Динамические системы в плоской области

ТЕМА

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

1. Введение

Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида

ВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (I)

где Р (х, у) и Q (х, у) тАФ непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у тАФ декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные частные производные до порядка не ниже первого. Область может быть как ограниченной, так и неограниченной. В частности, область G может совпадать со всей плоскостью (х, у).

Системы вида (I) являются частным случаем систем двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями: независимое переменное t в их правые части явно не входит. Системы дифференциальных уравнений, правые части которых не содержат явно независимое переменное, называются автономными. Автономные системы дифференциальных уравнений называются также динамическими системами.

Систему (I) мы будем называть динамической системой на плоскости или в плоской области. Мы будем также говорить, что динамическая система задана или определена в области G. В дальнейшем мы будем опускать слова Влна плоскостиВ» и Влв плоской областиВ».

Динамическая система (I), заданная в области G, называется системой класса С_n, если функции Р (х, у) и Q (я, у) являются функциями класса С_n, т. е. имеют в области G непрерывные частные производные до порядка n включительно.

Динамическая система (I) называется системой аналитического класса или аналитической системой, если функции Р и Q являются аналитическими функциями в области G.

Очевидно, всякая система класса C_k (к > 1) является одновременно системой класса C_k1, где к₁ < к, в частности, системой класса C₁. Аналитическая система является системой класса C_k для любого натурального к.

Все рассматриваемые в этой книге динамические системы являются системами класса . Поэтому всюду в дальнейшем под динамической системой мы будем во всяком случае всегда подразумевать систему класса , не оговаривая этого явно.

Изложим простейшие свойства динамических систем в плоской области. Свойства эти характерны для автономных систем дифференциальных уравнений. Неавтономные системы (т. е. системы, в правые части которых t входит явно), вообще говоря, ими не обладают .

2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве -R³

Рассмотрим обычную для системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями геометрическую интерпретацию, т. е. геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, у, t.

Функции Р (х, у) и Q (х, у) нужно при этом рассматривать как функции трех переменных х, у и t. Но так как эти функции от t не зависят, то в трехмерном пространстве R³ областью определения правых частей системы (I) является бесконечная цилиндрическая область Н, образованная всеми прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость (х, у) в точках области G .

Решения

системы (I) интерпретируются как кривые, расположенные в области Н. Эти кривые называются интегральными кривыми системы (I). Мы будем, здесь и всюду в дальнейшем, под решением системы дифференциальных уравнений подразумевать решение, продолженное на максимальный возможный интервал значений t.

Так как функции Р (х, у) и Q (х, у) во всяком случае являются функциями класса С₁ то для системы (I) во всех точках области H выполняются условия теоремы существования и единственности, а следовательно и сама эта теорема. Мы сформулируем ее для системы (I) следующим образом:

Теорема 1. Для любой точки М₀(х₀,Ва)ВаG и для любого t₀, , существует одно и только одно решение

системы (I), удовлетворяющее начальным условиям

определенное для всех значений t в некотором определенном интервале (, Т), содержащем t₀.(В частности, решение может быть определено при всех значениях t, т. е. t может быть равно , а Т может быть равно ).

Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку области Н проходит интегральная кривая системы (I) и при этом только одна.

Для системы вида (I) справедлива также следующая теорема, которая существенно используется в дальнейшем:

Теорема 2. Пусть ВатАФ замкнутая ограниченная область, содержащаяся в области G (ВаG),

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (1)

тАФ решение системы (I), определенное в интервале (, Т) и такое, что при всех t на интервале (, Т) точка N (,) все время остается в области . Тогда =, T=+, т.е.решение (1) определено для всех значений t.

Доказательство. Предположим, что решение

определено при значении t - t₀. Пусть ВатАФ два произвольных числа, причем < t₀, Ва> t₀. Обозначим через Ваконечную цилиндрическую область пространства , состоящую из всех точек М (t, x, у) таких, что , а х, у таковы, что точка (х, у) Ва(рис. 1). Интегральная кривая, соответствующая решению (1), проходит через точку М₀ (t₀,,), принадлежащую области H₁. Но тогда, в силу теоремы (А') дополнения, эта интегральная кривая выходит из области Вакак при значении, большем t₀, так и при значении, меньшем t₀. Однако выйти из цилиндрической области Вачерез боковую поверхность этой области интегральная кривая не может, так как в этом случае, очевидно, нашлась бы точка N (), лежащая вне замкнутой области , что противоречит условию теоремы.

Рис. 1.

Следовательно, рассматриваемая интегральная кривая выходит из через нижнее и верхнее основания (рис. 1). Но это значит, что решение (1) определено при t = Ваи t =. Так как Вапроизвольны, то решение (1) определено при всех значениях t. Теорема доказана.

3. Простейшие свойства решений системы (I)

Мы установим некоторые cвойства решений системы (I), являющиеся следствием автономности этой системы.

Лемма 1. Если

есть решение системы (I), определенное на интервале (, Т), то

ВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2)

где С тАФ любая постоянная, также есть решение системы (I) и это решение определено на интервале (ВатАФ С, Т тАФ С).

Доказательство. Так как (1) есть решение системы (I), то при всех t Ва(, Т) имеет место тождественное равенство

(), .

Если заменить в этих равенствах t на t+C, то при всех tВа(ВатАФС,Т тАФ С) мы будем иметь тождественное равенство

ВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3)

Но, очевидно

,

и, следовательно, равенства (3) могут быть записаны в виде

Последние равенства показывают, что функции (2) являются решением системы (I). Тот факт, что это решение определено на интервале (ВатАФ С, Т тАФ С), устанавливается простым рассуждением, которое мы опускаем. Лемма доказана.

С точки зрения геометрической интерпретации в трехмерном пространстве утверждение леммы 1 означает, что линия, получающаяся из любой интегральной кривой путем сдвига ее вдоль оси t на любой отрезок, также есть интегральная кривая. В самом деле, интегральная кривая

получается из интегральной кривой

сдвигом вдоль оси t на величину С.

Лемма 2.

а) Решения системы (I)

Ва(1)

Ваи ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (2)

можно рассматривать как решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями переменного t.

б) Два решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями переменных х₀, у₀ и различными начальными значениями t,могут быть получены одно из другого заменой t на Вас надлежащим выбором постоянной С.

Доказательство. Если решение (1) соответствует начальным значениям t₀, x₀, у₀ так, что

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3)

то в силу очевидных равенств

Ва(t₀тАФС + С) = Ва(t₀) = x₀ ψ (t₀тАФС + С) = ψ (t₀) = y₀

решение (2) соответствует начальным значениям t₀тАФС, х₀, у₀, что и доказывает утверждение а).

Далее, рассмотрим наряду с решением (1), соответствующим начальным значениям t₀, x₀, у₀, решение

ВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (4)

соответствующее начальным значениям , x₀, у₀, где Ваt₀. Если в решении

(2)

величину С взять равной t₀тАФ, то оно, очевидно, будет соответствовать тем же начальным значениям , x₀, у₀, что и решение (4). В силу единственности решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, отсюда следует

Ва,

что и доказывает утверждение б) леммы.

В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. Решение всякой системы двух дифференциальных уравнении, соответствующее любым произвольным начальным значениям t₀, х₀, у₀ , очевидно, является функцией t, t₀, х₀, у₀ , т. е. записывается в виде

х = Ф(t, t₀, х₀, г/о), y= Ψ (t, t₀, х₀, у₀)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (5)

При этом по самому смыслу функций Ф (t, t₀, х₀, у₀) и Ψ (t, t₀, x₀, у₀), Ф(t₀, t₀, х₀, у₀) = х₀, Ψ (t₀, t₀, х₀, у₀)= у₀

Однако в случае системы (1), вследствие автономности этой системы, функции (5) являются по существу не функциями переменных t и t₀, а функциями разности tтАФt₀. Это устанавливается в следующей лемме:

Лемма 3. Решение системы (I) как функции от t и от начальных значений t₀ , x₀ , у₀ ,может быть записано в виде

x = (tтАФt₀ , х₀ , у₀), y = ψ(t тАФt₀, х₀, у₀).ВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (6)

Доказательство. Рассмотрим наряду с решением (5) решение

х = Ф(t, 0, х₀, у₀), y =Ψ (t, 0, х₀, у₀),

удовлетворяющие начальным условиям: при t=0, х=х₀, у=у₀

В силу леммы 1 функции

x = Ф (t тАФ t₀, 0, х₀, у₀), y =Ψ (tтАФ t₀ ,0, х₀ ,у₀) ВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (7)

также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t₀, x₀, у₀ . Но тогда эти решения совпадают, т. е.

Ф (t ,t₀ , х₀, у₀)= Ф (t тАФ t₀, 0, х₀, у₀)

Ψ (t , t₀, х₀ ,у₀)= Ψ (tтАФ t₀ ,0, х₀ ,у₀)

Введение обозначений

Ф (t тАФ t₀, 0, х₀, у₀)=(tтАФt₀ , х₀ , у₀),

Ψ (tтАФ t₀ ,0, х₀ ,у₀)= ψ(t тАФt₀, х₀, у₀)

устанавливает справедливость утверждения леммы.

В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀, мы всегда будем записывать в виде (6).

Лемма 4. Если решение

x = (tтАФt₀ , х₀ , у₀), y = ψ(t тАФt₀, х₀, у₀).ВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (8)

определено при значении t = t₁ , и

Ва(9) то

(tтАФt₀ , х₀ , у₀) Ва(t тАФt₁, х₀, у₀)

ψ(tтАФt₀ , х₀ , у₀) Ва(t тАФt₁, х₀, у₀)ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (10)

Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение

x =Ва(t тАФt₁, х₀, у₀), y= Ва(t тАФt₁, х₀, у₀)

являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям t₁ , х₁ , y₁. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).

Замечание. Полагая в тождествах (10) t = t₀, мы получим

x₀ = (t₀Ваt₁ , х₁ , у₁) , y₀ = ψ(t₀Ваt₁ , х₁ , у₁)

Это, очевидно, справедливо при любых t₁ , х₁ , у₁ удовлетворяющих соотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем

x₀ =Ва(t₀тАФt, х, у) , y₀ = ψ(t₀тАФt, х, у).

Лемма 5. Если система (I) является системой класса С_n , тo функции

x₀ =(tтАФt₀ , х₀ , у₀) , y₀ = ψ (tтАФt₀ , х₀ , у₀)

при всех значениях, входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеют непрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:

1) по t (или t₀) до порядка n+1 включительно,

2) по х₀ и у₀ до порядка n включительно

3). пo t (или t₀) и по х₀ и у₀тАФсодержащие по крайней мере одно дифференцирование по t (или t₀)тАФдо порядка n + 1

4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)

Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется фазовой плоскостью системы (I).

Будем в каждой точке М (х, у) области G плоскости (х, у) рассматривать вектор v с компонентами Р (х, у), Q (x, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области G векторное поле *).

В силу того, что Р (х, у) и Q (х, у) по предположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.

Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q (х, у) не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке

отлична от нуля, а синус и косинус угла Ва(x, у) между положительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями

В тех точках, в которых одновременно Р (х, у), Q (x, у).

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1)); точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x, у), Q (х, у) не равна нулю,тАФ обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М векторного поля угол Ва(x, у), непрерывен. В особой точке угол Ва(x, у) неопределен, и при стремлении Ваи Вак координатам особой точки limВаможет не существовать.

Пусть

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (11)

тАФ какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М ((t), ψ (t)), где t принимает все значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующей данному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамической системой (РЖ), или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда фазовой траекторией).

Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории.

В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение для системы дифференциальных уравнений. Система (I) в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения

Ва= F(x)

Векторное обозначение чрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа уравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только двух дифференциальных уравнении в этом обозначении нет особой необходимости, п мы не будем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различными символиками.]

Если точка М (х, у) траектории не является особой точкой векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q (х, у)) является касательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что

есть решение системы (I), имеют место тождества

ВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (12)

Но вектор с компонентами (t), Ва(t), очевидно, является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадает с вектором поля, заданного системой (I).

Рассматривая параметр t как ВлвремяВ», можно дать следующую ВлкинематическуюВ» интерпретацию системы (I): решение

можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой плоскости. В каждой точке фазовой плоскости вектор, заданный системой (I), т. е. вектор Р(х, у), Q (х, у), очевидно, равен скорости движущейся точки или Влфазовой скоростиВ». Решениям с одними и теми же начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями t₀ соответствуют движения, начинающиеся в одной и той же точке, но в различные начальные моменты ВлвремениВ» (t₀ и t*). Точка с координатами () называется также ВлизображающейВ» или ВлпредставляющейВ» точкой.

Пусть М (a,b) тАФ особая точка системы (I), так что

P(a,b)=Q(a,b)ВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (13)

Тогда, очевидно, х = a, у = b есть решение системы (I), и, следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно, также обратно, если у системы (I) есть решение

х = а, y= bВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (14)

(а и b тАФ некоторые постоянные), то точка a, b непременно является состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для нее выполняются равенства (13). Решение (14), очевидно, вследствие того, что t в него не входит, определено для всех t.

В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р (х, у) =0, Q (х, у) = 0, в основном будет использоваться термин Влсостояние равновесияВ» (а не особая точка).

Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолированным, если существует Ва> 0 такое, что в Ва-окрестности кроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия.

5. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории

Некоторые элементарные сведения о траекториях.

Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения t₀, соответствует одна и та же траектория.

В другой терминологии тАФ Влположением равновесияВ» или Влточкой покояВ».

Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t₀ (но имеющие одни и те же Начальные значения ), могут быть получены одно из другого заменой t на t + С. Но если даны два решении

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (15)

ВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (16)

причем решение (15) определено на интервале (, Т), а решение (16) тАФ на интервале (ВатАФ С, Т тАФ С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) t через t +С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.

Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только одна траектория динамической системы (1).

Доказательство. Пусть М₀ (х₀, у₀) тАФ произвольная точка области G.

Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком t существует решение, соответствующее начальным значениям t₀, x₀,

Это, очевидно, и означает, что через точку х₀, у₀ проходит хотя бы одна траектория L.

Предположим теперь, что через одну и ту же точку М₀ (х₀, у₀) области G проходят две различные траектории L и L*.

Пусть

тАФ решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t* мы имели бы

но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь

и, следовательно (см. лемму 6), траектории L и L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.

Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой t на t +С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t₀ (см. лемму 2).

Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ этой траектории соответствует значение t₀, а точке M₁ тАФ значение t₀ +. Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М₀ соответствует значение t*, то значению t* +Васоответствует точка .

Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области Вас G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях

t (< t <Ва)

В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории.

Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.

Как мы видели, х = а, y=b тогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.

Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению

не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство

Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство

т. е. одновременно

и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.

Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, ВлсамопересеченияВ», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t₁ и t₂, t₁Ваt₂ такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.

Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:

Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению

Ва(Ва< t < T),Ва ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (17)

отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t₁ и t₂ (Ва< t₁ < t₂ < T) такие, что

Тогда решение (17) определено при всех значениях

t (т. е. )

функции Ва, Ваявляются периодическими функциями t, а соответствующая траекториятАФпростой гладкой замкнутой кривой.

Доказательство. Пусть

ВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (18)

Рассмотрим наряду с решением (17) решение

ВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (19)

определенное на интервале

(ВатАФ С, Т тАФ С)

где С = t₂ тАФ t₁ (см. лемму 1).

Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t = t₁ , x = х₀ , у =у₀). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы (, Т) и (ВатАФ С, Т тАФ С) при С0 могут совпадать лишь в том случае, когда =-, Т =+.

Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t (Ва< t < ). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t (тАФВа< t < )

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (20)

где C = t₂тАФ t₁ >0. Это, очевидно, означает, что функции Ва(t) и (t)тАФ периодические функции с общим периодом 0 = t₂ тАФ t₁. Пусть

)ВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (21)

тАФ наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства

ВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (22)

Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел {} таких, что

Ваи

Очевидно, тогда при любом n и любом целом |k|

или, зафиксировав какое-нибудь t₀, можно написать

Таким образом, каждая из функции Ва(t) и (t) принимает одно и то же значение, равное соответственно Ва() и () при всех следующих значениях t

где N может быть любым целым числом, а Васколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =tВаи тогда , либо t* попадает в некоторый интервал (t₀+(k-1)Ва, t₀ +) или

(t₀тАФ(k-1)Ва, t₀ --Ва) и в силу того, что Q_n сколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых

Но тогда в силу непрерывности функций (t), (t) мы, очевидно, также имеем

Это означает, что функции (t), (t)тАФ постоянные, т. е. траектория L состояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории L могут быть получены при изменении t в уравнениях (17) от t₀ до t₀ + ₀ (t₀Ваt Ваt₀ -₀), где t₀ тАФ любое фиксированное число. Так как по самому определению ₀ есть наименьшее число,при котором выполняются равенства(22),то всяким двум значениям и t", t₀Вазаведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория L является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции Ва(t) и (t) тАФ периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число ₀ > 0, при котором выполняются равенства (22),тАФ периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть ВлсамопересеченийВ», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям t в любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.

Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.

6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R³ и геометрической интерпретации на фазовой плоскости

Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в интегральная кривая.

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства , которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве . При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:

L есть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в Ваявляется прямой х = а, у = b, параллельной оси t и проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси t эта прямая переходит сама в себя.

2) L есть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом ₀. Соответствующие интегральные кривые имеют характер Влвинтовых линийВ» с шагом ₀ и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси t на отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно ₀, и сама в себя, если С кратно ₀ (рис. 3).

3) L тАФ незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).

Рис. 3.ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Рис. 4.

Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. Влизображающая точкаВ» с координатами х = Ва(t), y= (t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае , интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t, либо при

7. Направление на траектории. Изменение параметризации

Пусть L тАФ траектория системы (I) и

х = Ва(t), y = Ва(t)

тАФ какое-нибудь соответствующее ей решение.

Мы введем на траектории L определенное направление в качестве положительного. Именно, будем считать положительным направлением на L направление в сторону возрастания t. При таком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точке траектории L совпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).

Пользуясь ВлкинематическойВ» интерпретацией, можно сказать, что положительное направление на L есть то направление, в котором точка с координатами х = Ва(t), y = Ва(t) движется по траектории при возрастании t и при котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направлением фазовой скорости.

Введенное таким образом положительное направление на L не зависит от того, какое из решений, соо

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики