Потрiйний iнтеграл

ПОТРРЖЙНИЙ РЖНТЕГРАЛ

1. Поняття потрiйного iнтеграла. Умови його iснування та властивостi

Схема побудови потрiйного iнтеграла така сама, як i звичайного визначеного iнтеграла та подвiйного iнтеграла.

Нехай функцiя Вавизначена в обмеженiй замкненiй областi . Розiб'iмо область Васiткою поверхонь на Вачастин , якi не мають спiльних внутрiшнiх точок i об'iми яких дорiвнюють . У кожнiй частинi Вавiзьмемо довiльну точку Ваi утворимо суму

,(1)

яка називаiться iнтегральною сумою для функцii Ваза областю . Нехай ВатАУ найбiльший з дiаметрiв областей .

Якщо iнтегральна сума (1) при Вамаi скiнченну границю, яка не залежить нi вiд способу розбиття областi Вана частини , нi вiд вибору в них точок , то ця границя називаiться потрiйним iнтегралом i позначаiться одним iз таких символiв:

Ваабо .

Таким чином, за означенням

,(2)

де ВатАУ функцiя, iнтегровна в областi ; ВатАУ область iнтегрування; Ваi тАУ змiннi iнтегрування; Ва(або ) тАУ елемент об'iму.

Якщо по тiлу Варозподiлено масу з об'iмною густиною Вав точцi , то маса Вацього тiла знаходиться за формулою

. (3)

Формула (3) аналогiчна формулi (1.8) i може розглядатися як механiчний змiст потрiйного iнтеграла, коли пiдiнтегральна функцiя невiд'iмна в областi . Якщо всюди в областi покласти , то з формули (2) випливаi формула для обчислення об'iму Ватiла :

.(4)

Потрiйний iнтеграл i безпосереднiм узагальненням подвiйного iнтеграла на тривимiрний простiр. Теорiя потрiйного iнтеграла аналогiчна теорii подвiйного iнтеграла, тому в бiльшостi випадкiв ми обмежимося лише формулюваннями тверджень i короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова iнтегровностi функцii). Якщо функцiя Ванеперервна в обмеженiй замкненiй областi , то вона в цiй областi iнтегрована.

Властивостi потрiйних iнтегралiв.

1. Сталий множник можна винести за знак потрiйного iнтеграла:

Потрiйний iнтеграл вiд суми кiлькох iнтегровних функцiй дорiвнюi сумi потрiйних iнтегралiв вiд доданкiв:

3. Якщо в областi iнтегрування , то

4. Якщо функцii Вата Вавизначенi в однiй i тiй самiй областi Ваi , то

5. (Адитивнiсть потрiйного iнтеграла.) Якщо область iнтегрування Вафункцii Варозбити на частини Ваi , якi не мають спiльних внутрiшнiх точок, то

6. (Оцiнка потрiйного iнтеграла.) Якщо функцiя Ванеперервна в обмеженiй замкненiй областi , яка маi об'iм , то

де Ваi Вавiдповiдно найменше i найбiльше значення функцii Вав областi .

7. (Середнi значення функцii.) Якщо функцiя Ванеперервна в обмеженiй замкненiй областi , яка маi об'iм , то в цiй областi iснуi така точка , що

Величина

називаiться середнiм значенням функцii Вав областi .

2. Обчислення потрiйного iнтеграла

Обчислення потрiйного iнтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до iнтегрування за кожною змiннiй окремо.

Нехай область Ваобмежена знизу i зверху поверхнями Ваi , а з бокiв цилiндричною поверхнею, твiрнi якоi паралельнi осi . Позначимо проекцiю областi Вана площину Вачерез Ва(рис. 1) i вважатимемо, що функцii Ваi Ванеперервнi в .

Рисунок 1 тАУ Область

Якщо при цьому область Ваi правильною, то область Ваназиваiться правильною у напрямi осi . Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрiшню точку Вапаралельно осi , перетинаi межу областi Вау точках Ваi . Точку Ваназвемо точкою входу в область , а точку ВатАУ точкою виходу з областi , а iхнi аплiкати позначимо вiдповiдно через Ваi . Тодi , Ваi для будь-якоi неперервноi в областi Вафункцii Вамаi мiсце формула

.(5)

Змiст формули (5) такий. Щоб обчислити потрiйний iнтеграл, потрiбно спочатку обчислити iнтеграл Ваза змiнною , вважаючи Вата Васталими. Нижньою межею цього iнтеграла i аплiката точки Вавходу , а верхньою тАУ аплiката точки виходу . Внаслiдок iнтегрування отримаiмо функцiю Вавiд змiнних Вата .

Якщо область , наприклад, обмежена кривими Ваi , де Ваi ВатАУ неперервнi функцii, тобто

, то, переходячи вiд подвiйного iнтеграла Вадо повторного (п. 1.3), отримаiмо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрiйного iнтеграла до послiдовного обчислення трьох визначених iнтегралiв. Порядок iнтегрування може бути й iншим, тобто змiннi Ваi Вау правiй частинi формули (6) за певних умов можна мiняти мiсцями.

Якщо, наприклад, область Ваправильна в напрямi осi :

де ВатАУ неперервнi функцii, то

Зокрема, якщо областю iнтегрування i паралелепiпед:

то

. (7)

У цьому разi iнтегрування виконуiться в будь-якому порядку, оскiльки область Ваправильна у напрямi всiх трьох координатних осей .

3. Замiна змiнних в потрiйному iнтегралi

Замiну змiнноi в потрiйному iнтегралi виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область Вавзаiмно однозначно вiдображуiться на область Ваза допомогою неперервно диференцiйовних функцiй , , , якобiан Вав областi Ване дорiвнюi нулю:

i ВатАУ неперервна в , то справедлива формула

. (8)

На практицi найуживанiшими i цилiндричнi та сферичнi координати. При переходi вiд прямокутних координат Вадо цилiндричних Ва(рис.4, а), пов'язаних з спiввiдношеннями

;

якобiан перетворення

З формули (8) отримуiмо потрiйний iнтеграл у цилiндричних координатах:

.(9)

Назва Влцилiндричнi координатиВ» пов'язана з тим, що координатна поверхня Ваi цилiндром, прямолiнiйнi твiрнi якого паралельнi осi .

При переходi вiд прямокутних координат Вадо сферичних

(рис. 4, б), якi пов'язанi з Ваформулами

Рисунок 4 тАУ Координати: а) цилiндричнi; б) сферичнi

;

якобiан перетворення

З формули (8) знаходимо потрiйний iнтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва Влсферичнi координатиВ» пов'язана з тим, що координатна поверхня Ваi сферою. При обчисленнi потрiйного iнтеграла в цилiндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межi iнтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змiстом нових координат. При цьому рiвняння поверхонь Вата , якi обмежують область , записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область Ваобмежена цилiндричною поверхнею Вата площинами , то всi межi iнтегрування в цилiндричнiй системi координат сталi:

i не змiнюються при змiнi порядку iнтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли ВатАУ куля: Ваабо кульове кiльце. Наприклад, якщо ВатАУ кульове кiльце з внутрiшньою сферою , то рiвняння цiii сфери в сферичних координатах маi вигляд

або

звiдки . Аналогiчно ВатАУ рiвняння зовнiшньоi сфери, тому

У випадку, коли ВатАУ куля , у цiй формулi слiд покласти . РЖнших будь-яких загальних рекомендацiй, коли необхiдно переходити до тiii чи iншоi системи координат, дати неможливо. Це залежить i вiд областi iнтегрування, i вiд пiдiнтегральноi функцii. РЖнодi потрiбно написати iнтеграл у рiзних системах координат i лише пiсля цього вирiшити, в якiй з них обчислення буде найпростiшим.

Приклад

1. Обчислити iнтеграл , якщо область Ваобмежена поверхнями Ваi .

РозвтАЩязання

Область Ваi конусом (рис. 5).

Рисунок 5 тАУ Область

Рiвняння конiчноi поверхнi, яка обмежуi область , можна записати у виглядi , а саму область Ваподати таким чином: , де ВатАУ круг радiуса Ваз центром . Тому даний потрiйний iнтеграл можна звести до послiдовного обчислення трьох визначених iнтегралiв у прямокутних координатах:

Проте зручнiше перейти до цилiндричних координат . Тодi прообраз круга Ваi прямокутник , прообраз конiчноi поверхнi тАУ плоска поверхня , а прообраз областi ВатАУ область . Якобiан переходу до цилiндричних координат дорiвнюi , пiдiнтегральна функцiя в цилiндричних координатах дорiвнюi. Зводячи потрiйний iнтеграл за областю Вадо послiдовного обчислення трьох визначних iнтегралiв, отримаiмо

Зазначимо, що розставлення меж iнтегрування в цилiндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область , а змiну цилiндричних координат в областi . Наочно видно, що в областi Вазмiнна Вазмiнюiться вiд Вадо , при кожному значеннi Вазмiнна Вазмiнюiться вiд Вадо , а для кожноi точки Ваобластi Вазмiнна Вазмiнюiться в областi Вавiд Ва(значення Вав областi ) до Ва(значення Вана конiчнiй поверхнi).

4. Деякi застосування потрiйного iнтеграла

iнтеграл потрiйний обчислення змiнний

1. Обчислення об'iмiв. Якщо деяке тiло i обмеженою i замкненою

областю , що маi об'iм , то згiдно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механiцi. Нехай ВатАУ обмежена замкнена область простору , яку займаi деяке матерiальне тiло з густиною , де ВатАУ неперервна функцiя в областi , тодi: