Евклiдова i неевклiдова геометрii

Змiст

Введення

Глава I. Розвиток геометрii

1.1 РЖсторiя геометрii

1.2 Постулати Евклiда

1.3 Аксiоматика Гильберта

1.4 РЖншi системи аксiом геометрii

Глава II. Неевклiдовi геометрii в системi Вейля

2.1 Елементи сферичноi геометрii

2.2 Елiптична геометрiя на площинi

2.3 Геометрiя Лобачевского в системi Вейля

2.4 Рiзнi моделi площини Лобачевского. Незалежнiсть 5-го постулату Евклiда вiд iнших аксiом Гильберта

Висновок

Список лiтератури

Введення

Будь-яка теорiя сучасноi науки вважаiться iдино вiрноi, поки не створена наступна. Це своiрiдна аксiома розвитку науки.

Цей факт багаторазово пiдтверджувався. Фiзика Ньютона переросла в релятивiстську фiзику, а та у квантову. Теорiя флогiстону стала хiмiiю, а самозародження мишей iз бруду обернулося бiологiiю. Така доля всiх наук, i не можна сказати, що сьогоднiшнi вiдкриття через двадцять рокiв не виявиться грандiозною помилкою. Але це теж нормально - ще Ломоносов говорив: ВлАлхiмiя - мати хiмii: дочка не винувата, що ii мати дурнуватаВ».

Доля ця не обiйшла й геометрiю. Традицiйна Евклiдова геометрiя переросла в неевклiдову, геометрiю Лобачевского. Саме цьому роздiлу математики, його iсторii й особливостям i присвячений цей проект.

У данiй дипломнiй роботi я хочу показати, що крiм геометрii, що вивчають у школi (Геометрii Евклiда або вживаноi геометрii), iснуi ще одна геометрiя, геометрiя Лобачевского. Ця геометрiя iстотно вiдрiзняiться вiд евклiдовоi, наприклад, у нiй затверджуiться, що через дану крапку можна провести нескiнченно багато прямих, паралельних данiй прямiй, що сума кутiв трикутника менше 180?? У геометрii Лобачевского не iснуi прямокутникiв, подiбних трикутникiв i так далi.

Я вибрав дану тему з кiлькох причин: теорiя геометрii Лобачевского допомагаi глянути по-iншому на навколишнiй нас мир, це цiкавий, незвичайний i прогресивний роздiл сучасноi геометрii, вона даi матерiал для мiркувань - у нiй не все просто, не все ясно з першого погляду, щоб неi зрозумiти, потрiбно мати фантазiю й просторову уяву. Ситуацiя з геометрiiю Лобачевского й геометрiiю Евклiда багато в чому схожа на ситуацiю з Теорiiю вiдносностi Ейнштейна й класичною фiзикою. Геометрiя Лобачевского й Ейнштейна це прогресивнi взаiмозалежнi теорii, що виконуються на величезних величинах i вiдстанях, i, що залишаються вiрними на наближеннях до нуля. У просторовiй моделi використовуiться не звичайна евклiдова площина, а скривлений простiр, на якому вiрна теорiя Лобачевского.

евклiдова геометрiя аксiома площа

Глава I. Розвиток геометрii

1.1 РЖсторiя геометрii

Геометрiя - це одна з найдавнiших наук. Дослiджувати рiзнi просторовi форми здавна спонукувало людей iхня практична дiяльнiсть. Давньогрецький учений Едем Родоський в IV столiттi до нашоi ери писала: ВлГеометрiя була вiдкрита iгиптянами, i виникла при вимiрi Землi. Цей вимiр було iм необхiдно внаслiдок розлиття рiки Нил, що постiйно змивала границi. Немаi нiчого дивного, що ця наука, як i iншi, виникла з потреби людиниВ».

Уважаiться, що геометрiя почалася в так званоi РЗонийськоi школi. РЗi засновником уважаiться Фалес Милетський (640-540 (546?) рр. до н.е.). Вiн уважався одним iз семи мудрецiв Грецii, першим математиком, астрономом i фiлософом. Вiн довiв, що кути при пiдставi рiвнобедреного трикутника рiвнi, що вертикальнi кути рiвнi, що дiаметр дiлить окружнiсть навпiл i ще множина теорем. Пророкування затьмарення сонця в 585 роцi також приписуiться йому.

Величезний iмпульс розвитку цiй школi дав Пiфагор (569-470 р. до н.е.). В основному про його особистi якостi пишуть те ж саме, що й про Фалесе. Але до цього ще можна додати титул чемпiона з боксу на олiмпiйських iграх - звання, серед математикiв рiдке.

Незважаючи на всi його досягнення, думку сучасникiв добре виразив Гераклiт: ВлБагато знання без розумуВ». Що ж, це було цiлком заслужене: Пiфагор засекречував вiдкриття й приписував собi роботи учнiв. Пiфагор також змушував своiх вихованцiв виконувати цiлий звiд дуже дивних правил: наприклад, не доторкатися до бiлого пiвня.

Але факт i факт - i одна з теорем Пiфагора тепер вiдома кожному тАУ це теорема про рiвнiсть квадрата гiпотенузи сумi квадратiв катетiв. Ця теорема настiльки популярна у свiтi математикiв, що одних тiльки доказiв нагромадилося 39 штук.

Платон (428-348) знаменитий введенням принципу дедуктивностi в математику, або принципу розвитку вiд простого до складного. Вiн також знаменитий постановкою трьох задач на побудову. Використовуючи тiльки циркуль i лiнiйку, треба було:

Роздiлити кут на три частини (задача про трисекцiю кута).

Побудувати квадрат, рiвний по площi даному колу (задача про квадратуру кола).

Побудувати куб, рiвний по об'iму даному (задача про подвоiння куба).

Не можливiсть вирiшення цих задач була доведена тiльки в 19 столiттi, але перед цим вони встигли викликати справжню буру: наприклад, задача №2 викликала появу iнтегрального вирахування.

Багато первiсних геометричних вiдомостей одержали також шумеро-вавилонськi, китайськi й iншi вченi найдавнiших часiв. Установлювалися вони сНачало тiльки досвiдченим шляхом, без логiчних доказiв.

Як наука, геометрiя вперше сформувалася в Древнiй Грецii, коли геометричнi закономiрностi й залежностi, знайденi ранiше досвiдченим шляхом, були наведенi в належну систему й доведенi.

Закiнчився розвиток традицiйноi геометрii Евклiдом. В III столiттi до нашоi ери грецький учений привело в систему вiдомi йому геометричнi вiдомостi у великому творi ВлНачалоВ».

Його книга ВлНачалоВ» тiльки до 1880 року витримала 460 видань, поступившись тiльки Бiблii. Спосiб побудови став iдино вiрним для всiх наукових праць: Перерахування основних, природних понять (Перерахування основних аксiом (Перерахування основних визначень (Формулювання теорем (тверджень) i iхнiй доказ.

Метод доказу вiд противного тАУ теж його заслуга. Вiн же сформулював п'ять постулатiв геометрii:

Через двi крапки можна провести одну й тiльки одну пряму.

Пряма триваi нескiнченно.

З будь-якого центра можна провести окружнiсть будь-яким радiусом.

Всi прямi кути рiвнi мiж собою.

П'ятий постулат i своiрiдним фiлософським каменем геометрii.

Неевклiдова геометрiя з'явилася внаслiдок довгих спроб довести V постулат Евклiда, аксiому паралельностi. Ця геометрiя багато в чому дивна, незвичайна й багато в чому не вiдповiдаi нашим звичним уявленням про реальний свiт. Але в логiчному вiдношеннi дана геометрiя не уступаi геометрii Евклiда.

1.2 Постулати Евклiда

Евклiд - автор першого логiчноi побудови, що дiйшло до нас строгого, геометрii. У ньому виклад настiльки бездоганно для свого часу, що протягом двох тисяч рокiв з моменту появи його працi ВлНачалоВ» воно було iдиним керiвництвом для вивчаючу геометрiю.

ВлНачалоВ» складаються з 13 книг, присвячених геометрii й арифметицi в геометричному викладi.

Кожна книга ВлНачалоВ» починаiться визначенням понять, якi зустрiчаються вперше. Так, наприклад, першiй книзi поданi 23 визначення. Зокрема,

Визначення 1. Крапка i те, що не маi частин.

Визначення 2. Лiнiя i довжини без ширини

Визначення 3. Границi лiнii суть крапки.

Слiдом за визначеннями Евклiд приводить постулати й аксiоми, тобто твердження, прийнятi без доказу.

Постулати

I. Потрiбно, щоб вiд кожноi крапки до всякоi iншоi крапки можна було провести пряму лiнiю.

II . РЖ щоб кожну пряму можна було невиразно продовжити.

III. РЖ щоб з будь-якого центра можна було описати окружнiсть будь-яким радiусом.

IV. РЖ щоб всi прямi кути були рiвнi.

V. РЖ щоб щораз, коли пряма при перетинаннi iз двома iншими прямими утворить iз ними однобiчнi внутрiшнi кути, сума яких менше двох прямих, цi прямi перетиналися з тiii сторони, з якоi ця сума менше двох прямих.

Аксiоми

I. Рiвнi порiзно третьому рiвнi мiж собою.

II. РЖ якщо до них додамо рiвнi, то одержимо рiвнi.

III. РЖ якщо вiд рiвних вiднiмемо рiвнi, то одержимо рiвнi.

IV. РЖ якщо до нерiвного додамо рiвнi, то одержимо нерiвнi.

V. РЖ якщо подвоiмо рiвнi, то одержимо рiвнi.

VI. РЖ половини рiвних рiвнi мiж собою.

VII. РЖ сумiснi рiвнi.

VIII. РЖ цiле бiльше частини.

IX. РЖ двi прямi не можуть мiстити простори.

РЖнодi IV i V постулати вiдносять до числа аксiом. Тому п'ятий постулат iнодi називають XI аксiомою. По якому принципi однi твердження ставляться до постулатiв, а iншi до аксiом, невiдомо.

Нiхто не сумнiвався в iстинностi постулатiв Евклiда, що стосуiться й V постулату. Тим часом уже зi стародавностi саме постулат про паралельнi залучив до себе особлива увага ряду геометрiв, що вважали неприродним примiщення його серед постулатiв. РЖмовiрно, це було пов'язане з вiдносно меншою очевиднiстю й наочнiстю V постулату: у неявному видi вiн припускаi досяжнiсть будь-яких, як завгодно далеких частин площини, виражаючи властивiсть, що виявляiться тiльки при нескiнченному продовженнi прямих.

Можливо, що вже сам Евклiд намагався довести постулат про паралельнi. На користь цього говорить та обставина, що першi 28 пропозицiй ВлНачалоВ» не опираються на V постулат. Евклiд як би намагався вiдсунути застосування цього постулату доти, поки використання його не стане настiйно необхiдним.

Однi математики намагалися довести постулат про паралельний, застосовуючи тiльки iншi постулати й тi теореми, якi можна вивести з останнiх, не використовуючи сам V постулат. Всi такi спроби виявилися невдалими. РЗхнiй загальний недолiк у тiм, що в доказi неявно застосовувалося яке-небудь припущення, рiвносильне доказуваному постулату.

РЖншi пропонували по-новому визначити паралельнi прямi або ж замiнити V постулат яким-небудь, на iхню думку, бiльше очевидною пропозицiiю. Так, наприклад, в XI столiттi Омар Хайям увело замiсть V постулату ВлпринципВ», вiдповiдно до якого двi лежачi в однiй площинi збiжнi прямi перетинаються й не можуть розходитися в напрямку сходження. За допомогою цього принципу Хайям доводить, що в чотирикутнику ABCD, у якому кути при пiдставi А и В - прямi й сторони АС, ВD рiвнi, кути С и D так само прямi, а iз цiii пропозицii про iснування прямокутника виводиться V постулат. Мiркування Хайяма одержали оригiнальний розвиток в XIII столiттi в Насиредина ат-туси, роботи якого у свою чергу стимулювали дослiдження Д. Валлиса. В 1663 роцi Валлис довiв постулат про паралельний, виходячи з явного допущення, що для кожноi фiгури iснуi подiбна iй фiгура довiльноi величини. Це допущення вiн уважав, що випливаi з iстоти просторових вiдносин.

З логiчноi точки зору результати Хайяма або Валлиса лише виявляли рiвносиль V постулату й деяких iнших пропозицiй геометрii. Так, Хайям, по сутi, установив еквiвалентнiсть постулату й пропозицii про суму кутiв трикутника, а Валлис показав, що не тiльки з V постулату можна вивести вчення про подобу, але й обернено - iх Евклiдова вчення про подобу треба V постулат.

Один з пiдбадьорюючих способiв пiдходу до доказу п'ятого постулату, яким користувалися багато геометрiв XVIII i першоi половини XIX столiть, полягаi в тому, що п'ятий постулат замiняiться його запереченням або яким-небудь твердженням, еквiвалентним запереченню. Опираючись на змiнену в такий спосiб систему постулатiв i аксiом, доводяться всiлякi пропозицii, логiчно з ii що випливають. Якщо п'ятий постулат дiйсно випливаi з iнших постулатiв i аксiом, то змiнена зазначеним образом система постулатiв мi аксiом суперечлива. Тому рано або пiзно ми прийдемо у двом взаiмно, що виключають висновкам. Цим i буде доведений п'ятий постулат.

Саме таким шляхом намагалися довести п'ятий постулат Д. Саккери (1667-1733), И. Г. Ламберт (1728-1777) i А.М. Лежандр (1752-1833).

Дослiдження Саккери були опублiкованi в 1733 роцi за назвою ВлЕвклiд, очищений вiд усяких плям, або досвiд, що встановлюi найпершi принципи унiверсальноi геометрiiВ».

Саккери виходив з розгляду чотирикутника Ваiз двома прямими кутами при пiдставiВай iз двома рiвними бiчними сторонами Вай . РЖз симетрii фiгури щодо перпендикуляра Вадо середини пiдстави треба, що кути при вершинах Ваi Варiвнi. Якщо прийняти п'ятий постулат i, отже, Евклiдову теорiю паралельних, то можна встановити, що кути Вай Вапрямi й Ва- прямокутник. Обернено, як доводить Саккери, якщо хоча б в одному чотирикутнику зазначеного виду кути при верхнiй пiдставi виявляться прямими, то буде мати мiсце Евклiдов постулат про паралельнi. Бажаючи довести цей постулат Саккери робить три можливих припущення: або кути Вай Вапрямi, або тупi, або гострi (гiпотези прямого, гострого й тупого кута). Для доказу п'ятого постулату необхiдно спростувати гiпотези гострого й тупого кута. Зовсiм точними мiркуваннями Саккери приводить до протирiччя гiпотезу тупого кута. Слiдом за тим, прийнявши гiпотезу гострого кута, вiн виводить досить що далеко йдуть ii наслiдки для того, щоб i тут одержати протирiччя. Розвиваючи цi наслiдки Саккери будуi складну геометричну систему, не мiстячи про протирiччя тiльки тому, що отриманi iм висновки не вiдповiдають звичним уявленням про розташування прямих. У результатi вiн ВлзнаходитьВ» логiчне протирiччя, але в результатi обчислювальноi помилки.

РЖдеi Ламберта, розвиненi iм у творi Влтеорiя паралельних лiнiйВ» (1766р.), близько примикають до мiркувань Саккери.

Вiн розглядаi чотирикутник iз трьома прямими кутами. Щодо четвертого кута так само виникають три гiпотези: цей кут прямий, тупий або гострий. Довiвши еквiвалентнiсть п'ятого постулату гiпотезi прямого кута й звiвши до протирiччя гiпотезу тупого кута, Ламберт, подiбно Саккери, змушений займатися гiпотезою гострого кута. Вона приводить Ламберта до складноi геометричноi системи, у якiй йому не вдалося зустрiти логiчного протирiччя. Ламберт нiде у своiму творi не затверджуi, що V постулат iм доведений, i приходить до твердого висновку, що й всi iншi спроби в цьому напрямку не привели до мети.

ВлДоказом Евклiдова постулату, - пише Ламберт, - можуть бути доведенi настiльки далеко, що залишаiться, очевидно, незначний дрiб'язок. Але при ретельному аналiзi виявляiться, що в цьому гаданому дрiб'язку й полягаi вся суть питання; звичайно вона мiстить або доказувану пропозицiю, або рiвносильний йому постулатВ».

Бiльше того, розвиваючи систему гiпотези гострого кута, Ламберт виявляi аналогiю цiii системи зi сферичною геометрiiю й у цьому вбачаi можливiсть ii iснування.

ВлЯ схильний навiть думати, що третя гiпотеза справедлива на якiй-небудь мнимiй сферi. Повинна ж бути причина, внаслiдок якоi вона на площинi далеко не пiддаiться спростуванню, як це легко може бути зроблене iз другою гiпотезоюВ».

Лежандр у своiму доказi п'ятого постулату розглядаi три гiпотези щодо суми кутiв трикутника.

Сума кутiв трикутника дорiвнюi двом прямим.

Сума кутiв трикутника бiльше двох прямих.

Сума кутiв трикутника менше двох прямих.

Вiн довiв, що перша гiпотеза еквiвалентна п'ятому постулату, друга гiпотеза неможлива; i прийнявши третю гiпотезу приходить до протирiччя, неявно скориставшись у доказi п'ятим постулатом через один з його еквiвалентiв.

У результатi проблема паралельних залишалася до Начало XIX столiття недозволеноi й положення здавалося безвихiдним. Великий знавець питання угорський математик Фаркаш Бояи в 1820 роцi писав своiму синовi Яношу: ВлМолю тебе, не роби тiльки й ти спроб здолати теорiю паралельних лiнiй: ти затратиш на це увесь свiй час, а пропозицii цього ви не доведете всi разом. Не намагайся здолати теорiю паралельних лiнiй нi тим способом, що ти повiдомляiш мене, нi яким-небудь iншим. Я вивчив всi шляхи до кiнця: я не зустрiв нi однiii iдеi, який би я не розробляв. Я пройшов весь безпросвiтний морок цiii ночi, i всякий свiточ, усяку радiсть життя я в нiй поховав.. Цей безпросвiтний морок.. нiколи не проясниться на землi, i нiколи нещасний рiд людський не буде володiти чим-небудь зробленим навiть у геометрii. Це бiльша й вiчна рана в моiй душi..В». Безпросвiтний морок, про яке з гiркотою писав старший Бойяи, розсiяв Лобачевский i, трохи пiзнiше, Я. Бояи.

Але багатовiковi спроби доказу п'ятого постулату Евклiда привели зрештою до появи новоi геометрii, що вiдрiзняiться вiд евклiдовоi тем, що в нiй V постулат не виконуiться. Ця геометрiя тепер називаiться неевклiдовоi, а в Росii маi iм'я Лобачевского, що вперше опублiкував роботу з ii викладом.

РЖ однiii з передумов геометричних вiдкриттiв Н. И. Лобачевского (1792-1856) був саме його матерiалiстичний пiдхiд до проблем пiзнання. Лобачевский Вiн був твердо впевнений в об'iктивному й не залежному вiд людськоi свiдомостi iснуваннi матерiального свiту й у можливостi його пiзнання. У мовi ВлПро найважливiшi предмети вихованняВ» (Казань, 1828) Лобачевский спiвчутливо наводить слова Ф. Бекона: Влзалишiть трудитися дарма, намагаючись витягти з одного розуму всю мудрiсть; запитуйте природу, вона зберiгаi всi iстини й на всi питання вашi буде вiдповiдати вам неодмiнно й задовiльноВ». У своiму творi ВлПро початки геометрiiВ», що i першою публiкацiiю вiдкритоi iм геометрii, Лобачевский писав: Влпершi поняття, з яких починаiться яка-небудь наука, повиннi бути яснi й наведенi до найменшого числа. Тодi тiльки вони можуть служити мiцною й достатньою пiдставою навчання. Такi поняття здобуваються почуттями; уродженим - не повинне вiритиВ». Тим самим Лобачевский вiдкидав iдею про апрiорний характер геометричних понять, що пiдтримувалася И. Кантом.

Першi спроби Лобачевского довести п'ятий постулат ставляться до 1823 року. До 1826 року вiн переконався в тiм, що V постулат не залежить вiд iнших аксiом геометрii Евклiда й 11(23) лютого 1826 року зробив на засiданнi факультету казанського унiверситету доповiдь ВлСтислий виклад Начало геометрii зi строгим доказом теореми про паралельнийВ», у якому були викладенi початки вiдкритоi iм Влуявлюваноi геометрiiВ», як вiн називав систему, що пiзнiше одержала назву неевклiдовоi геометрii. Доповiдь 1826р. увiйшов до складу першоi публiкацii Лобачевского по неевклiдовiй геометрii - статтi ВлПро початки геометрiiВ», надрукованоi в журналi Казанського унiверситету ВлКазанський вiсникВ» в 1829-1820р. подальшому розвитку й додаткам вiдкритоi iм геометрii були присвяченi мемуари ВлУявлювана геометрiяВ», ВлЗастосування уявлюваноi геометрii до деяких iнтегралiвВ» i ВлНовi початки геометрii з повною теорiiю паралельнихВ», опублiкованi в ВлУчених запискахВ» вiдповiдно в 1835, 1836 i 1835-1838 р. Перероблений текст ВлУявлюваноi геометрiiВ» з'явився у французькому перекладi в Берлiнi, там же в 1840р. вийшли окремою книгою нiмецькою мовою ВлГеометричнi дослiдження з теорii паралельних лiнiйВ» Лобачевского. Нарештi, в 1855 i 1856 р. вiн видав у Казанi на росiйськiй i французькiй мовах ВлПангеометрiюВ».

Високо оцiнив ВлГеометричнi дослiдженняВ» Гаусс, що провiв Лобачевского (1842) у члени-кореспонденти Геттингенського вченого суспiльства, що було по сутi Академiiю наук гановерського королiвства. Однак у пресi в оцiнкою новоi геометричноi системи Гаусс не виступив.

Висока оцiнка гауссом вiдкриття Лобачевского була пов'язана з тим, що Гаусс, ще з 90-х рокiв XVIII в. займався теорiiю паралельностi лiнiй, прийшов до тих же висновкам, що й Лобачевский. Своi погляди по цьому питанню Гаусс не публiкував, вони збереглися тiльки в його чорнових записках i в деяких листам до друзiв. В 1818 р. у листi до австрiйського астронома Герлингу (1788-1864) вiн писав: ВлЯ радуюся, що ви маiте мужнiсть висловитися так, нiби Ви визнавали хибнiсть нашоi теорii паралельних, а разом з тим i всiii нашоi геометрii. Але оси, гнiздо яких Ви потривожите, полетять Вам на головуВ»; очевидно, пiд Влпотривоженими осамиВ» Гаусс мав на увазi прихильникiв традицiйних поглядiв на геометрiю, а також апрiорiзму математичних понять.

Незалежно вiд Лобачевского й Гаусса до вiдкриття неевклiдовоi геометрii прийшов угорський математик Янош Бояи (1802-1860), син Ф. Бояи.

Коли Я. Бояи прийшов до тих же iдеям, що Лобачевский i Гаусс, батько не зрозумiв його, однак запропонував надрукувати короткий виклад його вiдкриття у виглядi додатка до свого посiбника з математики, що вышли в 1832р. Повна назва працi Я. Бояи - ВлДодаток, що мiстить науку про простiр, абсолютно щиру, що не залежить вiд iстинностi або хибностi XI аксiоми Евклiда (що a priori нiколи вирiшено бути не може)В» i його звичайно коротко називають просто ВлАпендиксВ». Вiдкриття Я. Бояи не було визнано при його життi; Гаусс, якому Ф. Бояи послав "Апендикс", зрозумiв його, але нiяк не сприяв визнанню вiдкриття Я. Бояи.

1.3 Аксiоматика Гильберта

Хоча в сучасному аксiоматичному викладi геометрii Евклiда не завжди користуються аксiоматикою Гильберта, приведемо ii, як першу повну, незалежну й несуперечливу систему аксiом.

Всi двадцять аксiом системи Гильберта пiдроздiленi на п'ять груп.

Група I мiстить вiсiм аксiом приналежностi.

Група II мiстить чотири аксiоми порядку.

Група III мiстить п'ять аксiом конгруентностi.

Група IV мiстить двi аксiоми безперервностi.

Група V мiстить одну аксiому паралельностi.

Переходимо до формулювання аксiом по групах. Одночасно будемо вказувати деякi твердження, що випливають iз аксiом.

I. Аксiоми приналежностi

I, 1. Якi б не були двi крапки A i B, iснуi пряма a, що належать цi крапки.

I, 2. Якi б не були двi крапки A i B, iснуi не бiльше однiй прямiй, який належать цi крапки.

I, 3. Кожнiй прямiй a належать принаймнi двi крапки. РЖснують принаймнi три крапки, що не належать однiй прямiй.

Зазначенi три аксiоми вичерпують список аксiом приналежностi планiметрii. Наступнi п'ять аксiом разом iз зазначеними трьома завершують список аксiом приналежностi стереометрii.

I, 4. Якi б не були три крапки A, B i C, що не належать однiй прямiй, iснуi площина ?, що належать цi три крапки. Кожноi площини належить хоча б одна крапка.

I, 5. Якi б не були три крапки A, B i C, що не належать однiй прямiй, iснуi не бiльше однiii площини, який належать цi крапки.

I, 6. Якщо двi приналежнi прямi a рiзнi крапки A i B належать деякiй площинi ?, те кожна приналежнiй прямiй a крапка належить зазначенiй площинi.

I, 7. Якщо iснуi одна крапка A, що належить двом площинам ? i ?, те iснуi принаймнi ще одна крапка B, що належить обом цим площинам.

I, 8. РЖснують принаймнi чотири крапки, що не належать однiii площини.

З метою використання звичноi для нас геометричноi лексики домовимося ототожнювати мiж собою наступнi вираження: 1) Влкрапка А належить прямiй a (площини α)В», 2) Влпряма а (площина α) проходить через крапку АВ» 3) Влкрапка А лежить на прямiй а (площини α)В» 4) Влкрапка А i крапкою прямiй а (площини α)В» i тому подiбнi.

Теорема 1. Двi рiзнi прямi не можуть мати бiльше однiii загальноi крапки.

Теорема 2. Двi площини або зовсiм не мають загальних крапок, або мають загальну пряму, на якiй лежать всi iхнi загальнi крапки.

Теорема 3. Площина й не лежача на нiй пряма не можуть мати бiльше однiii загальноi крапки.

Теорема 4. Через пряму й не лежачу на нiй крапку, або через двi рiзнi прямi iз загальною крапкою проходить одна й тiльки одна площина.

Теорема 5. Кожна площина мiстить принаймнi три крапки.

II. Аксiоми порядку

II, 1. Якщо крапка B прямiй а лежить мiж крапками А и С тiii ж прямоi, то А, У и С - рiзнi крапки зазначеноi прямоi, причому В лежить також i мiж С и А.

II, 2. Якi б не були двi рiзнi крапки А и С, на обумовленiй ними прямiй iснуi принаймнi вона крапка В така, що З лежить мiж А и В.

II, 3. Серед будь-яких трьох крапок, що лежать на однiй прямiй iснуi не бiльше однiii крапки, що лежить мiж двома iншими.

Сформульованi три аксiоми ставляться до розташування об'iктiв на прямiй i тому називаються лiнiйними аксiомами порядку. Нижче остання аксiома порядку ставиться до розташування геометричних об'iктiв на площинi. Для того, щоб сформулювати цю аксiому, уведемо поняття вiдрiзка.

Пари рiзних крапок А и В назвемо вiдрiзком i будемо позначати символом АВ або ВА. Крапки прямiй, обумовленоi А и В, що лежать мiж ними, будемо називати внутрiшнiми крапками, або просто крапками вiдрiзка АВ. РЖншi крапки зазначеноi прямоi будемо називати зовнiшнiми крапками вiдрiзка АВ.

II, 4 (Аксiома Паша). Якщо А, У и С - три крапки, що не лежать на однiй прямiй, i а - якась пряма в площинi, обумовленоi цими крапками, не утримуюча нi однiii iз зазначених крапок i минаюча через деяку крапку вiдрiзка АВ, то ця пряма проходить також або через деяку крапку вiдрiзка АС, або через деяку крапку вiдрiзка ВР.

Пiдкреслимо, що з одних аксiом порядку II, 1 - 4 ще не випливаi, що будь-який вiдрiзок маi внутрiшнi крапки. Однак залучаючи ще аксiоми приналежностi I, 1 - 3 можна довести наступне твердження:

Теорема 6. Якi б не були двi рiзнi крапки А и В на прямiй, ними обумовленоi, iснуi принаймнi одна крапка С, що лежить мiж А и В.

Теорема 7. Серед будь-яких трьох крапок однiii прямоi завжди iснуi одна крапка, що лежить мiж двома iншими.

Теорема 8. Якщо крапки А, У и С не належать однiй прямiй i якщо деяка пряма а перетинаi якi-небудь два з вiдрiзкiв АВ, ВР i АС, то ця пряма не перетинаi третiй iз зазначених вiдрiзкiв.

Теорема 9. Якщо В лежить на вiдрiзку АС, i С - на вiдрiзку ВD, то В и С лежать на вiдрiзку АD.

Теорема 10. Якщо З лежить на вiдрiзку АD, а В - на вiдрiзку АС, то В лежить також на вiдрiзку АD, а С - на вiдрiзку BD.

Теорема 11. Мiж будь-якими двома крапками прямоi iснуi нескiнченно багато iнших ii крапок.

Теорема 12. Нехай кожна iз крапок С и D лежить мiж крапками А и В. Тодi якщо М лежить мiж С и D, те М лежить i мiж А и В.

Теорема 13. Якщо крапки С и D лежать мiж крапками А и В, то всi крапки вiдрiзка СD належать вiдрiзку АВ (у цьому випадку ми будемо говорити, що вiдрiзок СD лежить усерединi вiдрiзка АВ).

Теорема 14. Якщо крапка З лежить мiж крапками А и В, то 1) нiяка крапка вiдрiзка АС не може бути крапкою вiдрiзка CВ, 2) кожна вiдмiнна вiд РЖз крапка вiдрiзка АВ належить або вiдрiзку АС, або вiдрiзку СВ.

Зазначенi твердження дозволяють упорядкувати множину крапок будь-якiй прямiй i вибрати на цiй прямiй напрямок.

Будемо говорити, що двi рiзнi крапки А и В прямiй a лежать по рiзнi сторони (по одну сторону) вiд третьоi крапки Про ту ж пряму, якщо крапка Про лежить (не лежить) мiж А и В.

РЖз зазначених вище тверджень випливаi наступна теорема.

Теорема 15. Довiльна крапка Про кожну пряму а розбиваi всi iншi крапки цiii прямоi на два непустих класи так, що будь-якi двi крапки прямiй а, що належать тому самому класу, лежать по одну сторону вiд ПРО, а будь-якi двi крапки, що належать рiзним класам, лежать по рiзнi сторони вiд О.

Таким чином, завдання на будь-якiй прямiй двох рiзних крапок О и Е визначаi на цiii прямий промiнь або напiвпряму ОЕ, що володii тим властивiстю, що будь-яка ii крапка й крапка Е лежать по одну сторону вiд О.

Вибравши на прямiй а двi рiзнi крапки О и Е, ми можемо тепер визначити порядок проходження крапок на прямiй за наступним правилом: 1) якщо А и В тАУ будь-якi крапки променя ОЕ, то будемо говорити, що А передуi В, якщо А лежить мiж О и В, 2) будемо говорити, що крапка Про передуi будь-якiй крапцi променя ОЕ, 3) будемо говорити, що будь-яка крапка, що належить тiй же прямiй i не приналежна лучу ОЕ, передуi як крапцi ПРО, так i будь-яку крапку променя ОЕ, 4) якщо А и В - будь-якi крапки, що не належать лучу ОЕ, то ми будемо говорити, що А передуi В, якщо В лежить мiж А и О.

Легко перевiрити, що для обраного нами порядку проходження крапок прямiй а справедлива властивiсть транзитивностi: якщо А передуi В, а В передуi З, те А передуi С.

Аксiоми, наведенi вище, дозволяють упорядкувати й крапки, що належать довiльноi площини ?.

Теорема 16. Кожна пряма а, що належить площини α, роздiляi не лежачi на нiй крапки цiii площини на два непустих класи так, що будь-якi двi крапки А и В з рiзних класiв визначають вiдрiзок АВ, що мiстить крапку прямiй а, а будь-якi двi крапки А и АтАЩ з одного класу визначають вiдрiзок ААтАЩ, усерединi якого не лежить жодна крапка прямiй а.

У вiдповiднiсть iз твердженням цiii теореми ми можемо говорити, що крапки А и АтАЩ (одного класу) лежать у площинi α по одну сторону вiд прямiй а, а крапки А и В (рiзних класiв) лежать у площинi α по рiзнi сторони вiд прямiй а.

III. Аксiоми конгруентностi

III, 1. Якщо А и В тАУ двi крапки на прямiй а, АтАЩ тАУ крапка на тiй же прямiй або на iншiй прямiй а', то по дану вiд крапки АтАЩ сторону прямiй а' найдеться, i притiм тiльки одна, крапка ВтАЩ така, що вiдрiзок А'тАЩ конгруентний вiдрiзку АВ. Кожний вiдрiзок АВ конгруентний вiдрiзку ВА.

III, 2. Якщо вiдрiзки А'' i АтАЭBтАЭ конгруентнi тому самому вiдрiзку АВ, то вони конгруентнi й мiж собою.

III, 3. Нехай АВ i ВР - два вiдрiзки прямiй а, що не мають загальних внутрiшнiх крапок, А'' i B'' - два вiдрiзки тiй же прямiй, або iншiй прямiй а', що також не мають загальних внутрiшнiх крапок. Тодi якщо вiдрiзок АВ конгруентний вiдрiзку А'', а вiдрiзок ВР конгруентний вiдрiзку B'', те вiдрiзок АС конгруентний вiдрiзку А''.

Сформульованi три аксiоми ставляться до конгруентностi вiдрiзкiв. Для формулювання наступних аксiом нам знадобляться поняття кута i його внутрiшнiх крапок.

Пари напiвпрямих h i k, що виходять iз однiii й тiii ж крапки О и не лежачих на однiй прямiй, називаiться кутом i позначаiться символом Ваабо .

Якщо напiвпрямi задаються двома своiми крапками ОА й ОВ, то ми будемо позначати кут символом Ваабо . У силу теореми 4 будь-якi два променi h i k, тридцятилiтнi кут , визначають, i притiм iдину, площина α.

Внутрiшнiми крапками Вабудемо називати тi крапки площини α, якi, по-перше, лежать по ту сторону вiд прямоi, що мiстить промiнь h, що й будь-яка крапка променя k, i, по-друге, лежать по ту сторону вiд прямоi, що мiстить промiнь k, що й будь-яка крапка променя h.

III, 4. Нехай данi Вана площинi α, пряма а' на цiй же або на якiй-небудь iншiй площинi αтАЩ i задана певна сторона площини αтАЩ вiдносно прямiй а'. Нехай hтАЩ тАУ промiнь прямiй а', що виходить iз деякоi крапки ОтАЩ. Тодi на площинi αтАЩ iснуi один i тiльки один промiнь kтАЩ такий, що конгруентний, i при цьому всi внутрiшнi крапки лежать по задану сторону вiд прямiй а'. Кожний кут конгруентний самому собi.

III, 5. Нехай А, У и С тАУ три крапки, що не лежать на однiй прямiй, АтАЩ, BтАЩ i СтАЩ тАУ iншi три крапки, що також не лежать на однiй прямiй. Тодi якщо вiдрiзок АВ конгруентний вiдрiзку А'тАЩ, вiдрiзок АС конгруентний вiдрiзку А'тАЩ i Ваконгруентний , те Ваконгруентний Ваi Ваконгруентний

Домовимося тепер про порiвняння неконгруентних вiдрiзкiв i кутiв.

Будемо говорити, що вiдрiзок АВ бiльше вiдрiзка А'', якщо на прямiй, обумовленоi крапками А и В, найдеться лежача мiж цими крапками крапка З така, що вiдрiзок АС конгруентний вiдрiзку А'В'. Будемо говорити, що вiдрiзок АВ менше вiдрiзка А'', якщо вiдрiзок А'' бiльше вiдрiзка АВ.

Символiчно той факт, що вiдрiзок АВ менше вiдрiзка А'' (конгруентний вiдрiзку А'') будемо записувати так:

АВ

Будемо говорити, що Вабiльше , якщо в площинi, обумовленоi , найдеться промiнь ОС, всi крапки якого i внутрiшнiми крапками , такий, що Ваконгруентний . Будемо говорити, що Ваменше , якщо Вабiльше .

За допомогою аксiом приналежностi, порядку й конгруентностi можна довести цiлий ряд теорем елементарноi геометрii. Сюди ставляться: 1) три широко вiдомi теореми про конгруентнiсть (рiвностi) двох трикутникiв, 2) теорема про конгруентнiсть вертикальних кутiв, 3) теорема про конгруентнiсть всiх прямих кутiв, 4) теорема про одиничнiсть перпендикуляра, опущеного iз крапки на пряму, 5) теорема про одиничнiсть перпендикуляра, проведеного до даноi крапки прямiй, 6) теорема про зовнiшнiй кут трикутника, 7) теорема про порiвняння перпендикуляра й похилоi.

IV. Аксiоми безперервностi

За допомогою аксiом приналежностi, порядку й конгруентностi ми зробили порiвняння вiдрiзкiв, що дозволяi укласти, яким iз трьох знакiв <, = або > зв'язанi цi вiдрiзки.

Зазначених аксiом, однак, недостатньо 1) для обТСрунтування можливостi вимiру вiдрiзкiв, що дозволяi поставити у вiдповiднiсть кожному вiдрiзку певне речовинне число, 2) для обТСрунтування того, що зазначена вiдповiднiсть i взаiмно однозначним.

Для проведення такого обТСрунтування варто приiднати до аксiом I, II i III двi аксiоми безперервностi.

IV, 1 (аксiома Архiмеда). Нехай АВ i СD тАУ довiльнi вiдрiзки. Тодi на прямiй, обумовленоi крапками А и В iснуi кiнцеве число крапок А₁, А₂, .., А_n, розташованих так, що крапка А₁ лежить мiж А и А₂, крапка А₂ лежить мiж А₁ i А₃, .., крапка А_n-1 лежить мiж А_n-2 i А_n, причому вiдрiзки АА₁, А₁А₂, .., А_n-1A_n конгруентнi вiдрiзку CD i крапка В лежить мiж А и А_n.

IV, 2 (аксiома лiнiйноi повноти). Сукупнiсть всiх крапок довiльноi прямоi а не можна поповнити новими об'iктами (крапками) так, щоб 1) на поповненiй прямiй були визначенi спiввiдношення Вллежить мiжВ» i ВлконгруентнийВ», визначений порядок проходження крапок i справедливi аксiоми конгруентностi III, 1 - 3 i аксiома Архiмеда IV, 1, 2) стосовно колишнiх крапок прямiй певнi на поповненiй прямiй спiввiдношення Вллежить мiжВ» i ВлконгруентнийВ» зберiгали старий змiст.

Приiднання до аксiом I, 1 тАУ 3, II i III, 1- 3 аксiоми Архiмеда дозволяi поставити у вiдповiднiсть кожнiй крапцi довiльноi прямоi а певне речовинне число х, називане координатою цiii крапки, а приiднання ще й аксiоми лiнiйноi повноти дозволяi затверджувати, що координати всiх крапок прямiй а вичерпують множину всiх речовинних чисел. Користуючись цим, можна обТСрунтувати метод координат.

V. Аксiома паралельностi

Сама остання аксiома граi в геометрii особливу роль, визначаючи подiл геометрii на двi логiчно несуперечливi й взаiмно виключають один одного системи: Евклiдову й неевклiдову геометрii.

У геометрii Евклiда ця аксiома формулюiться так.

V.Нехай а тАУ довiльна пряма й А тАУ крапка, що лежить поза прямiй а, тодi в площинi α, обумовленою крапкою А и прямоi а iснуi не бiльше однiй прямiй, що проходить через А и не перетинаi а.

Довгий час геометри намагалися з'ясувати, чи не i аксiома паралельностi наслiдком всiх iнших аксiом. Це питання було вирiшено Миколою РЖвановичем Лобачевским, що довiв незалежнiсть аксiоми V вiд аксiом I - IV.

По-iншому результат Лобачевского можна сформулювати так: якщо до аксiом I тАУ IV приiднати твердження, що заперечуi справедливiсть аксiоми V, те наслiдку всiх цих положень будуть становити логiчно несуперечливу систему (неевклiдову геометрiю Лобачевского).

Систему наслiдкiв, що випливають iз одних тiльки аксiом I - IV звичайно називають абсолютною геометрiiю. Абсолютна геометрiя i загальною

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики