Нестандартные методы решения задач по математике

1. Метод функциональной подстановки

2. Метод тригонометрической подстановки

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

4. Методы, основанные на монотонности функций

5. Методы решения функциональных уравнений

6. Методы, основанные на применении векторов

7. Комбинированные методы

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

9. Методы решения симметрических систем уравнений

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время на занятиях по математике в математических классах общеобразовательных школ, гимназий и лицеев все большее внимание уделяется изучению нестандартных методов решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, тригонометрия и геометрия). В известной степени это вызвано тем, что в последние годы имеет место устойчивая тенденция к усложнению заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в ведущих высших учебных заведениях Беларуси и Российской Федерации.

В данной работе предлагаются нестандартные методы решения задач по математике, которые имеют довольно-таки широкое распространение. Многие из приведенных здесь задач предлагались совсем недавно на вступительных экзаменах по письменной математике в Белгосуниверситете.

1. Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной , применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 1Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную , тогда из Ошибка! получаем уравнение . Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Отсюда вытекает , Ваи , .

Рассмотрим два уравнения

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем Ваи . Подстановкой в Ошибка! убеждаемся в том, что найденные значения переменной Ваявляются корнями исходного уравнения.

Ответ: .

Пример 2Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что Ваи Ваявляется корнем уравнения.

Пусть теперь , тогда обе части уравнения Ошибка! разделим на Ваи получим уравнение

Если обозначить , то уравнение Ошибка! принимает вид квадратного уравнения , корнями которого являются Ваи .

Рассмотрим уравнения Ваи , откуда следует, что Ваи . Так как , то наиденные значения Ваявляются корнями уравнения.

Ответ: , , .

Пример 3Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Положим, что Ваи , тогда из Ошибка! получим уравнение , из которого следует Ваи , . Так как Ваи , то Ваи при этом .

Поскольку Ваи , то . Отсюда получаем систему уравнений

где . Решением системы уравнений Ошибка! относительно Ваявляется . Так как при этом Ваи , то Ваи .

Ответ: .

Пример 4Решить уравнение

Решение. Для преобразования левой части уравнения Ошибка! воспользуемся очевидным равенством . Тогда из уравнения Ошибка! имеем

и

Если затем положить , то получим уравнение , корни которого равны Ваи .

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения Ваи , т.е. Ваи , где . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем .

Ответ: , .

Пример 5Решить уравнение

Решение. Первоначально убедимся, что Ване является корнем уравнения Ошибка!. Так как , то разделим обе части уравнения Ошибка! на . Тогда получим

(1)

Пусть , тогда

и из уравнения (1) следует Ваили . Последнее уравнение представим в виде . Отсюда следует, что Ваи .

Далее, рассмотрим три уравнения , Ваи . Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения Ваявляются

Ответ:

Пример 6Решить неравенство

(2)

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства (2) на Ваи обозначим Вачерез . Тогда неравенство (2) можно переписать как

и

(3)

Решая неравенство (3) с учетом того, что , получаем . Поскольку , то .

Ответ: .

Пример 7
Решить уравнение

(4)

Решение. Выполним замену переменных, пусть Ваи . Так как Ваи , тo . Кроме того, имеем .

В таком случае из уравнения (4) получаем систему уравнений

(5)

Пусть теперь Ваи , тогда из системы уравнений (5) следует Ваи . Отсюда с учетом того, что , получаем Ваи . Следовательно, имеет место , Ваи .

Поскольку Ваи , то Ваи , где Ва--- целое число.

Ответ: , где Ва--- целое число.

К числу, нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической подстановки. Использование такого метода целесообразно в том случае, когда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические формулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравнений), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к несложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной Ватригонометрической функцией, например Ваили , а также в замене Ванекоторой функцией от , Ваили .

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.

Задачи и решения

Пример 8Решить уравнение

(6)

Решение. Поскольку Ване является корнем уравнения (6), то разделим обе его части на . Тогда

(7)

Если Ваили , то левая часть уравнения (7) будет больше , а правая его часть --- меньше . Следовательно, корни уравнения (6) находятся на отрезке .

Пусть , где . Тогда уравнение (6) принимает вид тригонометрического уравнения

Решением уравнения Ваявляются , где Ва--- целое число. Однако , поэтому , Ваи . Так как , то , Ваи .

Ответ: , Ваи .

Пример 9Решить уравнение

(8)

Решение. Нетрудно видеть, что

Выполним замену , где . В таком случае левая часть уравнения (8) принимает вид

а из уравнения (8) следует тригонометрическое уравнение вида

(9)

Сделаем еще одну замену переменных, пусть , тогда Ваи из (9) получаем квадратное уравнение относительно переменной , т.е. , решением которого являются Ваи . Так как Ваи , то Ваи . С учетом того, что , получаем систему тригонометрических уравнений

(10)

Из уравнений системы (10) составим квадратное уравнение относительно Вавида Ваи получаем Ваи . Так как , то Ваи

Ответ: , .

Пример 10
Решить систему уравнений

(11)

Решение. Поскольку Ваи , то положим Ваи , тогда Ваи . Тогда Ваи . В таком случае , Ваи система уравнений (11) принимает вид

(12)

Из первого уравнения системы (12) получаем . Поскольку , то , Следовательно, получаем систему

Отсюда следует Ваи . Так как Ваи , то Ваи .

Ответ: , .

Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.

Неравенство Коши

Пусть , , .., , тогда

(13)

где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда . В частности, если в (13) положить , то

(14)

Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в (14) положить Ваи , где , то

(15)

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .

Следует отметить, что имеется аналог неравенства (15) для отрицательных значений , а именно, если , то

(16)

Данное неравенство превращается в равенство при .

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального Ваимеет место

(17)

Причем равенство в (17) достигается при Ваили .

Наряду с (17) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

Ваесли Ваили , то

(18)

если , то

(19)

где .

Следует отметить, что равенства в (18) и (19) имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши--Буняковского

Для произвольных Ваи Ваимеет место

(20)

где .

Причем равенство в (20) достигается в том и только в том случае, когда числа . и Вапропорциональны, т.е. существует константа Ватакая, что для всех Вавыполняется равенство .

На основе использования неравенства Коши--Буняковского (20) можно доказать неравенство

(21)

которое справедливо для произвольных , Ваи натурального числа .

Задачи и решения

Пример 11Доказать неравенство

(22)

где .

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (22) с использованием неравенства (19), т.е.

Так как по условию , то равенства в неравенстве Бернулли (19) не будет, поэтому доказано строгое неравенство (22).

Пример 12Доказать, что если , то

(23)

Доказательство. Введем обозначения Ваи . Тогда Ваи .

Используя неравенство Коши-Буняковского (20), можно записать . Так как , то Ваи .

Имеет место равенство , из которого следует .

Следовательно, для доказательства неравенства (23) достаточно показать, что Ваили , где .

Пусть . Для доказательства неравенства (23) требуется показать, что , где .

Так как , то корни уравнения Ваявляются точками, подозрительными на экстремум функции . Уравнение Ваимеет два корня: , . Поскольку , , , то .

Отсюда следует, что неравенство (23) доказано.

Пример 13Доказать, если , то

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (18), а затем неравенством Коши (14), тогда

Пример 14Решить уравнение

(24)

Решение. Используя неравенство Коши (14), можно записать

т.е. имеет место неравенство

Отсюда и из уравнения (24) следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда Ваи .

Следовательно, имеем Ваи .

Ответ: , ; , ; , ; , .

Пример 15Решить уравнение

(25)

Решение. Применим к левой части уравнения (25) неравенство Бернулли (19), а к правой части --- неравенство (18), тогда

и

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения (25), обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .

Ответ: .

Пример 16Доказать неравенство

(26)

Вагде , .

ВаДоказательство. Непосредственно из неравенства (21) следует . Используя это неравенство и неравенство Коши (15), получаем неравенство (26) следующим образом:

Пример 17Доказать, что

(27)

где , , Ва--- стороны треугольника, a Ва--- его площадь.

Доказательство. Известно, что , где Ва--- угол между сторонами Ваи . Поскольку , то . Используя неравенство Коши , получаем верхнюю оценку площади треугольника Вавида . По аналогии с изложенным выше имеет место Ваи .

Тогда .

Отсюда следует справедливость неравенства (27).

Пример 18Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами , , Ваи диагональю Ваимеет место неравенство

(28)

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского (20), тогда .

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде Ва(теорема Пифагора), то . Отсюда следует справедливость неравенства (28). Заметим, что равенство в (28) достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пример 19
Пусть Ва--- точка, лежащая внутри прямоугольника , и Ва--- его площадь. Доказать, что

(29)

Доказательство. Через точку , лежащую внутри прямоугольника , проведем Ваи . Обозначим , , Ваи . Тогда , , , , Ваи требуемое неравенство (29) принимает вид

(30)

Используя неравенство Коши--Буняковского (20), можно записать два неравенства

и

Следовательно, имеет место

и

Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство (30).

При решении уравнений типа Вав ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций Ваи . Если функция Ванепрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , а функция Ванепрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение Вана отрезке Ваможет иметь не более одного корня.

Напомним, что функция Ваназывается возрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых , , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство Ва(соответственно, ). Если функция Ваявляется на отрезке Вавозрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения Ванеобходимо исследовать функции Ваи Вана монотонность, и если одна из этих функций на отрезке Ваубывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция Вавозстает, a Ваубывает для Ваи при этом , то корней уравнения Васреди Ванет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения Вапредставляют собой весьма ``неудобные'' для совместного исследования функции. Кроме того, если функция Ваявляется монотонной на отрезке Ваи уравнение Ва(где Ва--- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решения

Пример 20Решить уравнение

(31)

Решение. Областью допустимых значений уравнения (31) являются . Рассмотрим функции Ваи . Известно, что функция Вадля Ваявляется убывающей, а функция Ва--- возрастающей. В этой связи уравнение (31) может иметь только один корень, т.е. , который легко находится подбором.

Ответ: .

Пример 21Решить уравнение

(32)

Решение. Введем новую переменную . Тогда , Ваи уравнение (32) принимает вид

(33)

Уравнение (33) имеет очевидный корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения (33) на , тогда

(34)

Так как , а , то левая часть уравнения (34) является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение (34) если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что Ва--- корень уравнения (33). Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения (32) является .

Ответ: .

Пример 22
Решить уравнение

(35)

Решение. Разделим обе части уравнения (35) на , тогда

(36)

Подбором нетрудно установить, что Ваявляется корнем уравнения (36). Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим Ваи . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций Ваи Ваявляется убывающей и при этом .

Если , то , Ваи .

Если , то , Ваи .

Следовательно, среди 2 или Вакорней уравнения (36) нет.

Ответ: .

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

(37)

или

(38)

Вагде , , Ва--- некоторые функции и .

Методы решения функциональных уравнений (37), (38) основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 23
Корни уравнения Ваявляются корнями уравнения (37)

Доказательство. Пусть Ва--- корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. Ваявляется корнем уравнения (37).

Теорема 24
Если Ва--- возрастающая функция на отрезке Ваи , то на данном отрезке уравнения (37) и Варавносильны.

Доказательство. Пусть Ваявляется корнем уравнения (37), т.е. . Предположим, что Ване является корнем уравнения , т.е. . He нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции Васправедливы неравенства

Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что .

Отсюда и из теоремы 23 следует справедливость теоремы 24.

Следствие 25
Если функция Вавозрастает для любого , то уравнения (37) и Варавносильны.

Следствие 26
Если функция Вавозрастает на своей области определения, то уравнения (37) и Варавносильны.

Более сложным является решение уравнения (37) в том случае, когда на некотором отрезке Вафункция Ваявляется убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы 24 и двух следствий только при условии, что в уравнении (37) число Ванечетное.

Теорема 27
Если Ва--- убывающая функция на отрезке , Ва--- нечетное и , то на данном отрезке уравнения (37) и Варавносильны.

Доказательство. Пусть Ваявляется корнем уравнения (37), т.е.

Предположим, что Ване является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции Вана отрезке Ваполучаем неравенства , , , и т. д.

Так как Ва--- нечетное, то

Поскольку , то из последнего неравенства получаем .

Так как Ва--- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы 23, следует справедливость теоремы 27.

Следствие 28
Если функция Ваубывает для любого Ваи Ва--- нечетное, то уравнения (37) и Вместе с этим смотрят: