Теорiя i практика обчислення визначникiв

ТЕОРРЖЯ РЖ ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКРЖВ

1. Основнi поняття i теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами a_ij, де i визначаi номер рядка, j тАУ номер стовпця i при цьому через х_j позначенi стовпцi матрицi А, тобто

Ваi .

Визначником (det A) квадратноi матрицi А зi стовпцями х_j називаiться функцiонал j(х₁, х₂, тАж , х_n) щодо стовпцiв цiii матрицi, який:

а) лiнiйний за кожним з аргументiв (полiлiнiйний):

теорема обчислення визначник сума

j(х₁, тАж, aх_i1 + bх_i2, тАж , х_n) = aj(х₁, тАж , х_i1, тАж , х_n) + bj(х₁, тАж , х_i2, тАж , х_n);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якiй парi аргументiв): j(х₁, тАж , х_i, тАж , х_j, тАж , х_n) = тАУj(х₁, тАж , х_j, тАж , х_i, тАж , х_n);

в) пiдкоряiться умовi нормування:

Тодi, з огляду на загальний вигляд полiлiнiйного антисиметричного функцiонала, маiмо:

аВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа б

Рис. 1

, (1)

де N(j₁ j₂ тАж j_n) тАУ кiлькiсть безладiв у перестановцi .

Говорять, що в перестановцi маiться безлад, якщо j_k > j_m i k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуiмо .

Визначник третього порядку дорiвнюi сумi шести (3! = 6) доданкiв. Для побудови цих доданкiв зручно скористатися правилом трикутникiв. Добуток елементiв, що розташованi на головнiй дiагоналi, а також добутки елементiв, що i вершинами двох трикутникiв на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементiв, що розташованi на побiчнiй дiагоналi, а також добутки елементiв, що i вершинами двох трикутникiв на мал. 1б, беруться з множником тАУ1, тобто

Властивостi визначникiв:

1В°. det A = det A^T. З цiii властивостi випливаi, що рядки i стовпцi визначника рiвноправнi. У силу цього всi властивостi, сформульованi для стовпцiв, можуть бути сформульованi i для рядкiв визначника.

2В°. Якщо один зi стовпцiв визначника складаiться з нульових елементiв, то визначник дорiвнюi нулю.

3В°. Загальний множник у стовпцi визначника можна виносити за знак визначника.

4В°. Якщо у визначнику помiняти два стовпцi мiсцями, то визначник змiнить знак.

5В°. Визначник, що маi два рiвних стовпцi, дорiвнюi нулю.

6В°. Якщо стовпцi визначника лiнiйно залежнi, то визначник дорiвнюi нулю.

7В°. .

8В°. Визначник не змiниться, якщо до стовпця визначника додати лiнiйну комбiнацiю iнших стовпцiв.

9В°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорiвнюi добутковi визначникiв цих матриць.

Def. Якщо в матрицi А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n тАУ 1)-го порядку. РЗi визначник називаiться мiнором (n тАУ 1)-го порядку, додатковим до елемента a_ij матрицi А, i позначаiться М_ij, а величина А_ij= (тАУ1)^{i + j} М_ij називаiться алгебраiчним доповненням до елемента a_ij матрицi А.

10В°. Ва(Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11В°.

12В°. (Теорема Лапласа).

Тут тАУ мiнор, складений з елементiв матрицi А, що розташованi на перетинi рядкiв i₁, i₂, тАж, i_k i стовпцiв j₁, j₂, тАж, j_k, а тАУ алгебраiчне доповнення до цього мiнора.

13В°. (Про змiну елементiв визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розвтАЩязування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

РозвтАЩязання. I спосiб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивiсть 10º):

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчисленi за правилом трикутникiв.

II спосiб. Обчислимо визначник розкладанням за мiнорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташованi в 1-муi 2-мурядках вихiдного визначника, властивiсть 12º). Усього таких мiнорiв буде шiсть (1-й, 2-й стовпцi; 1-й, 3-й стовпцi; 1-й, 4-й стовпцi; 2-й, 3-й стовпцi; 2-й, 4-й стовпцi; 3-й, 4-й стовпцi). Одержимо:

III спосiб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаiмося властивiстю 8В°.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (тАУ2), додамо до 4-горядка.

При цьому визначник не змiниться.

Далi: в) вiд 1-го рядка вiднiмемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збiльшиться вдвiчi за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-iй рядок помножимо на 2 i додамо до 4-го рядка. Визначник не змiниться. Одержимо:

Визначник матрицi трикутного вигляду обчислюiться як добуток дiагональних елементiв. Доходимо висновку, що вихiдний визначник дорiвнюi тАУ3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рiшення. Для обчислення визначника скористаiмося методом видiлення лiнiйних множникiв. Насамперед вiдзначимо, що вихiдний визначник i багаточленом 4-го степеня вiдносно х. Крiм того, при х = 2 перший i другий рядки спiвпадають, тобто визначник дорiвнюi нулевi. Отже, х = 2 i коренем багаточлена. Далi зауважуiмо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок спiвпадаi з третiм, четвертим i птАЩятим рядком вiдповiдно. Виходить, ми встановили всi чотири коренi полiнома, тобто

det А= C(x тАУ 2)(x тАУ 6)(x тАУ 12)(x тАУ 20).

Для знаходження C вiдзначимо, що у визначник множник х⁴ входить з коефiцiiнтом, який дорiвнюi 1/24, а в багаточлен, що стоiть в правiй частинi, тАУ з коефiцiiнтом який дорiвнюi 1. Тодi C = 1/24. У такий спосiб:

det А = (x тАУ 2)(x тАУ 6)(x тАУ 12)(x тАУ 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рiшення. Зрозумiло, що вихiдний визначник можна одержати, якщо до всiх елементiв визначника Вадодати х = 4. Тодi скористаiмося методом змiни елементiв визначника (властивiсть 13В°). Одержуiмо:

Визначник дiагонального вигляду дорiвнюi добутковi дiагональних елементiв (5! = 120). Алгебраiчнi доповнення дорiвнюють: А₁₁ = 5! = 120;

А₂₂ = 3^.4^.5 = 60; А₃₃ = 2^.4^.5 = 40; А₄₄ = 2^.3^.5 = 30 i А₅₅ = 2^.3^.4 = 24.

Решта А_ij= 0. Одержуiмо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рiшення. Розкриiмо визначник за елементами 1-го рядка:

а останнiй визначник розкриiмо за елементами 1-го стовпця. Одержуiмо:

D_n = 5D_{n тАУ 1} тАУ 4D_{n тАУ 2}. (*)

Записане спiввiдношення називаiться рекурентним спiввiдношенням i дозволяi виразити D_nчерез такi ж визначники бiльш низького порядку.

З (*) одержуiмо:

1) D_n тАУ D_{n тАУ 1}= 4(D_{n тАУ 1} тАУ D_{n тАУ 2}) = 4²(D_{n тАУ 2} тАУ D_{n тАУ 3}) = тАж = 4^{n тАУ 2} (D₂ тАУ D₁) =

= 4^{n тАУ 2} (21 тАУ 5) = 4ⁿ.

2) D_n тАУ 4D_{n тАУ 1} = D_{nтАУ 1} тАУ 4D_{n тАУ 2}= D_{nтАУ 2} тАУ 4D_{n тАУ 3} = тАж = D₂ тАУ 4D₁ = 21 тАУ 4^.5 = 1.

Маiмо систему рiвнянь: . Вiднiмаючи з 1-го рiвняння 2-е, одержуiмо: 3D_{n тАУ 1} = 4ⁿ тАУ 1. У такий спосiб: .

4. Задачi i вправи для самостiйного розвтАЩязування

1. Визначити число безладiв у перестановках (за вихiдне розташування завжди, якщо немаi особливих вказiвок, приймаiться розташування 1, 2, 3, .. у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

D а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

2. З'ясувати, якi з наведених нижче добуткiв входять у визначники вiдповiдних порядкiв i, якщо входять, то з яким знаком:

а) а₄₃а₂₁а₃₅а₁₂а₅₄; б) а₁₃а₂₄а₂₃а₄₁а₅₅;

в) а₆₁а₂₃а₄₅а₃₆а₁₂а₅₄; г) а₃₂а₄₃а₁₄а₅₁а₆₆а₂₅;

д) а₂₇а₃₆а₅₁а₇₄а₂₅а₄₃а₆₂; е) а₃₃а₁₆а₇₂а₂₇а₅₅а₆₁а₄₄;

ж) а₁₂а₂₃а₃₄тАжа_{nтАУ1 n}а₂₅а_kk (1 £ k £ n); з) а₁₂а₂₃а₃₄тАжа_n-1nа_n1n.

D а) тАУ; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (тАУ1)ⁿ. ▲

3. Вибрати значення i i k так, щоб наступнi добутки входили у визначники вiдповiдного порядку iз зазначеним знаком:

а) а_1iа₃₂а_4kа₂₅а₅₃з Вл + В»; б) а₆₂а_i5а₃₃а_k4а₄₆а₂₁з Вл тАУ В»;

в) а₄₇а₆₃а_1iа₅₅а_7kа₂₄а₃₁з Вл + В».

D а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

4. Користуючись тiльки визначенням, знайти члени визначникiв, якi мають у собi множники х⁴i х³:

а) ; б) .

D а) 2х⁴, тАУх³; б) 10х⁴, тАУ5х³. ▲

5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що мiстять елемент а₃₂ i входять у визначник зi знаком Вл + В»; б) що мiстять елемент а₂₃i входять у визначник зi знаком Вл тАУ В».

D а) а₁₁а₂₄а₃₂а₄₃, а₁₃а₂₁а₃₂а₄₄, а₁₄а₂₃а₃₂а₄₁; б) а₁₁а₂₃а₃₂а₄₄, а₁₂а₂₃а₃₄а₄₁, а₁₄а₂₃а₃₁а₄₂. ▲

6. Виписати всi члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з iхньоi суми винести а₁₄а₂₃ за дужки?

D . ▲

7. Як змiниться визначник n-гопорядку, якщо всi його стовпцi записати в зворотному порядку? D Визначник помножиться на (тАУ1)^{(n(nтАУ1))/2}. ▲

8. Не розкриваючи визначникiв, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

D а) властивостi 7, 3; б) властивостi 7, 3, 5; в) властивостi 7, 3, 5; г) властивiсть 5;

д) властивiсть 5. ▲

9. Знайти мiнори елементiв а₁₃, а₂₄, а₄₃визначника .

D М₁₃ = 24; М₂₄ = тАУ 126; М₄₃ = 52. ▲

10. Знайти алгебраiчне доповнення елементiв а₁₄, а₂₃, а₄₂ визначника

D А₁₄ = 8; А₂₃ = 0; А₄₂ = тАУ 12. ▲

11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

D 8a + 15b + 12c тАУ 19d. ▲

12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

D 5a тАУ 5b тАУ 5c + 5d. ▲

13. Обчислити наступнi визначники, знижуючи iхнiй порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

D а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

14. Обчислити наступнi визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 0; б) 6; в) 0; г) тАУ2; д) тАУ27; е) тАУ27. ▲

15. Обчислити наступнi визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) тАУ7; б) 0; в) тАУ1; г) 4; д) 40; е) тАУ3. ▲

16. Обчислити наступнi визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

D а) 100; б) тАУ5; в) 1; г) 2; д) 4; е) тАУ8. ▲

17. Обчислити наступнi визначники 3^-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д)Ва;

е) .

D а) (1 тАУ e³)²; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) тАУ2(x³ + y³); д) 0; е) 0. ▲

18. Обчислити наступнi визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) тАУ7; б) 0; в) тАУ1; г) тАУ18. ▲

19. Обчислити наступнi визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) 1; б) тАУ5; в) 0; г) тАУ3. ▲

20. Обчислити наступнi визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

D а) 1; б) 48; в) 1; г) . ▲

21. Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

D а) тАУ8; б) тАУ9; в) тАУ6; г) тАУ10. ▲

22. Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) . D а) 52; б) 5. ▲

23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Dа) n!; б) 2n + 1; в) хⁿ(а₀ + а₁ + тАж + а_n); г) . ▲

24. Обчислити визначники методом видiлення лiнiйних множникiв:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Dа) (х тАУ 1)(х тАУ 2)тАж(х тАУ n +1); б) (x тАУ a тАУ b тАУ c)(x тАУ a + b + c)(x + a тАУ b + c)(x + a + b тАУ c);

в) (х² тАУ 1)(х² тАУ 4); г) x²z², вказiвка: визначник не змiниться, якщо 1-й стовпець помiняти мiсцями з 2-м стовпцем i одночасно 1-й рядок iз 2-м рядком; при х = 0 визначник дорiвнюi 0, аналогiчно по z. ▲

25. РозвтАЩязати рiвняння:

а) ; б) ;