Числовi характеристики системи випадкових величин та iх граничнi теореми

1. Кореляцiйний момент, коефiцiiнт кореляцii

Кореляцiйним моментом (коварiацiiю) випадкових величин Ваi Ваназиваiться математичне сподiвання добутку вiдповiдних ним центрованих величин:

Ва. (1)

Властивостi коварiацii:

	1.
	2.
	3.

Першi двi з них очевиднi, остання доводиться також легко:

Коефiцiiнтом кореляцii називаiться кореляцiйний момент нормованоi випадковоi величини:

Теорема. Для будь-яких випадкових величин , Вакоефiцiiнт кореляцii Вапричому знак рiвностi можливий тодi i тiльки тодi, коли Ваi Ваз iмовiрнiстю 1 пов'язанi лiнiйно.

Доведення. Обчислимо дисперсiю лiнiйноi комбiнацii випадкових величин Ваi Ваз довiльним коефiцiiнтом Вата врахуiмо, що з властивостей дисперсii вона i невiд'iмною.

При цьому отримаiмо невiдтАЩiмну квадратичну форму вiдносно змiнноi Ваз невiдтАЩiмним коефiцiiнтом при .

Це можливо лише за умови, що ii дискримiнант . З урахуванням визначення (1) цю нерiвнiсть можна переписати у виглядi:

або

або мовою середнiх квадратичних вiдхилень випадкових величин

Тобто

Доведемо тепер другу частину теореми: Ватодi i тiльки тодi, коли Ваi Ваз iмовiрнiстю 1 пов'язанi лiнiйно.

Необхiднiсть:

Достатнiсть:

, , ,

, .

Випадковi величини x,h називаються некорельованими, якщо iх коварiацiя дорiвнюi нулю. Якщо випадковi величини x, h незалежнi, то вони некорельованi.

Зворотне твердження, взагалi кажучи, не маi мiсця.

Наприклад,

Для опису зв'язкiв, що iснують мiж проекцiями випадкового вектора (x,h), крiм коварiацii Ваможна використовувати числовi характеристики умовних законiв розподiлу , .

Умовним середнiм значенням Ваi умовною дисперсiiю Вавипадковоi величини x за умови h =y називаються величини:

Аналогiчно визначаються характеристики Ваi .

Для опису випадкового вектора також вводять початковi i центральнi моменти:

, .

2. Комплексна випадкова величина, характеристичнi функцii

Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою , i iншим способом опису випадкового вектора (,).

Випадковi величини Ваi Ваназиваються незалежними, якщо незалежними i випадковi вектори (,) i (,).

Характеристичною функцiiю випадковоi величини Ваназиваiться середнi значення виразу .

Функцiю Ваназивають також характеристичною функцiiю вiдповiдного закону розподiлу:

Ва(2)

Як видно з (2), характеристична функцiя Ваi перетворенням Фур'i вiдповiдноi iй щiльностi iмовiрностi:

Властивiсть 1. При додаваннi незалежних випадкових величин iхнi характеристичнi функцii перемножуються.

Властивiсть 2. Розкладання характеристичноi функцii в ряд за ступенями Вадозволяi знайти всi моменти , , ,тАжвипадковоi величини .

3. Види збiжностi випадкових величин

Послiдовнiсть випадкових величин x₁, x₂тАжназиваiться такою, що збiгаiться з випадковою величиною x в розумiннi середнього квадратичного, якщо границя математичного сподiвання квадрата абсолютного значення вiдхилення Вавiд Вапрямуi до нуля за умови, що , тобто

Величина x називаiться ще СК границею послiдовностi {x_n}.

Вачи .

Оскiльки

СК збiжнiсть рiвносильна виконанню умов:

Послiдовнiсть випадкових величин Вазбiгаiться з випадковою величиною Вапри Ваза iмовiрнiстю, якщо для кожного будь-якого e>0

Збiжнiсть послiдовностi Вадо випадковоi величини Ваза ймовiрнiстю символiчно позначаiться таким чином:

Для будь-якоi випадковоi величини Вапри будь-якому e>0

Наслiдок.

Зi збiжностi у СК випливаi збiжнiсть за ймовiрнiстю.

4. Граничнi теореми теорii ймовiрностей

Нерiвнiсть Чебишева.

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (3)

Як випливаi з нерiвностей (3) зi зменшенням дисперсii , основна частина площi пiд кривоi f_x(x) виявляiться зосередженою в околi точки .

Рисунок 1

Внаслiдок своii загальностi нерiвнiсть Чебишева даi дуже грубу оцiнку ймовiрностi, що входить до неi.

Наприклад, .

, якщо .

Вважають, що послiдовнiсть функцiй розподiлу , , ,.., ,.. збiгаiться до функцii розподiлу , якщо

в усiх точках неперервностi.

Якщо , то .

Практичне використання теорii ймовiрностей засновано на такому принципi: випадкову подiю, ймовiрнiсть якоi досить близька до 1, можна вважати достовiрною та неможливою при дуже малiй ймовiрностi.

Теореми, що забезпечують виконання такоi схеми обробки даних, називаються законами великих чисел.

Теорема Чебишева

Нехай h₁, h₂тАжтАУпослiдовнiсть попарно незалежних випадкових величин, дисперсii яких обмеженi

, k=1,2 тАж

Тодi при будь-якому e>0

Теорема Бернуллi.

Нехай x_n тАУ число появ деякоi подii А в серii з n незалежних iспитiв, р тАУ ймовiрнiсть появи А в окремому iспитi.

Тодi

тобто для кожного e>0

Застосовуючи теорему Чебишева, одержимо формулу, що очiкуiмо при необмеженiй кiлькостi випробувань.

Вор.

Збiг теоретичних розрахункiв iз закономiрностями, що фактично спостерiгаються, свiдчить про правильну схему побудови теорii ймовiрностей. збiжнiсть випадковий величина ймовiрнiсть

Центральна гранична теорема.

Нехай x₁,x₂,тАжпослiдовнiсть незалежних випадкових величин, що мають дисперсiю D₁,D₂,тАжD_nтАжТретi абсолютнi центральнi моменти iх обмеженi m_k=M|x_k-Mx_k|³£C.

Тодi випадкова величина