Властивостi лiнiйних операторiв та iх застосування при розвтАЩязаннi задач. Матриця лiнiйного оператора

КУРСОВА РОБОТА

"Властивостi лiнiйних операторiв та iх застосування при розвтАЩязаннi задач. Матриця лiнiйного оператора"

Запорiжжя 2010

1. Поняття лiнiйного оператора. Алгебраiчнi операцii над операторами

Нехай Ваi Вадва рiзних лiнiйних простору над полем комплексних чисел. Вiдображення , яке ставляi у вiдповiднiсть кожному вектору Вапростору Вадеякий вектор Вапростору , будемо називати оператором , дiючий iз Вав . Якщо Ваi образом вектора , то пишуть .

Оператор Ваназиваiться лiнiйним, якщо виконуються двi умови:

1. Ва(властивiсть адитивностi);

2. Ва(властивiсть однорiдностi);

Тут довiльно взятi вектори простору , довiльно комплексне число.

Позначимо через Вамножина всiх лiнiйних операторiв, дiючих iз Вав . Два лiнiйних оператора Ваi Вабудемо вважати рiвними, якщо для будь тАУ якого вектору Вапростору . Визначимо тепер операцiю додавання iз множини Ваi операцiю множення оператора на число. Пiд сумою двох лiнiйних операторiв Ваi Варозумiють оператор Ватакий, що для будь тАУ якого вектора Вапростору

Пiд добутком лiнiйного оператора Вана комплексне число Варозумiють оператор Ватакий, що для любого вектора Вапростору

Неважко переконатися в тому, що оператори Ваi Валiнiйнi.

Оператор Ваназиваiться нульовим, якщо для будь тАУ якого вектору Вапростору .

Щоб переконатися, що оператор Валiнiйний i, як наслiдок, належностi множинi , потрiбно показати, що для довiльно взятих векторiв Вапростору Вамають мiсце рiвностi Ваi . Так як будь тАУ якому вектору простору Ваоператор Ваставить у вiдповiднiсть вектор , то . Як наслiдок, - лiнiйний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лiнiйному оператору . Оператор тАУ Ваназиваiться протилежним оператором , якщо . Неважко перевiрити, що для довiльно взятого оператору Ваiз Ваi що Валiнiйний оператор.

Введенi на множинi Валiнiйнi операцii над ii елементами (операторами) мають такi властивостi:

1.,

2. ,

3. iснуi один лiнiйний оператор Ватакий, що для будь тАУ якого лiнiйного оператора Ваiз

4. для кожного оператора Ваiснуi iдиний оператор тАУ Ватакий, що .

РЖз перелiчених властивостей лiнiйних операцiй над елементами множиниВавипливаi, що множина Вапо вiдношенню до операцii суми операторiв i адитивною абелевою групою. Операцiя множення на число маi такi властивостi .

Всi перелiченi властивостi лiнiйних операцiй над елементами множини Вадозволяi стверджувати, що множина Ваi лiнiйним простором над полем комплексних чисел. Звiдси випливаi, що можна ставити питання про розмiрнiсть цього простору, про його базиси, пiдпросторiв.

2. Лiнiйнi перетворення (оператори) iз простору V в V

В подальшому будемо розглядати лiнiйнi оператори, дiючi iз лiнiйного простору Вав той самий простiр. Цi оператори називають також перетвореннями iз Вав .

Назвемо тотожнiм (одиничним) оператор Ватакий, що для любого вектора Вапростору . Очевидно, , , для любих . З цього випливаi, оператор ВатАУ лiнiйний i, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор ВатАУ iдиний. Дiйсно, якщо припустити що, крiм тотожного оператора Ваз , iснуi ще один тотожний оператор , тодi для будь-якого Вабудемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцiю множення операторiв. Нехай Вата ВатАУ два будь-яких лiнiйних оператора з , а ВатАУ довiльний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результатi вектор Вабуде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довiльний вектор Вапростору Вау вектор , називаiться добутком операторiв Вата Ваi позначаiться так: . За означенням добутку операторiв Ваi Вадля будь-якого вектору . Легко перевiрити, що , , де ВатАУ довiльно вибране комплексне число. З цього слiдуi, що добуток лiнiйних операторiв i лiнiйним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операцii додавання та множення лiнiйних операторiв мають наступнi властивостi

1) , 3) ,

2) , 4) .

Для iлюстрацii способу доведення цих властивостей доведемо властивiсть . Нехай ВатАУ довiльний вектор простору . Для довiльного вектору Вапростору за означенням добутку i суми операторiв маi

Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору Ваможна вказати такий лiнiйний оператор , що , то оператор Ваназивають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор ВатАУ iдиний.

Покажемо, що оператор , що маi обернений, перетворюi ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дiйсно, так як ВатАУ лiнiйний оператор, то для будь-якого . Доведене твердження справедливе для будь-якого лiнiйного оператора, в тому числi i для оператора, що маi обернений, i для оператора . Нехай Ваi . Так як оператор Вамаi обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому Вавiдповiдаi вектор , тодi на основi установлених рiвностей Ваi виходило б, що . А це заперечуi початковому фактовi, що . З цього випливаi, що припущення про те, що для деякого , невiрно, тому для будь тАУ якого .

Доведемо ще одну властивiсть оператора , що маi обернений. Такий оператор два рiзних вектора Вата Ваперетворюi у два рiзнi вектори Ваi . Дiйсно, якщо припустити противне, що iснують такi нерiвнi один одному Ваi , для яких , тодi для таких Ваi Ваабо, що те саме . За умовою оператор Вамаi обернений. За доведеною вище властивiстю такого оператора iз рiвностi Вавипливаi, що , тобто . Ми прийшли до протирiччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливаi, що будь тАУ яким двом рiзним векторам Ваi Вавiдповiдають рiзнi образи Ваi .

Оператор Ваназивають взаiмно тАУ однозначним, якщо два будь тАУ якi рiзнi вектори Ваi Вавiн перетворюi у рiзнi вектори Ваi . РЖз наведеного вище випливаi, що оператор , що маi обернений, i взаiмно тАУ однозначним. Для взаiмно тАУ однозначного оператора неважко довести таку властивiсть: якщо , то i . Покажемо, що взаiмно тАУ однозначний оператор Валiнiйно незалежнi вектори , , тАж, Ваперетворюi в лiнiйно незалежнi вектори , , тАж, . Для доведення цього твердження скористаiмося методом Влвiд противногоВ». Припустимо противне, що вектори , тАж, ВатАУ лiнiйно незалежнi. Тодi можна знайти такi не рiвню нулю числа, Ващо . Так як оператор ВатАУ лiнiйний, то .

Звiдси за властивiстю взаiмно-однозначного оператора , тобто вектори , , тАж, Вавиявляються лiнiйно залежними. Протирiччя з умовою ствердження означаi, що вектори , , тАж, Валiнiйно незалежнi.

РЖз доведеного випливаi, що будь-який вектор Вапростору Вамаi iдиний прообраз Ватакий, що . Доведемо тiльки iднiсть прообразу вектора . Дiйсно, якщо припустити, що вектор Вамаi декiлька рiзноманiтних прообразiв, наприклад, Ваi , то виявиться, що . Звiдси , маiмо , так як оператор взаiмно-однозначний. Отже, якщо оператор ВатАУ взаiмно-однозначний, то кожному вектору Вапростору Вавiн ставить у вiдповiднiсть один i тiльки один вектор . Звiдси випливаi, що взаiмно-однозначний оператор маi обернений.

Пiдводячи пiдсумок сказаному вище про властивостi оберненого i взаiмно-однозначного операторiв, сформулюiмо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лiнiйний оператор Вамав обернений необхiдно i достатньо, щоб вiн був взаiмно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лiнiйного оператора Ваназивають таку множину Вавекторiв простору , що для любого . Вiдомо, що будь-який лiнiйний оператор приводить вектор Вав , тобто , тому ядро довiльного лiнiйного оператора не i пустою множиною, так як воно завжди мiстить оператор .

Теорема 2.2. Якщо Вамiстить iдиний вектор , то оператор Ваi взаiмно-однозначним.

Доведення. Нехай - два довiльно взятих вектора лiнiйного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор Ваi взаiмно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора Ваi , такi, що , а . Тодi для цих векторiв . За умовою теореми Васкладаiться iз iдиного вектора , тобто для вектора Ваi тiльки для нього . В силу цього Вачи . Ми прийшли до протирiччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рiвних один одному векторiв Ваi Вапростору . Отже, твердження теореми вiрне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор Вамав обернений, необхiдно i достатньо, щоб .

Доведення цiii теореми основуiться на теоремах 2.1 i 2.2 про обернений оператор i ядро взаiмно-однозначного оператора.

Образом оператора Ваназиваiться множина всiх векторiв простору , кожний з яких маi прообраз, тобто якщо , то iснуi такий вектор , що . Легко побачити, що якщо Вамiстить тiльки нульовий вектор, то Ваi весь лiнiйний простiр : . Дiйсно, якщо , то оператор Ваi взаiмно-однозначним. За доведеною вище властивiстю взаiмно-однозначного оператора кожний вектор Вапростору Вамаi iдиний прообраз : , так що .

Покажемо тепер, що множина Вадля довiльного лiнiйного простору Ваi пiдпростором лiнiйного простору . Нехай Ваi ВатАУ два довiльно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай ВатАУ довiльне число. Так як , то . Таким чином, лiнiйнi операцii над будь-якими векторами множини Вадають вектори тiii ж множини, тобто ВатАУ пiдпростiр простору .

Аналогiчним способом доводиться, що множина Ватакож i пiдпростором простору .

Розмiрнiсть пiдпростору Ваназиваiться дефектом оператора. Розмiрнiсть пiдпростору Ваназиваiться рангом оператора . Для рангу оператора Вавикористовуiться одне з позначень Ваабо , для позначення дефекту оператора використовуiться символ .

Теорема 2.4. Для будь-якого лiнiйного оператора Ваiз сума розмiнностей його ядра i образу дорiвнюi розмiрностi простору , тобто або .

Теорема 2.5. Нехай Ваi - два яких-небудь пiдпростори - мiрного простору , причому . Тодi iснуi такий лiнiйний оператор , що , а .

Доведення. Нехай - розмiрнiсть пiдпростору , тобто , а ВатАУ розмiрнiсть пiдпростору . За умовою теореми . Виберемо базис - мiрного простору Ватак, щоб Вавекторiв Вабуло базисом пiдпростору . В пiдпросторi Вавiзьмемо який-небудь базис . Розглянемо лiнiйний оператор , який перетворюi вектори простору Вау вектори , а кожний з векторiв у нульовий вектор, тобто .

Оператор Вадовiльний вектор Вапростору Ваприводить у вектор , який належить пiдпростору Вапростора . Звiдси випливаi, що , тобто пiдпростiр Вамiстить образ оператора . Щоб довести, що , треба за означенням множини Вапоказати, що будь-який вектор Вапiдпростору , маi прообраз у просторi . Розглянутий лiнiйний оператор Ваперетворюi вектори Вапростору Вау вектори , тому довiльно взятий вектор Вапiдпростору Ваможна представити у виглядi . В силу лiнiйностi оператора и також того, що , вектор Ваможна представити також i в такiй формi: , де ВатАУ довiльно вибранi комплекснi числа. Останнiй вираз для довiльного вектору Ваозначаi, що вiн i образом вектора Вапростору . Таким чином, .

Покажемо тепер, що пiдпростiр Ваi ядром оператора . Нехай Ваякий-небудь вектор пiдпростору . Так як , то це означаi, що вектор Вавходить в ядро оператора . Звiдси випливаi, що пiдпростiр . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор Вапростору , що не належить пiдпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить пiдпростору . Зрозумiло, що хоча б одна iз координат Вацього вектору не рiвна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як Валiнiйно незалежнi вектори, а серед чисел Ваi вiдмiннi вiд нуля, то . Це означаi, що будь-який вектор, що не належить пiдпростору , не належить i ядру оператора . Отже, .

Теорема 2.6. Нехай Ваi ВатАУ два яких-небудь лiнiйних оператора iз множини , тодi , .

Доведення. Нехай ВатАУ довiльний вектор простору . Зрозумiло, що . Будь-який вектор Вамножини Ваза означенням добутку операторiв це вектор . Останнiй i вектором множини . З цього слiдуi, що маi мiсце включення . А це означаi, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливiсть другого. Нехай ВатАУ довiльний вектор ядра оператора , тодi , i, тому, . Це означаi, що якщо , то , тобто . Звiдси випливаi нерiвнiсть . Позначимо через Варозмiрнiсть простору . Згiдно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .

Теорема 2.7. Нехай ВатАУ розмiрнiсть простору , Ваi ВатАУ лiнiйнi оператори iз , тодi .

3. Матриця лiнiйного оператора

Нехай - деякий базис лiнiйного простору , а ВатАУ який-небудь лiнiйний оператор, дiючий iз Вав . Вектор Ваоператор Ваперетворюi в вектор . Вектори Вапростору Варозкладемо по векторах базису Вацього простору. Побудуiмо матрицю Вапорядку , стовпцi якоi складенi iз координат векторiв ,

, , .

Матриця Ваназиваiться матрицею оператора Вав базисi .

Приклад. Записати матрицю тотожного i нульового операторiв у базисi Вапростору .

РозвтАЩязок. Тотожний оператор Вабудь-який вектор простору Ваприводить в той же самий оператор. Тому . А це означаi, що матриця Ватотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисi простору . Нульовий оператор Вабудь-який вектор простору Ваперетворюi в нульовий вектор, тому матриця Вацього оператора тАУ нульова в будь-якому базисi.

РЖз сказаного вище випливаi, що в обраному базисi -мiрного простору Ваз кожним лiнiйним оператором Ваможна звтАЩязати квадратну матрицю Вапорядку . Виникаi питання: чи можна кожнiй квадратнiй матрицi Вапорядку Вапоставити у вiдповiднiсть такий лiнiйний оператор , матриця якого в заданому базисi Вапростору Васпiвпадаi з матрицею ? Стверджувальну вiдповiдь на це питання даi

Теорема 3.1. Нехай ВатАУ деяка квадратна матриця порядку . Нехай ВатАУ довiльний обраний базис -мiрного лiнiйного простору . Тодi iснуi iдиний лiнiйний оператор , який у вказаному базисi маi матрицю .

Доведення. Розглянемо лiнiйний оператор , який вектори Вабазису простору Ваперетворюi у вектори , . У базисi Ваоператор , очевидно, маi матрицю . Залишаiться довести, що i iдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крiм оператора , iснуi ще лiнiйний оператор , маючий матрицю Вав базисi . Це означаi, що , . Виберемо який-небудь вектор Вапростору Ваi розглянемо вектори Ваi . Маiмо .

Як наслiдок, що для будь-якого . Звiдси витiкаi, що . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай ВатАУ матриця лiнiйного оператора Вав базисi Вапростору . Ранг оператора Вадорiвнюi рангу його матрицi: .

Доведення. В основi доведення лежать означення рангу оператора i рангу матрицi: , ранг матрицi Вадорiвнюi рангу системи його стовпцiв.

Нехай ВатАУ який-небудь вектор - мiрного простору . Образом вектора Ваi вектор . Як бачимо, довiльний вектор образу оператора , тобто множини , представляi собою лiнiйну комбiнацiю векторiв . Отже, Ваi лiнiйною оболонкою множини векторiв . Вiдомо, що розмiрнiсть лiнiйноi оболонки дорiвнюi ранговi системи векторiв, якi вони утворюють, тому . За означенням у стовпцях матрицi Ваоператора Варозмiщенi координати векторiв Вау базисi . Отже, на основi означення рангу матрицi . Таким чином, .

Нехай Ваi Ваматрицi операторiв Ваi Вав якому-небудь базисi простору , тодi iз способу побудови цих матриць витiкаi, що матрицi операторiв Ваi , де Ваi ВатАУ довiльно взятi числа, рiвнi вiдповiдно Ваi . Доведемо справедливiсть першого твердження, як бiльш складного. Дiйсно, стовпцi матрицi оператора Вапобудованi iз координат векторiв Вау базисi Вапростору . Визначимо елементи -го стовпця цiii матрицi, тобто координати вектора . Маiмо

Звiдси видно, що довiльний елемент Ваматрицi Ваоператора дорiвнюi , тобто дорiвнюi сумi добуткiв елементiв -го рядка матрицi Вана вiдповiдний елемент -го стовпця матрицi . А це означаi, що . Твердження доведено.

РЖз доведеного твердження i теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора Васлiдуi справедливiсть таких нерiвностей для двох добуткiв квадратних матриць Ваi Ваодного порядку .

, ,

Вiдомо, що необхiдною i достатньою умовою iснування оберненого оператора для оператора , i умова , де ВатАУ розмiрнiсть простору . РЖз теореми 3.2 витiкаi, що остання умова еквiвалентна вимозi: матриця Ваоператора Ваповинна бути не виродженою.

РЖншими словами, щоб оператор Вамав обернений необхiдно i достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисi лiнiйного простору Вавиявилась не виродженою.

4. Перетворення матрицi оператора при замiнi базису

Нехай у просторi Ваобранi два базиси Ваi . Перший базис для зручностi назвемо старим, а другий тАУ новим. Координати векторiв Вау старому базисi розмiстимо у стовпцях матрицi