Линейное программирование
Математическое программирование тАУ область прикладной математики, объединяющая различные мат.методы и дисциплины.
Методы:
1. Математическое программирование.
2. Дифференциальные и разностные уравнения.
3. Теория игр.
4. Теория решений и т.д.
Классические задачи исследования операций:
В· Задачи диеты (задача о рационе).
В· ВаЗадача замены (динамическое программирование).
В· Задача коммивояжера (динамическое программирование).
В· Распределительные задачи.
В· Задача о назначениях.
В· Задача о размещении складов.
В· Задача о раскрое (линейное программирование).
В· Задача поиска.
В· Теория расписаний (метод дискретного программирования).
В· Управление запасами (линейное программирование).
В· Задачи массового обслуживания.
Методы математического программирования:
1. Линейного программирование.
2. Не линейное программирование.
3. Динамическое программирование.
4. Алгоритмы на графах.
5. Система массового обслуживания (СМО).
6. Методы прогнозирования.
7. Имитационное прогнозирование.
8. Теория игр.
9. Теория принятия решений.
Теоретическая часть
Рассмотрим один из основных методов тАУ линейное программирование.
Линейное программирование (далее ЛП) тАУ задачи, в которых критерий оптимальности задается в виде линейной формы от входящих в него переменных, на эти переменные накладываются ограничения в виде линейных уравнений или линейных неравенств.
Основные задачи ЛП:
ü Задача оптимизации межотраслевых потоков.
ü Транспортные задачи.
ü Подробнее поговорим про задачу об оптимальном выпуске продукции.
Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технологически осуществлен по имеющимся ресурсам всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуске каждого вида продукции и в то же время приносил наибольшую прибыль предприятию.
Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:
В· максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);
В· систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;
В· требование неотрицательности переменных.
Для решения задач ЛП используют графический метод и симплекс-метод.
Математическое решение задачи
В общем виде задачу линейного программирования можно представить следующим образом:
Алгоритмы симплекса-метода позволяют также установить, является ли задача ЛП разрешимой.
Рассмотрим задачу линейного программирования симплекс методом. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из трех видов производимых товаров 1, 2, 3. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товаров; прибыль, получаемая от реализации единицы товара, а также запасы ресурсов указаны в таблице.
Вид ресурса | Затраты ресурса на единицу товара | Запас ресурса |
Товар 1 | Товар 2 | Товар 3 |
Сырье, кг. | 4 | 8 | 4 | 120 |
Рабочая сила, ч. | 6 | 2 | 3 | 160 |
Оборудование, станко-час. | 2 | 2 | 4 | 400 |
Прибыль | 10 | 8 | 6 | |
Определить какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.
Обозначим Товар 1 как х1, Товар 2 тАУ х2, Товар 3 тАУ х3.
Z=10х1+8х2+6х3
Решим задачу симплекс методом.
Математическая модель должна быть в канонической форме, т.е. все ограничения в виде неравенств.
4x1 + 8x2 + 4x3 ≤ 120
6x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 160
2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 400
Введем новые переменные x4, x5, x6.
4x1 + 8x2 + 4x3 + x4 ≤ 120
6x1 + 2x2 + 3x3 + x5 ≤ 160
2x1 + 2x2 + 4x3 +x6 ≤ 400
Находим исходные опорные решения и проверяем на оптимальность, для этого заполняем симплексную таблицу.