Уравнения, содержащие параметр
В настоящее время различные задачи с параметрами тАУ это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.
Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.
Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.
Я поставила перед собой следующие задачи:
1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.
2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.
3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.
В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:
1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;
2) решение линейных уравнений с модулем;
3) решение квадратных уравнений.
уравнение параметр неизвестное модуль
1. Знакомство с параметрами
Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы тАУ параметрами.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:
1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором тАУ недопустимым. 
Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).
К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения 
Вапереходят к у равнению 
; при m=
записывают единственное решение 
. Но ведь при m= -1 тАУ бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
1) a=1, тогда уравнение принимает вид 
Ваи не имеет решений;
2) при а=-1 получаем 
и, очевидно, х любое;
3) при 
.
Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 Вах любое, при 
.
Пример 2. Решить уравнение 
Очевидно, что 
, а 
, то есть х=b/2, но 
, то есть 2
b/2, b4.
Ответ: при b4 х=b/2; при b=4 нет решений.
Пример 3. При каких а уравнение 
Ваимеет единственное решение?
Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку тАУ считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а тАУ 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 
, 
, а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение тАУ это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
При 
Вауравнение имеет единственное решение 
, которое будет: положительным, если Ва
Ваили Ва
; нулевым, еслиВа 
; отрицательным, еслиВа 
ВаилиВаВа 
.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение 
; найти при каких а корни больше нуля.
Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: 
Ваили а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 
Ваа=х+1
Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.
Таким образом, при а1 и а0 Вах=а-1 и это корень больше нуля при а>1.
Ответ: при а<0 Вах=а-1; при 
Варешений нет, а при a>1 корни положительны.
Пример 2. Решить уравнение 
Ва(1).
Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых 
.
Приведём уравнение к простейшему виду:
9х-3k=kx-12
(9 тАУ k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:
Подставив в (2) 
, получим:
.
Если подставим 
, то получим так же 
.
Таким образом, при Вауравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. Ва- это недопустимые значения параметра k для (1). При Вамы можем решать только уравнение (2).
1. Если 
, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение 
, которое будет:
а) положительным, если 
, при 4: 
;
б) нулевым, если 
;
в) отрицательным, если 
Ваи k>9 с учётом
, получаем 
.
2. Если 
, то уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: а) Вапри Ваи 
, причём х>0 для 
; x=0 при k=4; x<0 при 
;
б) при 
уравнение не имеет решений.
1.2 Решение линейных уравнений с модулем
Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.
Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:
Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.
Так как, по определению модуля, |x-2|
, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.
Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.
Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 Вах=2, при b>0 Вах=2+b и x=2-b.
Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:
1) a
;
2) 4
.
1. Первый интервал:
;
Второй интервал:
, т.е. если а<4, то 
.
Третий интервал:
ВаВаВаВаВаВаа=4, т.е. если а=4, то 
.
2. Первый интервал:
ВаВаВаВаа=4, 
.
Второй интервал:
ВаВаВаВаa>4,т.е. если 4<а, то
Третий интервал:
Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 Ва
.
Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|тАУ a| x тАУ 1| =4.
Рассмотрим 3 промежутка: 1) 
, 2) 
, 3) 
Ваи решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1. , Ва
.
При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень 
. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< тАУ 3, т.е. 
, 
, 
, 
. Следовательно, исходное уравнение на x< тАУ 3 имеет один корень Вапри , а на остальных а корней не имеет.
2. . 
.
При а= тАУ 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке . Если а1, то уравнение имеет один корень х=1.
3. . 
.
При а=1 решением является любое число, но мы решаем на . Если а1, то х=1.
Ответ: при ; при а= тАУ 1 Ваи при а1 х=1; при а=1 Ваи при а1 Вах=1.
1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, что квадратное уравнение тАУ это уравнение вида 
, где а, b и с тАУ числа, причем, а0.
Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения 
:
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.
в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:
1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.
2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.
Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение 
: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.
Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:
При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.
Пример2. Решить уравнение 
При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.
При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня 
=-1.
При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня
Ва;Ва 
.
Ответ: Ваи Вапри a<1, но а0;Ва х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.
Пример3. Корни уравнения 
Ватаковы, что 
. Найдите а.
По теореме Виета 
Ваи 
. Возведём обе части первого равенства в квадрат: 
. Учитывая, что 
, а 
, получаем: 
Ваили 
, 
. Проверка показывает, что все значения 
Ваудовлетворяют условию.
Ответ: 
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.
1. Определить значения k, при которых корни уравнения 
Ваположительны.
Сразу можно выделить, что 
, 
, из этого следует, что при 
Вауравнение не имеет смысла.
В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:
Итак, мы выяснили, что 
.
Выразим х: 
. Х будет больше нуля, если 
.
Учитывая, что , 
, 
. Ответ: , .
2. При каких значениях а уравнение 
Ваимеет равные корни?
Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:
Ответ: при а=2 и а=2/35.
3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.
1) х+3=0ВаВаВаВаВаВаВаВа Ва2) х+4=0
х= тАУ 3ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа х= тАУ 4 .
х+3ВаВаВаВа ВатАУВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа тАУВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ва+
х+4ВаВаВаВа ВатАУВаВаВаВаВаВа Ва-4ВаВаВа +ВаВаВаВа -3ВаВаВаВа Ва+
Рассмотрим 3 промежутка.
1. 
а(-(х+3)+2(-(х+4)=2
-ах тАУ 3а тАУ2х тАУ 8=2
х(- а тАУ 2)=10+3а Ва(при а- 2)
.
Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток .
Следовательно, на промежутке Вауравнение имеет единственный корень 
Вапри 
.
2. 
.
Ва=> При а2Ва х= -3
При а=2 Ва
.
3. 
=> При аВа-2 х= -3
При а= -2 Ва
.
Ответ: 1. при
2. при а2Ва х= -3
при а=2 Ва.
3. при аВа-2 х= -3
при а= -2 Ва.
Заключение
Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.
Конечно, не все далось сразу и легко тАУ чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Актуальные проблемы квантовой механики