Методи перетворення комплексного креслення

МЕТОДИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО

КРЕСЛЕННЯ.

ЗМРЖСТ

Вступ. 2

1.Замiна площин проекцiй. 3

2. Плоскопаралельне перемiщення. 5

3.Обертання навколо лiнiй рiвня. 7

4. Косокутне допомiжне проектування. 10

Висновки. 11

Список лiтератури. 12

Вступ

Роздiл геометрii, в якому просторовi фiгури ( оригiнали вивчають за допомогою зображень iхнiх графiчних моделей на площинi малюнка називають нарисною геометрiiю.

Малюнок повинен нести геометричну iнформацiю про форму та розмiри оригiналу, бути наочним, простим i точним. Формоутворюючими елементами простору i основнi геометричнi фiгури тАУ точка, пряма та площина, з яких утворюються складнiшi фiгури. Геометричною фiгурою називають будь тАУ яку непусту множину точок, а геометричний простiр може складатися з множини точок, прямих чи площин. Основою нарисноi геометрii i метод проекцiй, який даi можливiсть одержувати вiдображення просторових фiгур на площинi чи поверхнi. За цим методом кожнiй точцi тривимiрного простору вiдповiдаi певна точка двовимiрного простору ( площини ). На площинi зображують усi фiгури, розмiщенi в просторi. Перетин проектуючого променя з площиною проекцiй даi проекцiю точки. Проекцiiю прямоi в загальному випадку i пряма, що проходить через точку ii перетину з площиною проекцiй. Малюнок, що складаiться з кiлькох (мiнiмум двох) зв'язаних мiж собою проекцiй зображуваноi фiгури називають комплексним малюнком.

1.Замiна площин проекцiй

На Мал. 1,а в системi площин проекцiй Ваi Вазображено точку А. Перпендикулярно до площини Вапроводять нову вертикальну площину , на яку ортогонально проектують точку А. Таким чином, замiсть системи площин проекцiй /Ваз проекцiями точки Ваодержують систему /Ваз проекцiями точки . При такiй замiнi вiдстань вiд староi проекцii до староi осi дорiвнюi вiдстанi вiд новоi проекцii до новоi осi. На комплексному рисунку (Мал. 1, б) цi вiдстанi позначено двома рисками. [1] [2]

Мал. 1

На Мал. 2 зображено вiдрiзок прямоi загального положення АВ. Щоб одержати його натуральну величину, досить провести нову площину паралельно однiй з проекцiй ( на рисунку вiсь Вапаралельна горизонтальнiй проекцii прямоi). Вiдклавши вiд новоi осi вiдповiднi вiдстанi вiд фронтальних проекцiй точок до староi осi, одержують натуральну величину вiдрiзка .[1]

Мал. 2

Для розвтАЩязання ряду метричних задач пряму необхiдно поставити в проектуюче положення. Для цього треба скористатися натуральною величиною вiдрiзка. Якщо провести площину, перпендикулярну до неi ( ii слiд тАУ вiсь ), то вiдклавши вiдстань, позначену двома рисками, одержимо проекцiю прямоi у виглядi точки .

На Мал. 3 показано визначення вiдстанi мiж вiдрiзками двох мимобiжних прямих - Ваi . Для цього подвiйною замiною площин проекцiй пряму Вапроектують в точку, а пряма Васпроектувалась при цьому у вiдрiзок . Перпендикуляр, опущений з Вана Вадаi шукану вiдстань.

Мал. 3

Крiм визначення вiдстанi можна тут же визначити двi найближчi точки Ваi Вана мимобiжних прямих. Показано визначення точок Ваi . А далi в зворотному напрямi можна визначити точки Ваi Вана полях Вата

На Мал. 4 показано визначення натуральноi величини трикутного вiдсiку подвiйною замiною площин проекцiй. Для цього в площинi трикутника спочатку проведено горизонталь . Перпендикулярно до горизонтальноi проекцii горизонталi вибирають вертикальну площину ( ii горизонтальний слiд - ), При цьому горизонталь спроектувалася в точку , а весь вiдсiк тАУ у пряму . Паралельно прямiй Вапроводять слiд площини Ваi визначають натуральну величину трикутного вiдсiку.[1], [2]

Мал. 4

2. Плоскопаралельне перемiщення

Якщо при способi замiни площин проекцiй геометричнi фiгури залишаються на мiсцi, а до них певним чином пiдбирають площини проекцiй, то при способi плоскопаралельного перемiщення роблять навпаки: площини проекцiй Ваi Вазалишають незмiнними, а геометричнi фiгури перемiщують певним чином. [1], [3]

На Мал. 5а зображено вiдрiзок прямоi загального положення . Для визначення натуральноi величини вiдрiзка через його кiнцеву точку Вапроводять вертикальну вiсь Ва, навколо якоi вiдрiзок Ваповертають до фронтального положення. Точка Вапри цьому перемiщуiться по дузi кола, площина якого перпендикулярна до вертикальноi осi , а отже, i горизонтальна. Натуральну величину показано подвiйною прямою ()

Мал. 5

Цю ж натуральну величину можна одержати без використання зафiксованоi осi обертання, досить розмiстити пряму паралельно однiй з площин проекцiй. Тобто цей спосiб, що називають плоскопаралельним перемiщенням, i обертанням навколо уявних осей, перпендикулярних до Ваi .

На Мал. 5б вiдрiзок Варозмiщено паралельно площинi . При цьому кiнцевi точки вiдрiзка перемiщуються в горизонтальних площинах. Щоб поставити пряму в проектуюче положення, треба в даному випадку натуральну величину вiдрiзка розмiстити вертикально; при цьому вiн перемiщуiться у фронтальнiй площинi.

Мал. 6

На Мал.6 показано визначення натуральноi величини вiдстанi мiж двома паралельними прямими загального положення. Спочатку обидва вiдрiзки без змiни iх взаiмного положення розмiщують паралельно площинi , при цьому вiдрiзки зобразяться в натуральну величину. Повернувши вiдрiзки ще раз навколо уявноi фронтально проектуючоi осi до вертикального положення, одержимо на полi Вадiйсну величину вiдстанi мiж паралельними прямими [1].

Визначення натуральноi величини двогранного кута показано на

Мал. 7. Для цього ребро двогранного кута , що займаi загальне положення, треба поставити в проектуюче положення.

Мал. 7

Спочатку двогранний кут навколо уявноi вертикальноi осi повертають так, щоб ребро його розмiстилося фронтально, другим поворотом навколо уявноi фронтально проектуючоi осi ребро ставлять у вертикальне положення, при цьому на полi Вадвогранний кут зобразиться в натуральну величину.

3.Обертання навколо лiнiй рiвня

Крiм обертання навколо осей, перпендикулярних до площин проекцiй, для розвтАЩязання ряду метричних задач користуються обертанням навколо лiнiй рiвня площин. [3].

На Мал. 8 зображено площину загального положення, задану слiдами. Для визначення величини плоского кута, що утворюiться в просторi мiж слiдами площини, виконано сумiщення вiдсiку площини служить горизонтальний слiд площини .

Мал. 8

Для знаходження сумiщеного фронтального слiду на нього вибирають довiльну точку , яка при обертаннi навколо горизонтального слiду Варухатиметься у вертикальнiй площинi, перпендикулярнiй до . При цьому вiдстань вiд точки збiгу слiдiв площини збережеться, що дозволяi з точки збiгу слiдiв провести дугу кола до перетину в точцi Ваз площиною траiкторii горизонтальноi проекцii точки. Сумiщений фронтальний слiд Вапройде через точку збiгу слiдiв i знайдено точку [1].

Мал. 9

На Мал. 9 зображено площину загального положення, задану слiдами, на яку поставлено правильну пряму тригранну призму заввишки . Щоб ii поставити, спочатку площину сумiщають обертанням навколо горизонтального слiду з полем ; при цьому одержують сумiщений фронтальний слiд . На сумiщеному полi довiльно розмiщено рiвностороннiй трикутник , який приймають за нижню основу призми. Через вершини трикутника проводять горизонталi, якi зворотним шляхом знаходять на горизонтальнiй та фронтальнiй проекцiях. Кожна вершина знаходиться на вiдповiднiй горизонталi.

Оскiльки призма пряма, ii бiчнi ребра будуть перпендикулярними до площини. Тому через усi три вершини нижньоi основи призми проводять перпендикуляри до площини : фронтальнi проекцii ребер перпендикулярно до фронтального слiду, а горизонтальнi тАУ перпендикулярно до горизонтального слiду. Для визначення призми заданоi висоти на одному з ребер, наприклад на ребрi, що проходить через точку , беруть довiльну точку Ваi визначають способом прямокутного трикутника дiйсну величину ребра Ва( гiпотенузу ), На цiй гiпотенузi вiд точки Вавiдкладають задану висоту призми , за допомогою якоi знаходять горизонтальну проекцiю ребра , за ним ребра горизонтальноi проекцii, а за вертикальною вiдповiднiстю тАУ ребра фронтальноi проекцii [1], [3].

На Мал. 10 способом обертання навколо горизонтальноi знайдено натуральну величину трикутного вiдсiку . Для цього в площинi вiдсiку проведено горизонталь . Трикутний вiдсiк обертають навколо горизонталi до положення, паралельного ; при цьому вершини вiдсiку Ваi Ваобертатимуться у вертикальних площинах, перпендикулярних до . Способом прямокутного трикутника знаходять дiйсну величину радiуса обертання для точки . Оскiльки точка Вазалишаiться на мiсцi, точку Вазнаходять на перетинi обертання точки Ванавколо горизонталi та прямоi .

Мал. 10

4. Косокутне допомiжне проектування

Цей засiб доцiльно використовувати для розв'язання позицiйних задач. РЖдея засобу полягаi в тому, що напрям проектування вибирають таким чином, щоб пряма або площина, що розглядаiться в задачi, зайняла проектуюче положення [1]. На Мал. 11 засiб косокутного допомiжного проектування використано для визначення точки перетину профiльноi прямоi Ваз площиною загального положення, заданою слiдами. Площину та пряму спроектовують на поле Вау напрямi горизонтальноi площини; при цьому площина спроектувалася своiм фронтальним слiдом, а пряма тАУ вiдрiзком . Перетин цих двох прямих тАУ точка , яку у зворотному напрямi проектування знаходять на профiльнiй прямiй ().

Мал. 11

Висновки

Для розв'язання бiльшостi метричних та деяких позицiйних задач геометричнi фiгури загального положення треба привести в окреме положення. Це перш за все стосуiться прямих лiнiй, площин, гранних i криволiнiйних поверхонь. Пiсля перетворення комплексного рисунка додатковi проекцii дають можливiсть розв'язувати задачi простiше.

Методи перетворення проекцiй спираються на два основних принципи:

1) змiна взаiмного положення об'iкта проектування та площин проекцiй

2) змiна напряму проектування.

Перетворення комплексного креслення необхiдне для визначення натуральних величин вiдрiзкiв, вiдстаней мiж вiдрiзками, а також вiдстаней мiж крапками i площинами. Застосовуючи спосiб змiни площин проекцii можна визначити величину кутiв мiж прямими. Поворотом навколо прямiй можна ввести крапку в площину, знайти положення крапки, лежачоi усерединi геометричного тiла.

Засiб косокутного допомiжного проектування використовують для розв'язання позицiйних задач.

Список лiтератури

1. Михайленко В. РД. та iн- Нарисна геометрiя - К. Вища школа, 1992. ( гл. 6 )

2. Русскевич Н. Л. Начертательная геометрия тАУМ. Наука, 1976 ( гл.РЖ У)

3. Четверухин Н. Ф. Начертательная геометрия тАУ М. Наука, 1972 ( гл. У)

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики