi (1.)

K_x(t₁, t₂) = M[(X cosωt₁ тАУ a cosωt₁) (X cos ωt₂ тАУ a cosωt₂)] =

= cosωt₁ cosωt₂ * M[(X тАУ a)(X - a)] = cosωt₁ cosωt₂ * D(X) = σ² cosωt₁ cosωt₂.

Нормовану кореляцiйну функцiю знайдемо по формулi (2.):

P_x(t₁, t₂) = σ² cosωt₁ cosωt₂ / (σ cosωt₁)( σ cosωt₂) ≡ 1.

Випадковi процеси можна класифiкувати залежно вiд того, плавно або стрибкоподiбно мiняються стани системи, у якiй вони протiкають, або нескiнченна множина цих станiв i т.п. Серед випадкових процесiв особливе мiсце належить Марковському випадковому процесу.

Теорема. Випадковий процес X(t) i Гильбертiвим тодi й тiльки тодi, коли iснуi R(t, t') для всiх (t, t')тВм T*T.

Теорiю Гильбертiвих випадкових процесiв називають кореляцiйною.

Помiтимо, множина Т може бути дискретним i континуальним. У першому випадку випадковий процес Х_t називають процесом з дискретним часом, у другому тАУ з безперервним часом.

Вiдповiдно сполучення Х_t можуть бути дискретними й безперервними випадковими величинами.

Випадковий процес називаiться Х(t) вибiрково неправильним, i iнтегрувальним у крапцi ωтВм?, якщо його реалiзацiя x(t) = x(t, ?) вiдповiдно безперервна, диференцуiма й iнтегрувальна.

Випадковий процес Х(t) називаiться безперервним: майже, напевно, якщо

P(A)=1, A = {ω тВм Ω : lim x(t_n) = x(t)}

У середньому, якщо

Lim M[(X(t_n) тАУ X(t))²] = 0

По ймовiрностi, якщо

Aδ ≥ 0 : lim P[| X(t_n) тАУ X(t)| > δ] = 0

Збiжнiсть у середньому позначають також:

X(t) = lim X(t_n)

Виявляiться, з вибiрковоi безперервностi треба безперервнiсть майже напевно, з безперервностi майже напевно й у середньому треба безперервнiсть по ймовiрностi.

Теорема. Якщо X(t) тАУ Гильбертiв випадковий процес, безперервний у середньому, то m_x(t) тАУ безперервна функцiя й маi мiсце спiввiдношення

Lim M [X(t_n)] = M [X(t)] = M [lim X(t_n)].

Теорема. Гильбертiв випадковий процес X(t) безперервний у середньому тодi й тiльки тодi, коли безперервна його ковариацiона функцiя R(t, t') у крапцi (t, t).

Гильбертiв випадковий процес X(t) називаiться диференцуiмим у середньому квадратичному, якщо iснуi випадкова функцiя X(t) = dX(t)/dt така, що

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+?t) - X(t) / ?t

(t тВм T, t +?t тВм T),

т.е. коли

Lim M [((X(t + ∆t) тАУ X(t) / (∆t)) тАУ X(t))²] = 0

Випадкову функцiю X(t) будемо називати похiднiй у середньому квадратичному випадкового процесу X(t) вiдповiдно в крапцi t або на T.

Теорема. Гильбертiв випадковий процес X(t) диференцiюiмо в середньому квадратичному у крапцi t тодi й тiльки тодi, коли iснуi δ² R(t, tтАЩ) / δt?t' у крапцi (t, t'). При цьому:

R_x(t, tтАЩ) = M[X(t)X(tтАЩ)] = δ² R(t, tтАЩ) / δt?t'.

Якщо Гильбертiв випадковий процес диференцiюiмо на Т, то його похiдна в середньому квадратичному також i Гильбертiвим випадковим процесом; якщо вибiрковi траiкторii процесу диференцуiми на Т с iмовiрнiстю 1, то з iмовiрнiстю 1 iхнi похiднi збiгаються з похiдними в середньому квадратичному на Т.

Теорема. Якщо X(t) - Гильбертiв випадковий процес, то

M[dX(t) / dt] = (d / dt) M[X(t)] = dm_x(t) / dt.

Нехай (0, t) тАУ кiнцевий iнтервал, 0 1 < тАж n = t тАУ його крапки

X(t) - Гильбертiв випадковий процес.

Y_n = ∑ X(t_i)(t_i тАУ t_i-1) (n = 1,2, тАж)..

Тодi випадкова величина

Y(t) = lim Y_n

max (t_i тАУ t_i-1)→0

Називаiться iнтегралом у середньому квадратичному процесу X(t) на (0, t) i позначаiться:

Y(t) = ? X(?)d?.

Теорема. РЖнтеграл Y(t) у середньому квадратичному iснуi тодi й тiльки тодi, коли коварiацiона функцiя R(t, t') Гильбертiва процесу X(t) безперервна на Т?Т i iснуi iнтеграл

R_y (t, tтАЩ) = ∫ ? R(?, ?') d?d?тАЩ

Якщо iнтеграл у середньому квадратичному функцii X(t) iснуi, то

M[Y(t)] = ? M[X(?)]d?,

R_Y(t, tтАЩ) = ∫ ? R(?, ?')d?d?тАЩ

K_y (t, tтАЩ) = ∫ ? K(?, ?')d?d?тАЩ

Тут R_y(t, tтАЩ) = M[Y(t)Y(tтАЩ)], K_y(t, tтАЩ) = M[Y(t)Y(tтАЩ)] тАУкореляцiйна функцii випадкового процесу Y(t).

Теорема. Нехай X(t) - Гильбертiв випадковий процес iз функцiiю R(t, t'), ?(t) - речовинна функцiя й iснуi iнтеграл

? ? ?(t)?(t')R(t, t')dtdt'

Тодi iснуi в середньому квадратичному iнтеграл

? ?(t)X(t)dt.

Випадковi процеси:

X_i(t) = V_iφ_i(t) (i = 1n)

Де φ_i(t) тАУ заданi речовиннi функцii

V_i - випадковi величини з характеристиками

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

Називають елементарними.

Канонiчним розкладанням випадкового процесу X(t) називають його подання у виглядi

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t тВм T)

Де V_i тАУ коефiцiiнти, а φ_i(t) тАУ координатнi функцii канонiчного розкладання процесу X(t). З вiдносин:

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t тВм T)

Треба:

K(t, tтАЩ) = ∑ D_iφ_i(t)φ_i(tтАЩ)

Цю формулу називають канонiчним розкладанням кореляцiйноi функцii випадкового процесу.

У випадку рiвняння

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t тВм T)

Мають мiсце формули:

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m_x(τ)dτ + ∑ V_i ∫ φ_i(t)dt.

Таким чином, якщо процес X(t) представлений його канонiчним розкладанням, те похiдна й iнтеграл вiд нього також можуть бути представленi у виглядi канонiчних розкладань.

2. Марковськi випадковi процеси з дискретними станами

Випадковий процес, що протiкаi в деякiй системi S з можливими станами S₁, S₂, S₃, тАж, називаiться Марковським, або випадковим процесом без наслiдку, якщо для будь-якого моменту часу t₀ iмовiрнi характеристики процесу в майбутньому (при t>t₀) залежить тiльки вiд його стану в цей момент t₀ i не залежать вiд того, коли i як система прийшла в цей стан; тобто не залежать вiд ii поводження в минулому (при t0).

Прикладом Марковського процесу: система S тАУ лiчильник у таксi. Стан системи в момент t характеризуiться числом кiлометрiв (десятих часток кiлометрiв), пройдених автомобiлем до даного моменту. Нехай у момент t₀ лiчильник показуi S₀/ РЖмовiрнiсть того, що в момент t>t₀ лiчильник покаже те або iнше число кiлометрiв (точнiше, що вiдповiдаi число рублiв) S₁ залежить вiд S₀, але не залежить вiд того, у якi моменти часу змiнилися показання лiчильника до моменту t₀.

Багато процесiв можна приблизно вважати Марковськими. Наприклад, процес гри в шахи; система S тАУ група шахових фiгур. Стан системи характеризуiться числом фiгур супротивника, що збереглися на дошцi в момент t₀. РЖмовiрнiсть того, що в момент t>t₀ матерiальна перевага буде на боцi одного iз супротивникiв, залежить у першу чергу вiд того, у якому станi перебуваi система в цей момент t_0, а не вiд того, коли й у якiй послiдовностi зникли фiгури з дошки до моменту t₀.

У рядi випадкiв передiсторiiю розглянутих процесiв можна просто зневажити й застосовувати для iхнього вивчення Марковськi моделi.

Марковським випадковим процесом з дискретними станами й дискретним часом (або ланцюгом Маркова) називаiться Марковський процес, у якому його можливi стани S₁, S₂, S_3, тАж можна заздалегiдь перелiчити, а перехiд зi стану в стан вiдбуваiться миттiво (стрибком), але тiльки в певнi моменти часу t_0, t_1, t_2, .., називанi кроками процесу.

Позначимо p_ij тАУ iмовiрнiсть переходу випадкового процесу (системи S) зi стану I у стан j. Якщо цi ймовiрностi не залежать вiд номера кроку процесу, то такий ланцюг Маркова називаiться однорiдноi.

Нехай число станiв системи звичайно й дорiвнюi m. Тодi ii можна характеризувати матрицею переходу P₁, що мiстить всi ймовiрностi переходу:

p₁₁ p₁₂ тАж p_1m

p₂₁ p₂₂ тАж p_2m

тАж тАж тАж тАж

P_m1 p_m2 тАж p_mm

Природно, по кожному рядку ∑ p_ij = 1, I = 1, 2, тАж, m..

Позначимо p_ij(n) тАУ iмовiрнiстю того, що в результатi n крокiв система перейде зi стану I у стан j. При цьому при I = 1 маiмо ймовiрностi переходу, що утворять матрицю P₁, тобто p_ij(1) = p_ij

Необхiдно, знаючи ймовiрностi переходу p_ij, знайти p_ij(n) тАУ iмовiрностi переходу системи зi стану I у стан j за n крокiв. РЖз цiiю метою будемо розглядати промiжне (мiж I i j) стан r, тобто будемо вважати, що з первiсного стану I за k крокiв система перейде в промiжний стан r з iмовiрнiстю p_ir(k), пiсля чого за що залишилися n-k крокiв iз промiжного стану r вона перейде в кiнцевий стан j з iмовiрнiстю p_rj(n-k). Тодi по формулi повноi ймовiрностi

P_ij(n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k) тАУ рiвнiсть Маркова.

Переконаiмося в тiм, що, знаючи всi ймовiрностi переходу p_ij = p_ij(1), тобто матрицю P₁ переходу зi стану в стан за один крок, можна знайти ймовiрнiсть p_ij(2), тобто матрицю P₂ переходи зi стану в стан за два кроки. А знаючи матрицю P₂, - знайти матрицю P₃ переходи зi стану в стан за три кроки, i т.д.

Дiйсно, думаючи n = 2 у формулi P_ij(n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k), тобто k=1 (промiжне мiж кроками стан), одержимо

P_ij(2) = ∑ p_ir(1)p_rj (2-1) = ∑ p_ir p_rj

Отримана рiвнiсть означаi, що P₂ =P₁P₁ = P²₁

Думаючи n = 3, k = 2, аналогiчно одержимо P₃ = P₁P₂ = P₁P₁² = P₁³, а в загальному випадку P_n = P₁ⁿ

Приклад

Сукупнiсть родин деякого регiону можна роздiлити на три групи:

родини, що не мають автомобiля й не збираються його купувати;

родини, що не мають автомобiля, але якi бажаютьйого придбати;

родини, що мають автомобiль.

Проведене статистичне обстеження показало, що матриця переходу за iнтервал в один рiк маi вигляд:

0,8 0,1 0,1

0 0,7 0,3

0 0 1

(У матрицi P₁ елемент р₃₁ = 1 означаi ймовiрнiсть того, що родина, що маi автомобiль, також буде його мати, а, наприклад, елемент р₂₃ = 0,3 тАУ iмовiрнiсть того, що родина, що не мала автомобiля, але намагаються його придбати, здiйснить свiй намiр у наступному роцi, i т.д.)

Знайти ймовiрнiсть того, що:

родина, що не мала автомобiля й не хоче його придбати, буде перебувати в такiй же ситуацii через два роки;

родина, що не мала автомобiля, але якi бажають його придбати, буде мати автомобiль через два роки.

Рiшення: знайдемо матрицю переходу Р₂ через два роки:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Тобто шуканi в прикладi 1) i 2) iмовiрностi рiвнi вiдповiдно

р₁₁ =0,64, р₂₃ =0,51

Далi розглянемо Марковський випадковий процес iз дискретними станами й безперервним часом, у якому, на вiдмiну вiд розглянутоi вище ланцюга Маркова, моменти можливих переходiв системи зi стану не фiксованi заздалегiдь, а випадковi.

При аналiзi випадкових процесiв з дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою тАУ так званим графiком подiй. Звичайно стану системи зображуються прямокутниками (кружками), а можливi переходи зi стану в стан - стрiлками (орiiнтованими дугами), що з'iднують стану.

Приклад. Побудувати граф станiв наступного випадкового процесу: пристрiй S складаiться iз двох вузлiв, кожний з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу, пiсля чого миттiво починаiться ремонт вузла, що триваi заздалегiдь невiдомий випадковий час.

Рiшення. Можливi стани системи: S_{0 тАУ} обидва вузли справнi; S₁ тАУ перший вузол ремонтуiться, другий справний; S₂ тАУ другий вузол ремонтуiться, перший справний; S₃ тАУ обидва вузли ремонтуються.

Стрiлка, напрямку, наприклад, з S₀ в S₁, означаi перехiд системи в момент вiдмова першого вузла, з S₁ в S₀ тАУ перехiд у момент закiнчення ремонту цього вузла. На графi вiдсутнi стрiлки з S₀ в S₃ i з S₁ в S₂. Це пояснюiться тим, що виходи вузлiв з ладу передбачаiться незалежними друг вiд друга й, наприклад, iмовiрностями одночасного виходу з ладу двох вузлiв (перехiд з S₀ в S₃) або одночасне закiнчення ремонтiв двох вузлiв (перехiд з S₃ в S₀) можна зневажити.

3. Стацiонарнi випадковi процеси

Випадковий процес Х(t) називають стацiонарним у вузькому змiстi, якщо

F(x₁, тАж, x_n; t₁, тАж, t_n) = F(x₁, тАж, x_n; t₁+∆, тАж, t_n+∆)

При довiльних

n≥1, x₁, тАж, x_n, t₁, тАж, t_n; ∆; t₁ тВм T, t_i + ∆ тВм T..

Тут F(x₁, тАж, x_n; t₁, тАж, t_n) тАУ n-мiрна функцiя розподiлу випадкового процесу Х(t).

Випадковий процес Х(t) називають стацiонарним у широкому змiстi, якщо

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t тВм T, t' тВм T, t + ?тВм T), t' + ?тВм T)

Очевидно, що зi стацiонарностi у вузькому змiстi треба стацiонарнiсть у широкому змiстi.

З формул:

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t тВм T, t' тВм T, t + ?тВм T), t' + ?тВм T)

Треба, що для процесу, стацiонарного в широкому змiстi, можна записати

m (t) = m_x(0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t') = K(t - t', 0) = K (0, t' - t)

Таким чином, для процесу, стацiонарного в широкому змiстi, математичне очiкування й дисперсiя не залежать вiд часу, а K(t, t') представляi собою функцiю виду:

K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.

Видно, що k(?) - парна функцiя, при цьому

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

Тут D - дисперсiя стацiонарного процесу

Х(t), α_i (I = 1, n) тАУ довiльнi числа.

Перша рiвнiсть системи

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

треба з рiвняння K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t. Перша рiвнiсть

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0 - простий наслiдок нерiвностi Шварца для перетинiв X(t), X(t') стацiонарного випадкового процесу X(t). Остання нерiвнiсть:

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

Одержують у такий спосiб:

∑ ∑ α_i α_j k(t_i - t_j) = ∑ ∑ K(t_i, t_j)α_i α_j = ∑ ∑ M[(α_iX_i)(α_jX_j)] = M[(∑ α_iX_i)²] ≥0

З огляду на формулу кореляцiйноi функцii похiднiй dX(t)/dt випадкового процесу, для стацiонарноi випадковоi функцii X(t) одержимо

K₁(t, tтАЩ) = M[(dX(t)/dt)*(dX(tтАЩ)/dtтАЩ)] = δ²K(t, tтАЩ) / δtδtтАЩ = δ²k(tтАЩ - t) / δt?t'

Оскiльки

?k(t' - t) / ?t = (?k(?) / ??) * (?? / ??) = - ?k(?) / ??,

δ²k(tтАЩ - t) / δtδtтАЩ = - (δ² k(τ) / δτ²⁾ * (δτ / δtтАЩ) = - (δ² k(τ) / δτ²⁾

те K₁(t, tтАЩ) = k₁(τ) = - (δ² k(τ) / δτ²⁾, τ = t' - t.

Тут K₁(t, tтАЩ) i k₁(τ) тАУ кореляцiйна функцiя першiй похiднiй стацiонарного випадкового процесу X(t).

Для n-й похiднiй стацiонарного випадкового процесу формула кореляцiйноi функцii маi вигляд:

K_n(τ) = (-1)ⁿ * (δ²ⁿ *k(τ) / δτ²ⁿ)

Теорема. Стацiонарний випадковий процес X(t) з кореляцiйною функцiiю k(?) безперервний у середньому квадратичному у крапцi t тВм T тодi й тiльки тодi, коли

Lim k(?) = k(0)

Для доказу запишемо очевидний ланцюжок рiвностей:

M [|X(t+τ)-X(T)|²] = M[|X(t)|²] тАУ 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M[X(t)²] =

= 2D-2k(?) = 2[k(0)-k(?)].

Звiдси очевидно, що умова безперервностi в середньому квадратичному процесу X(t) у крапцi t тВм T

Lim M[|X(t+τ) тАУ X(t)|²] = 0

Маi мiсце тодi й тiльки тодi, коли виконуiться Lim k(?) = k(0)

Теорема. Якщо кореляцiйна функцiя k(τ) стацiонарного випадкового процесу X(t) безперервна в середньому квадратичному у крапцi τ=0, то вона безперервна в середньому квадратичному у будь-якiй крапцi τ тВм R¹.

Для доказу запишемо очевиднi рiвностi:

k(?+??)-k(?) = M[X(t+?+??)X(t)] - M[X(t+?)X(t)] =

= M{X(t)[X(t+?+??) - X(t+?)]}

Потiм, застосовуючи нерiвнiсть Шварца до спiвмножникiв у фiгурнiй дужцi й з огляду на спiввiдношення:

K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

Одержимо:

0 ≤ [k(τ+∆τ)-k(τ)]²≤ M[X(t)²]M[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)|²] =

= 2D[D-k(??)].

Переходячи до межi при ??>0 i беручи до уваги умова теореми про безперервнiсть k(?) у крапцi ?=0, а також перша рiвнiсть системи

K(0) = В = σ² , знайдемо

Lim k(?+??) = k(?)

Оскiльки тут ? - довiльне число, теорему варто вважати доведеноi.

4. Ергодична властивiсть стацiонарних випадкових процесiв

Нехай Х(t) - стацiонарний випадковий процес на вiдрiзку часу [0,T] з характеристиками

M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),

? = t' - t, (t, t') тВм T?T.

Ергодична властивiсть стацiонарного випадкового процесу полягаi в тiм, що по досить тривалiй реалiзацii процесу можна судити про його математичне очiкування, дисперсiю, кореляцiйнiй функцii.

Бiльш строго стацiонарний випадковий процес Х(t) будемо називати ергодичним по математичному очiкуванню, якщо

Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|²} = 0

Теорема

Стацiонарний випадковий процес Х(t) з характеристиками:

M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),

? = t' - t, (t, t') тВм T?T

i ергодичним по математичному очiкуванню тодi й тiльки тодi, коли

Lim (2/ T) ? k(?) (1 - ?/t)d? = 0.

Для доказу, мабуть, досить переконатися, що справедливо рiвнiсть

M{(1/ T) ∫X(t)dt|²} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Запишемо очевиднi спiввiдношення

C = M {|(1/ T) ) ∫X(t)dt|²} = (1/ T²) ∫ ? k(t' - t)dt'dt = (1/T) ? dt ? k(t' - t)dt'.

Думаючи тут ? = t' - t, d? = dt' i з огляду на умови (t' = T) > (? = T - t),

(t' = 0)>(? = -t), одержимо

З = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T²) ∫ dt ? k(?)d? =

= -(1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T²) ∫ dt ? k(?)d?

Думаючи в першому й другому доданках правоi частини цiii рiвностi вiдповiдно ? = -?', d? = -d?', ? = T-?', d? = -d?', знайдемо

З = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T²) ∫ dt ? k(T - ?)d?

Застосовуючи формулу Дирихле для подвiйних iнтегралiв, запишемо

З = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T²) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T²) ∫ (T - τ) k(τ)dτ + (1/T²) ∫ ?k (T - ?)d?

У другому доданку правоi частини можна покласти ?' = T-?, d? = -d?', пiсля чого будемо мати

З = (1/Т²) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ тАУ (1/T²) ∫ (T - ?) k(?)d? = 2/T ? (1- (?/T)) k(?)d?

Звiдси й з визначення констант видно, що рiвнiсть

M{(1/ T) ∫X(t)dt|²} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Справедливо.

Теорема

Якщо кореляцiйна функцiя k(?) стацiонарного випадкового процесу X(t) задовольняi умовi

Lim (1/T) ? |k(?)| dt = 0

Те X(t) i ергодичним по математичному очiкуванню.

Дiйсно, з огляду на спiввiдношення

M{(1/ T) ∫X(t)dt|²} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Можна записати

0 ? (2/Т) ? (1 - ?/t) k(?)d? ? (2/T) ? (1- ?/t) |k(?)|d? ? (1/T) ? |k(?)|d?

Звiдси видно, що якщо виконано умову, те

Lim (2/T) ? (1 - ?/T) k(?)d? = 0

Тепер, беручи до уваги рiвнiсть

З = (1/Т²) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ тАУ (1/T²) ∫ (T - ?) k(?)d? = 2/T ? (1- (?/T)) k(?)d?

РЖ умова Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|²} = 0

Ергодичностi по математичному очiкуванню стацiонарного випадкового процесу X(t), знаходимо, що необхiдне доведено.

Теорема.

Якщо кореляцiйна функцiя k(?) стацiонарного випадкового процесу

X(t) iнтегрувальна й необмежено убуваi при ? > ?, тобто виконуiться умова

При довiльному ? > 0, то X(t) - ергодичний по математичному очiкуванню стацiонарний випадковий процес.

Дiйсно, з огляду на вираження

Для Т≥Т₀ маiмо

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ ε(1 тАУ T₁/T).

Переходячи до межi при Т > ?, знайдемо

0 ? lim ? |k(?)|d? = ?.

Оскiльки тут ? > 0 - довiльна, скiльки завгодно мала величина, то виконуiться умова ергодичностi по математичному очiкуванню. Оскiльки це треба з умови. Про необмежене убування k(?), те теорему варто вважати доведеноi. Доведенi теореми встановлюють конструктивнi ознаки ергодичностi стацiонарних випадкових процесiв.

Нехай

X(t) = m + X(t), m=const.

Тодi M[X(T)] = m, i якщо X(t) - ергодичний стацiонарний випадковий процес, то умова ергодичностi Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|²} = 0 пiсля нескладних перетворень можна представити у виглядi

Lim M{[(1/T) ∫ X(t)dt тАУ m]²} = 0

Звiдси треба, що якщо X(t) - ергодичний по математичному очiкуванню стацiонарний випадковий процес, то математичне очiкування процесу X(t) = m + X(t) приблизно може бути обчислене по формулi

M = (1/T) ? x(t)dt

Тут Т - досить тривалий промiжок часу;

x(t) - реалiзацiя процесу X(t) на вiдрiзку часу [0, Т].

Можна розглядати ергодичнiсть стацiонарного випадкового процесу X(t) по кореляцiйнiй функцii.

Стацiонарний випадковий процес X(t) називаiться ергодичним по кореляцiйнiй функцii, якщо

Lim M {[ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt тАУ k(τ)]²]} = 0

Звiдси треба, що для ергодичного по кореляцiйнiй функцii стацiонарного випадкового процесу X(t) можна покласти

k (?) = (1/T) ? x(t)x(t + ?)dt

при досить великому Т.

Виявляiться, умова обмеженостi k(?) досить для ергодичностi по кореляцiйнiй функцii стацiонарного нормально розподiленого процесу X(t).

Помiтимо, випадковий процес називаiться нормально розподiленим, якщо будь-яка його функцiя розподiлу i нормальною.

Необхiдною й достатньою умовою ергодичностi стацiонарного нормально розподiленого випадкового процесу i спiввiдношення

τ₀ : lim (1/T) ∫ [k(τ)² + k(τ + τ₀₎ k(τ тАУ τ₀₎] (1 тАУ τ/T)d? = 0

Лiтература

1.Кремер М.Ш. Теорiя ймовiрностей i математична статистика. тАУ К., 2004

2.Кожевников Ю.В. Теорiя ймовiрностей i математична статистика. тАУ К., 2005

3.Гнеденко Б.Д. Курс теорii ймовiрностей. тАУ К., 2005

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики