Поверхневi iнтеграли

ПОВЕРХНЕВРЖ РЖНТЕГРАЛИ

1. Поверхневi iнтеграли першого роду

Поверхневi iнтеграли першого роду i узагальненням подвiйних iнтегралiв.

Нехай у точках деякоi кусково-гладкоi поверхнi Вавизначена обмежена функцiя . (Поверхня називаiться гладкою, якщо в кожнiй ii точцi iснуi дотична площина i при переходi вiд точки до точки положення цiii дотичноi площини змiнюiться неперервно. Поверхня, яка складаiться iз скiнченного числа неперервно зтАЩiднаних гладких поверхонь, називаiться кусково-гладкою.) Розiб'iмо поверхню Вана Вадовiльних частин Вабез спiльних внутрiшнiх точок (рис. 1); нехай ВатАУ площа, а ВатАУ дiаметр частини поверхнi . У кожнiй частинi Вавиберемо довiльну точку Ваi складемо суму

.(1)

Рисунок 1 тАУ Поверхня

Цю суму називають iнтегральною сумою для функцii Вапо поверхнi .

Якщо при Ваiнтегральнi суми (1) мають скiнченну межу, яка не залежить нi вiд способу розбиття поверхнi , нi вiд вибору точок , цю границю називають поверхневим iнтегралом першого роду вiд функцii Вапо поверхнi Ваi позначають .

Таким чином, за означенням

.(2)

У цьому разi функцiя Ваназиваiться iнтегровною по поверхнi , а поверхня ВатАУ областю iнтегрування.

Якщо функцiя Ванеперервна на поверхнi , то вона iнтегровна по .

Обчислення поверхневого iнтеграла першого роду зводиться до обчислення подвiйного iнтеграла.

Нехай гладка поверхня , задана рiвнянням , проектуiться на площину Вав область . Припустимо, що функцiя Ванеперервна на поверхнi , а функцii Ванеперервнi в областi .

Внаслiдок розбиття поверхнi Вана частини Ваобласть Варозiб'iться на частини , якi i вiдповiдними проекцiями частин Вана площину Ва(рис. 2).

Рисунок 2 тАУ Розбиття поверхнi Вана частини

Якщо ВатАУ площа областi , ВатАУ площа поверхнi , то

тому iнтегральну суму (1) можна записати у виглядi

.(3)

Права частина цiii рiвностi i iнтегральною сумою для функцii

тому з рiвностей (2) i (3) випливаi, що

.(4)

Формула (4) виражаi поверхневий iнтеграл першого роду через подвiйний iнтеграл по проекцii поверхнi Вана площину .

Аналогiчно можна отримати формули, що виражають iнтеграл по поверхнi Вачерез подвiйнi iнтеграли по ii проекцiях на площини Вата . Якщо поверхня Вазадаiться рiвнянням Ваабо , то

де Вата ВатАУ проекцii поверхнi Вана координатнi площини Вата Вавiдповiдно.

Якщо у формулi (2) покласти Вана поверхнi , то отримаiмо

,(5)

де ВатАУ площа поверхнi , тобто за допомогою поверхневого iнтеграла першого роду можна обчислювати площi поверхонь.

Крiм того, поверхневi iнтеграли першого роду застосовують при обчисленнi маси, координат центра маси, моменту iнерцii матерiальноi поверхнi з вiдомою поверхневою густиною розподiлу маси. Виведення вiдповiдних формул по сутi не вiдрiзняiться вiд виводу аналогiчних формул для матерiальноi пластинки.

Якщо на кусково-гладкiй поверхнi Варозподiлено масу з поверхневою густиною , то:

а) маса матерiальноi поверхнi

;

б) координати центра маси поверхнi:

де ВатАУ статичнi моменти поверхнi Вавiдносно осей ;

в) моменти iнерцii поверхнi вiдносно осей координат i початку координат:

2. Поверхневi iнтеграли другого роду

Введемо поняття сторони поверхнi. Вiзьмемо на гладкiй поверхнi Вадовiльну точку , проведемо в нiй нормаль Вапевного напряму i розглянемо на поверхнi Вадовiльний замкнений контур, який виходить з точки Ваi повертаiться в точку , не перетинаючи при цьому межi поверхнi . Перемiщатимемо точку Вапо замкненому контуру разом з вектором Ватак, щоб вектор Вавесь час залишався нормальним до . При обходi заданого контуру ми можемо повернутися в точку Ваз тим самим або з протилежним напрямом нормалi.

Якщо у довiльну точку Ваповерхнi Вапiсля обходу довiльного замкненого контуру, розмiщеного на поверхнi , який не перетинаi ii межу, ми повертаiмося з початковим напрямом нормалi , то поверхню називають двосторонньою.

Якщо при обходi деякого контуру напрям нормалi змiнюiться на протилежний, то поверхню називають односторонньою.

Прикладами двостороннiх поверхонь i площина, сфера, довiльна замкнена поверхня без самоперетинiв, довiльна поверхня, задана рiвнянням , де ВатАУ функцii, неперервнi в деякiй областi Ваплощини .

Прикладом односторонньоi поверхнi i так званий лист Мебiуса (рис. 3).

Рисунок 3 тАУ Лист Мебiуса

Модель цiii поверхнi можна отримати, якщо прямокутну полоску паперу, перекрутивши один раз, склеiти так, щоб точка Вазбiгалася з , а точка ВатАУ з .

Двосторонню поверхню називають орiiнтовною, а вибiр певноi ii сторони орiiнтацiiю поверхнi. Направивши в кожнiй точцi замкненоi поверхнi нормаль всередину об'iму, обмеженого поверхнею, отримаiмо внутрiшню сторону поверхнi, а направивши нормаль зовнi поверхнi-зовнiшню ii сторону. Надалi розглядатимемо двостороннi поверхнi. Одностороннi поверхнi неорiiнтовнi.

Нехай ВатАУ орiiнтовна (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром , який не маi точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру , при якому спостерiгач, розмiщений так, що напрям нормалi збiгаiться з напрямом вiд нiг до голови при русi, залишаi поверхню злiва вiд себе (рис. 4).

Рисунок 4 тАУ Орiiнтовна поверхня

Протилежний напрям обходу називаiться вiд'iмним. Якщо змiнити орiiнтацiю поверхнi на протилежну, то додатний i вiд'iмний напрями обходу контуру Вапомiняються мiсцями.

З'ясуiмо тепер поняття поверхневого iнтеграла другого роду.

Нехай ВатАУ гладка поверхня, задана рiвнянням Ваi ВатАУ обмежена функцiя, визначена в точках поверхнi . Зорiiнтуiмо поверхню . Розiб'iмо ii довiльно на Вачастин. Позначимо через Вапроекцiю -i частини поверхнi Вана площину , а через ВатАУ площу , взяту iз знаком плюс, якщо обрана зовнiшня сторона поверхнi , та iз знаком мiнус, якщо обрана внутрiшня сторона поверхнi . Виберемо в кожнiй частинi Вадовiльну точку Ваi складемо суму

.(6)

Вираз (6) називаiться iнтегральною сумою. Нехай ВатАУ максимальний дiаметр поверхонь .

Якщо при Ваiнтегральнi суми (6) мають скiнченну границю, яка не залежить нi вiд способу розбиття поверхнi , нi вiд вибору точок , то цю границю називають поверхневим iнтегралом другого роду i позначають так: . Отже, за означенням

.(7)

З означення поверхневого iнтеграла другого роду випливаi, що при змiнi сторони поверхнi на протилежну iнтеграл змiнюi знак, бо змiнюi знак .

Поверхню Ваможна також проектувати на координатнi площини Вата . Тодi матимемо ще два поверхневi iнтеграли , де ВатАУ функцii, визначенi в точках поверхнi .

Оскiльки Ва(рис. 5),

Рисунок 5 тАУ Проекцiя поверхнi Вана координатну площину

де ВатАУ елемент площi поверхнi ВатАУ кути мiж нормаллю до поверхнi Вата осями Вавiдповiдно, то справедливi такi формули:

На практицi найпоширенiшими i поверхневi iнтеграли, якi об'iднують усi названi, тобто

.(8)

Якщо, наприклад, вектор Ваi швидкiстю рiдини, то кiлькiсть Варiдини, яка протiкаi через поверхню Ваза одиницю часу, називаiться потоком вектора Вачерез поверхню Ваi знаходиться за формулою:

У цьому полягаi фiзичний змiст поверхневого iнтеграла другого роду. Зрозумiло, коли вектор Вамаi iншу природу, поверхневий iнтеграл маi iнший фiзичний змiст.

Формула (8) виражаi загальний поверхневий iнтеграл другого роду через поверхневий iнтеграл першого роду.

Поверхневi iнтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвiйних iнтегралiв.

Нехай функцiя Ванеперервна в усiх точках гладкоi поверхнi , яка задана рiвнянням , де область ВатАУ проекцiя поверхнi Вана площину . Виберемо верхню сторону поверхнi , де нормаль до поверхнi утворюi з вiссю Вагострий кут, тодi . Оскiльки , то суму (6) можна записати у виглядi

. (9)

У правiй частинi рiвностi (9) мiститься iнтегральна сума для функцii . Ця функцiя неперервна в областi , тому iнтегрована в нiй.

Перейшовши в рiвностi (9) до границi при , отримаiмо формулу

яка виражаi поверхневий iнтеграл другого роду по змiнних Ваi Вачерез подвiйний. Якщо вибрати нижню сторону поверхнi (нормаль до поверхнi утворюi з вiссю Ватупий кут), то одержаний подвiйний iнтеграл беруть iз знаком ВлмiнусВ», тому

.(10)

Аналогiчно

;(11)

.(12)

У формулi (11) гладку поверхню Вазадано рiвнянням , а у формулi (12) тАУ рiвнянням . Знак ВлплюсВ» беремо у цих формулах тодi, коли нормаль до поверхнi утворюi вiдповiдно з вiссю , з вiссю Вагострий кут, а знак ВлмiнусВ» тАУ коли тупий кут; , ВатАУ проекцii поверхнi Вана площини Вата Вавiдповiдно.

Для обчислення загального iнтеграла (8) використовують формули (10) тАУ (12), проектуючи поверхню Вана всi три координатнi площини. Таким чином,

Правильнiсть вибору знакiв перед подвiйними iнтегралами можна перевiрити за допомогою формули

яка визначаi одиничний нормальний вектор до поверхнi . Подвiйний знак у цiй формулi вiдповiдаi двом сторонам поверхнi . З формули (8) випливаi, що знак перед подвiйним iнтегралом збiгаiться iз знаком вiдповiдного напрямного косинуса нормалi :

Якщо поверхня Ванеоднозначно проектуiться на будь-яку координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, а iнтеграл (8) тАУ на суму iнтегралiв по одержаних частинах поверхнi .

3. Формула Остроградського-Гаусса

Формула Остроградського-Гаусса встановлюi зв'язок мiж поверхневим iнтегралом по замкненiй поверхнi i потрiйним iнтегралом по просторовiй областi, обмеженiй цiiю поверхнею. Ця формула i аналогом формули Грiна, яка, як вiдомо, встановлюi зв'язок криволiнiйного iнтеграла по замкненому контуру з подвiйним iнтегралом по плоскiй областi, обмеженiй цим контуром.

Нехай замкнена область Ваобмежена замкненою поверхнею , причому знизу та зверху обмежена гладкими поверхнями Вата , рiвняння яких Вата Ва(рис. 7).

Рисунок 7 тАУ Замкнена область

Припустимо, що проекцiiю областi Вана площину Ваi область . Нехай в областi Вавизначено неперервну функцiю , яка в цiй областi маi неперервну похiдну .

Розглянемо потрiйний iнтеграл

У правiй частинi цiii рiвностi перший подвiйний iнтеграл запишемо за допомогою поверхневого iнтеграла по зовнiшнiй сторонi поверхнi , а другий подвiйний iнтеграл тАУ по зовнiшнiй сторонi поверхнi . Враховуючи кути мiж нормаллю Вата вiссю , отримуiмо

.(13)

Аналогiчно, припустивши, що функцii , Ванеперервнi в областi , можна отримати формули

,(14)

.(15)

Додавши почленно рiвностi (13), (14) i (15), отримаiмо формулу

,(16)

яку називають формулою Остроградського-Гаусса. Ця формула справедлива i для довiльноi областi , яку можна розбити на скiнченне число областей, для яких виконуються рiвностi (13) тАУ (15).

За допомогою формули Остроградського-Гаусса зручно обчислювати поверхневi iнтеграли по замкнених поверхнях.

4. Формула Стокса

Формула Стокса встановлюi зв'язок мiж поверхневим i криволiнiйним iнтегралами. Нехай ВатАУ поверхня, задана рiвнянням , причому функцii ВатАУ неперервнi в областi ВатАУ проекцii поверхнi Вана площину ; ВатАУ контур, який обмежуi , а ВатАУ проекцiя контуру Вана площину , тобто ВатАУ межа областi .

Виберемо верхню сторону поверхнi Ва(рис. 8).

Рисунок 8 тАУ Поверхня

Якщо функцiя Ванеперервна разом iз своiми частинними похiдними першого порядку на поверхнi , то справедлива формула

.(17)

поверхневий iнтеграл формула стокс

Доведення

Перетворимо криволiнiйний iнтеграл, який мiститься у лiвiй частинi рiвностi (17). Оскiльки контур Валежить на поверхнi , то координати його точок задовольняють рiвняння , i тому значення функцii Вау точках контуру Вадорiвнюють значенням функцii Вау вiдповiдних точках контуру . Звiдси випливаi, що

Застосовуючи до знайденого iнтеграла формулу Грiна, отримаiмо

Тут пiдiнтегральна функцiя дорiвнюi частиннiй похiднiй по Вавiд складеноi функцii .

Оскiльки ВатАУ верхня сторона поверхнi, тобто Ва(ВатАУ гострий кут мiж нормаллю Вадо поверхнi Ваi вiссю ), то нормаль маi проекцii . Але напрямнi косинуси нормалi пропорцiйнi вiдповiдним проекцiям, тому