Новый метод решения кубического уравнения
Автор: Фильчев Э.Г.
Решение кубического уравнения в системе mn параметров
Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы
- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )
- с помощью формулы Кардана
- применение специальных таблиц
(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике тАжМ. Наука 1980. стр.219).
В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!
Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.
Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.
Решение
На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид
(2mn)2 + ( 3x + )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0 ( 1 )
где
x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения
2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения
Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим
(2mn)6 +2( 3c тАУ b2 )(2mn)4+(3c тАУ b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c тАУ b2 )3 + ( 2b3 тАУ 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )
Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение
Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32Ва]
[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.
x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "
1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение
D1= - Ва= - (2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32
2. Определяем значение
D2 = - 2( 3c тАУ 2 ) = - [(2mn)12Ва+ ( 2mn)22Ва+ ( 2mn)32]
Из этих уравнений следует, что
- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов
- и если при этом выполняется равенство D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32Ва, то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.
3. Определяем значение корней исходного уравнения
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2
3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3
3x2 + 2bx + c = (2mn)2( 2mn)3
Задача решена !
Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0
гдеa =1, b = - 9, c = 23, d = -15
Решение
1. Определяем значение D1 = = -
-→ D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162
Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0
2.Определяем значение D2= - 2(3c - )
-→ D2 = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4
Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно
имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.
3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.13x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.
3.23x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0
-→ X1 = 3 + 2 = 5 , X2 = 3 - 2 = 1
Здесь X1 = 5 - одно из решений исходного уравнения.
Здесь X2 = 1 второе решение исходного уравнения.
3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3
-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0
-→ X2 = 3
Здесь X= 3 - последнее из решений исходного уравнения.
3.4 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3
-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.
Задача решена!
Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
гдеa =1, b = - 20, c =113, d = -154
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400
2.Определяем значение D2 = - 2(3c - )
-→ D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92
Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.
Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.
2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400
2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400 . Этот вариант подходит!
-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,
(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,
(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.
3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.13x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2
-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.
-→ X1= 7, X2 =
4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 тАУ 4 = 7 тАУ 4 = 3. Нет решения(это не корень).
4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.
4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X2 - X3) -→ X3 = X2 - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.
Решением исходного уравнения будет X1= 7, X2= 2, X3 = 11.
Расчет закончен !
Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0
гдеa =1, b = - 10, c = - 49, d = 130
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996
2.Определяем значение D2 = - 2( 3c - )
-→ D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182
Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72 ∙ 112 Ва182 = 1920996
-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,
(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,
(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.
3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
3.13x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21
-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!
3.23x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22
-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.
-→ X1 = , X2= 2 тАУ это один из корней исходного уравнения!
4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.
4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 тАУ 7 = 2 тАУ 7 = - 5. Это второй корень!
4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.
4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.
4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1= 2, X2= - 5, X3 = 13.
Расчет закончен !
Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 6.85x2 + 13.425x тАУ 8.1 = 0
гдеa =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1
В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4( 40.275 тАУ 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 тАУ 218.7)2]/27
-→D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500
2.Определяем значение D2 = - 2( 3c - )
-→ D2 = - 2(40.275 тАУ 46.9225 ) = 13.2950
В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .
При этом значение степени k должно определяться
- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )
- для D1 =3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).
Для дальнейшего рассмотрения используем два числа
- D11 = 987539062500
- D21 = 132950.
3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .
Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики
- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .
- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D21 = А2 + Б2 + Д2 и D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .
Вариант D11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.
Для рассматриваемого примера
D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152
D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152.
4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2 . Совершая обратную операцию, получим
(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,
(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,
(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.
5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения
5.13x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21
-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 тАУ 13.7x + 6.8 = 0.
-→ X1= 4 тАУ это один из корней исходного уравнения!
6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 4, и
кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для
определения двух остальных корней.
6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 тАУ 2.5 = 4 тАУ 2.5 = 1.5 . Это второй корень!
6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.
6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X1 - X3) -→ X3 = X1 тАУ 2.65= 4 тАУ 2.65 = 1.35. Это третий корень!
Решением исходного уравнения будет X1= 4, X2= 1.5, X3 = 1.35.
Расчет закончен !
Неприводимый случай формулы Кардана
Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.
Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.
Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".
Пусть а = 1.
Решение
Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы
D1= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
D2= - [(2mn)12Ва+ ( 2mn)22Ва+ ( 2mn)32],
где
- (2mn)jВа- разность любой пары корней исходного уравнения
- D1 = -
- D2 = - 2( 3c тАУ 2 )
- ( b,c,d) тАУ коэффициенты исходного уравнения.
По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два сопряженных мнимых корня X2 =( g2 - hi), X3 = ( g2 + hi). Тогда
(2mn)1 = ( X1 - X2) = (g1 - g2 ) + hi
(2mn)2 = ( X1 - X3) = (g1 - g2 ) тАУ hi
(2mn)3 = ( X2 - X3) = g2 - hi - g2 тАУ hi = - 2hi
-→ D1= - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2 ∙ [2 hi]2
-→ D1= [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2
Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место
- знак тАЬ + тАЬ
- только действительные числа.
Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем
1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам
D1 = -
D2 = - 2( 3c - 2 )
определяются значения D1 и D2.
2. Определяются D1 - как произведение двух квадратов
D2- как удвоенная сумма двух квадратов.
3.Определяются значения g1, g2,h.
4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31
5. Определяются значения корней исходного уравнения.
Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 9x2 + 73x тАУ 265 = 0
гдеa =1, b = - 9, c = 73, d = - 265
В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(219 тАУ 81)3+(- 1458 + 5913 тАУ 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344
2. Для дальнейших расчетов общий знак тАЬ - тАЬ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.
-→D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582
Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 . Тогда можно записать
h = 7, (g1 - g2 )2 + h2 = 58 -→ (g1 - g2 )2 = 58 тАУ 49 = 9 -→( g1 - g2 ) = В± 3
3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения
- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 9) = g1 + g2 + hi + g2 тАУ hi = g1 + 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.
4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= В± 3 и (g1 + 2 g2) = 9, можно определить значения g1 и g2
Пусть ( g1 - g2 )= 3 -→ g2 = g1 тАУ 3 -→ g1 + 2(g1 тАУ 3) = 9 -→ 3g1 = 15 -→ g1 = 5 -→g2 = 2.
-→ X1 = 5, X2 = 2 + 7i , X3 = 2 тАУ 7i
Расчет закончен !
Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 30x2 + 322x тАУ 1168 = 0
гдеa =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(966 тАУ 900)3+(- 54000 + 86940 тАУ 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600
2. Для дальнейших расчетов общий знак тАЬ - тАЬ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.
-→D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342
Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 . Тогда можно записать
h = 5, (g1 - g2 )2 + h2 = 34 -→ (g1 - g2 )2 = 34 тАУ 25 = 9 -→( g1 - g2 ) = В± 3
3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения
- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 30) = g1 + g2 + hi + g2 тАУ hi = g1 + 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.
4.Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= В± 3 и (g1 + 2 g2) = 30, можно определить значения g1 и g2
Пусть ( g1 - g2 )= - 3 -→ g2 = g1 тАУ 3 -→ g1 + 2(g1 тАУ 3) = 30 -→ 3g1 = 24 -→ g1 = 8 -→g2 = 11.
-→ X1 = 8, X2 = 11 + 5i , X3 = 2 тАУ 5i
Расчет закончен !
Новый метод решения кубических уравнений
Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений.Для корней кубического уравнения могут
иметь место следующие случаи
- три корня имеют одинаковые действительные значения
- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1 = g + h, то X2 = g тАУ h или X1 =Ва(g + h), то X2 = (g тАУ h), Наличие множителя Ваобусловлено численным значением коэффициента при X для X3 + bX2 + cX + d = ( X тАУ X1)∙( X2 + X + c) = 0.
- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g тАУ ih.
Первый случай тАУ тривиальный . (x тАУ a )3 = x3 тАУ 3ax2+3a2x тАУ a3= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.
Три разных действительных корня
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X тАУ g1 ), то получим квадратное уравнение вида
[ X тАУ (g2 + h)]∙[ X тАУ (g2 - h)] = 0
-→ X2 тАУ 2g2X + (g22 тАУ h2) = 0
-→ X1 = g1, X2,3 = g2 В± h -→ X2 =( g2 - h), X3 = ( g2 + h)
-→ (2mn)1 = ( X1 - X2) = (g1 - g2 ) + h
(2mn)2 = ( X1 - X3) = (g1 - g2 ) тАУ h
(2mn)3 = ( X2 - X3) = g2 - h - g2 тАУ h = - 2h
-→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + h]2 ∙ [(g1 - g2 ) - h]2 ∙ [2h]2
-→ D1= [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2(3)
-→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [(g1 - g2 ) + h]2 + [(g1 - g2 ) - h]2 + 4h2
→ D2 = - [(g1 - g2 )2 + 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + (g1 - g2 )2 - 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + 4h2]
→ D2 = - [ 2(g1 - g2 )2 + 6h2] = - 2[(g1 - g2 )2 +3h2] (8)
На основании формул системы mn параметров имеем
D1 = - Ва(4)
D2 = - 2( 3c - 2 ), (5)
где ,c,d- коэффициенты исходного кубического уравнения.
Три действительных корня и два одинаковых
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2mn)I = 0
При (2mn)I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь
3x2 + 2bx +с = 0 (6)
→ X2 =( g2 - h), X3 = ( g2 + h) → X2 = X3 = g2
→ (2mn)1 = ( X1 - X2) = (g1 - g2 )
(2mn)2 = ( X1 - X3) = (g1 - g2 )
(2mn)3 = ( X2 - X3) = g2 - g2 = 0
→ D1= - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = 0
→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [ (2mn)12 + (2mn)22 ]
→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c тАУ b2 ) = 2( b2 тАУ 3c )
→ (g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )
На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - =X1 + 2X2
→ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа g1 + 2g2 = -
Решая систему из двух уравнений будем иметь g2 = -
→ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X11,12 = g11,12= [ - b В± Ва]
→ X21,22 = g21,22= [ - В± Ва]
Расчет закончен !
Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 41x2 + 475x тАУ 1083 = 0
гдеa =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083
1. X11,12 = g11,12 = [ - b В± Ва] → X11,12 = [ 41 В± Ва] = [ 41 В± Ва]
→ X11 = Ва, X1 = 3
X21,22 = g21,22 = [ - b В± Ва] → g21,22 = [ 41 В± Ва]= [ 41 В± Ва]
→ X21 = 19, X22 = Ва→ X2 = X3 = 19
Расчет закончен !
Вывод основных формул
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1. Определяем значение D1 = -
2. Разделим
3. Представляем число Вав виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ h2.
4. Меньший множитель принимаем за h2→ [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 =
→ (g1 - g2 ) = Ва(6)
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )
→ = - ( g1 + 2g2 ) (7)
6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим
X1 = g1= Ва- b )
→ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X11 = g11= Ва- b )ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (8)
→ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X12 = g12= Ва- b )ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (9)
Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.
7.→ g2 = -
→ g21 = -
→ g22 = -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 тАУ h
X32 = g22 тАУ h
Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.
Задача решена!
Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 33x2 + 311x тАУ 663 = 0
гдеa =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(933 тАУ 1089)3+(- 71874 + 92367 тАУ 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600
-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 313600 = 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72 = 4∙702∙42 = 4∙282∙102
313600 = 4∙1402∙22 = 4∙72∙402 = 4∙52∙562
-→ Ва= 402∙72 = 702∙42 = 282∙102 = 1402∙22 =52∙562
2. Пусть h12= 72
→ X1 = g11= Ва- b ) = Ва- b) =
→ g11 =X11 = 13, X12 = 9.
→ g21 = - Ва= - Ва= 10
→ X2,3 = g21 + h1 = 10 В± 7 → X2 = 17, X3 = 3
Задача решена!
Неприводимый случай формулы Кардана
Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два мнимых сопряженных корня
X2 =( g2 - ih), X3 = ( g2 + ih).
-→ (2mn)1 = ( X1 - X2) = (g1 - g2 ) +ih
(2mn)2 = ( X1 - X3) = (g1 - g2 ) тАУ ih
(2mn)3 = ( X2 - X3) = g2 - ih - g2 тАУ ih = - 2ih
Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.
1. Определяем значение D1 = -
2. Разделим
3. Представляем число Вав виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ h2.
4. Меньший множитель принимаем за h2→ [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 =
→ (g1 - g2 ) =
5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения
Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )
→ b = - ( g1 + 2g2 )
6. X1 = g1= Ва- b )
→ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X11 = g11= Ва- b )
→ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа X12 = g12= Ва- b )
7.→ g2 = -
→ g21 = -
→ g22 = -
8. Определяем два остальных корня
X21 = g21 + h
X22 = g22 + h
X31 = g21 тАУ h
X32 = g22 тАУ h
Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
x3 - 6x2 + 58x тАУ 200 = 0
гдеa =1, b = - 6, c = 58, d = - 200
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(174 тАУ 36)3+(- 432 + 3132 тАУ 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344
-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032
-→ Ва= 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142
Пусть h12= 72
→ X1 = g11= Ва- b ) = Ва+ 6) = Ва= 4
→ X1 = 4
→ВаВаВаВаВа g21 = - Ва= - Ва= 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 В± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i
Задачарешена!
Пример 10 Дано уравнение
x3 - 6x2 + 21x тАУ 52 = 0
где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров
Решение
1. Определяем значение D1 = -
-→D1 = - [4(63 тАУ 36)3+(- 432 + 1134 тАУ 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168
→ D1 =[(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙ Ва= 4∙142∙Ва= 4∙
→ D1 =
Пусть h12=
→ X1 = g11= Ва- b ) = Ва+ 6) = Ва= 4
→ X1 = 4
→ВаВаВаВаВа g21 = - Ва= - Ва= 1
→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 В± 2iВа→ X2 = 1 + 2iВа, X3 = 1 - 2i
Сравните метод решения и результат с первоисточником.
[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]
Вывод новых формул
Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.
Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)
(2mn)2 + ( 3x + )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0
Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим
(2mn)2 + ( 3xi + )(2mn) + 3xi2 + 2bxi +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x1 + )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x2 + )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0
→ (2mn)2 + ( 3x3 + )(2mn) + 3x32 + 2bx3 +с = 0
Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2mn)Iобязательно найдется отрицательное значение (2mn)j. Поэтому общая сумма всех корней вида (2mn) будет равна нулю.
→ ( 3x1 + ) + ( 3x2 + ) + ( 3x3 + ) = 0 → 3( x1 + x2 + x3 ) = - 3
→ ( x1 + x2 + x3 ) = - .
Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.
Рассмотрим любых два уравнения, например,
→ (2mn)2 + ( 3x1 + )(2mn) + 3x12 + 2bx1 +с = 0
(2mn)2 + ( 3x2 + )(2mn) + 3x22 + 2bx2 +с = 0.
Здесь в качестве свободных членов имеем 3x12 + 2bx1 +с и 3x22 + 2bx2 +с. Их сумма равна
→ Σ = 3(x12 + 3x22) + 2(x1 + x2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что
3(x12 +x22) + 2( x1 + x2 ) + 2 с = ( x1 - x2 )2
→ (x1 + x2)2 + ( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь
→ВаВаВаВаВа (x1 + x2)2 + ( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0
→ВаВаВаВаВа (x1 + x3)2 + ( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0
→ (x2 + x3)2 + ( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0
Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!
В общем случае эта формула имеет вид
( xi + xj)2 + ( xi + xj ) + с - xi∙ xj= 0 ( 10 )
Пример 11 Проверить формулу ( 10 )
x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0
где a =1, b = - 20, c =113, d = -154
Здесь X1= 7, X2= 2, X3 = 11.
→ (x1 + x2)2 + ( x1 + x2 ) + с - x1∙ x2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2= 0
→ (x1 + x3)2 + ( x1 + x3 ) + с - x1∙ x3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11= 0
→ (x2 + x3)2 + ( x2 + x3 ) + с - x2∙ x3 = 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11= 0
Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).
Три действительных корня и два одинаковых
При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.
Тогда из уравнения (2) следует 3x12 + 2bx1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.
Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 тАУ 25x2 + 203x тАУ 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.
Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x12 + 2bx1 +с = 0 → 3x12 - 50x1 + 203 = 0 → x1,2 = Ва) → x1 = Ва, x2 = 7.
Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является
XВместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Актуальные проблемы квантовой механики