Дослiдження лiнiйно впорядкованого простору ординальних чисел

Курсова робота: Дослiдження лiнiйно впорядкованого простору ординальних чисел

Змiст

Введення

Роздiл 1.Вихiднi визначення

Вз1. Порядковi визначення

Вз2. Топологiчнi визначення

Роздiл 2. Лiнiйно впорядкований простiр ординальних чисел

Вз1. Цiлком упорядкованi множини i iхнi властивостi

Вз2. Кiнцевi ланцюги i iхнi порядковi типи

Вз3. Порядковий тип

Вз4. Властивостi ординальних чисел

Вз5. Простiр ординальних чисел W( 1) i його властивостi

Висновок

Список лiтератури

ВВЕДЕННЯ

ординарний число упорядкований множина

РЖдеi топологii були висловленi ще видатними математиками 19 столiття: Н. И. Лобачевским, Риманом, Пуанкаре, Кантором, Гильбертом i Бауером. Однак загальна топологiя, як неi розумiють зараз, бере початок вiд Хаусдорфа (ВлТеорiя множинВ», 1914).

Джерела теорii впорядкованих i частково впорядкованих алгебраiчних систем лежать у геометрii, функцiональному аналiзi й алгебрi.

Лiнiйно впорядкованi простори, у тому числi й лiнiйно впорядкований простiр ординальних чисел, поiднують у собi двi структури: порядкову й топологiчну. Систематичного викладу теорii простору ординальних чисел не iснуi. Цим пояснюiться актуальнiсть обраноi теми.

Цiль курсовоi роботи - дослiдження простору ординальних чисел, його порядкових i топологiчних властивостей.

РОЗДРЖЛ 1. Вихiднi визначення й теореми

Вз1. ПОРЯДКОВРЖ ВИЗНАЧЕННЯ.

Визначення 1.1. Упорядкованою множиною називаiться непуста множина Х разом iз заданим на ньому бiнарним вiдношенням порядку , що:

рефлексивно: а Ваa;

транзитивне: a Ваb Ваc Ваa Ваc;

антисиметричне: a Ваb Ваa Ваa = b ( для будь-яких a, b, c X ).

Елементи впорядкованоi множини називаються порiвнянними, якщо

а < b, a = b або b < a.

Зауваження: по визначенню будемо вважати, що a < b, якщо a Ваb i a Ваb.

Визначення 1.2. Упорядкована множина називаiться лiнiйно впорядкованим, або ланцюгом, якщо будь-якi його два елементи порiвняннi.

Визначення 1.3. Елемент а впорядкована множина Х називаiться найменшим (найбiльшим) елементом множини А Х, якщо а А и а Вах

(х Ваа) для будь-якого х А.

Визначення 1.4. Елемент а впорядкована множина Х називаiться мiнiмальним (максимальним) елементом множини А Х, якщо в А немаi елементiв, менших (бiльших) а, тобто якщо х Ваа (а Вах) для деякого х , те х = а.

Визначення 1.5. Нехай А тАУ непуста пiдмножина лiнiйно впорядкованоi множини Х. Елемент а з Х називаiться верхньоi (нижньоi) гранню множини А, якщо вiн бiльше (менше) будь-якого елемента з А.

Визначення 1.6. Якщо множина А маi хоча б одна верхню (нижню) грань, те А називаiться обмеженим зверху (обмеженим знизу).

Визначення 1.7. Множина А називаiться обмеженим, якщо воно обмежено й зверху й знизу.

Визначення 1.8. Точною верхньою гранню множини А називаiться найменший елемент множини всiх верхнiх граней множини А. Позначаiться sup A.

Визначення 1.9. Точною нижньою гранню множини А називаiться найбiльший елемент множини всiх нижнiх граней множини А. Позначаiться inf A.

Визначення 1.10. Нехай > - лiнiйно впорядкована множина, що мiстить, принаймнi, два елементи. Для а, b X, a < b покладемо

(a, b) = {x X: a < x < b}. Такi множини будемо називати iнтервалами в Х. Множина [a, b] = { x X : a Ваx Ваb} називаiться вiдрiзком у Х.

Визначення 1.11. Упорядкована множина називаiться цiлком упорядкованим, якщо кожне його непуста пiдмножина маi найменший елемент.

Визначення 1.12. Нехай М и М1 тАУ упорядкованi множини й нехай f тАУ взаiмно однозначне вiдображення М на М1. Вiдображення зберiгаi порядок, якщо з того, що a Ваb ( a, b M ), треба, що f (a) Ваf (b) (у М1). Вiдображення f називаiться iзоморфiзмом упорядкованих множин М и М1, якщо спiввiдношення f (a) Ваf (b) виконано в тiм i тiльки в тому випадку, якщо a Ваb. При цьому множини М и М1 називаються iзоморфними мiж собою.

Вз2. ТОПОЛОГРЖЧНРЖ ВИЗНАЧЕННЯ

Визначення 1.13. Топологiчним простором називаiться пара (Х, ), що складаiться iз множини Х и деякого сiмейства Вапiдмножин множини Х, що задовольняi наступним умовам:

множина Х и Æ належать Ва;

перетинання кiнцевого числа множин з Ваналежать ;

об'iднання будь-якого числа множин з Ваналежить .

Умови 1 тАУ 3 називаються аксiомами топологiчного простору, його елементи тАУ крапками простору. Пiдмножини множини Х, що належать сiмейству , називаються вiдкритими в Х. Сiмейство Вавiдкритих пiдмножин простору Х називаiться також топологiiю на Х.

Визначення 1.14. Замкнутою множиною називаiться множина, що i доповненням до вiдкритого.

Визначення 1.15. Околицею крапки х топологiчного простору називаiться будь-яка вiдкрита множина U, що мiстить х.

Визначення 1.16. Топологiчний простiр Х називаiться компактним, якщо з будь-якого його покриття вiдкритими множинами можна видiлити кiнцеве пiд покриття.

Визначення 1.17. Топологiчний простiр Х називаiться компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х маi непусте перетинання.

Визначення 1.16 i 1.17 рiвносильнi ([5]).

Визначення 1.18. Простiр Х називаiться локально компактним, якщо кожна крапка маi околицю, замикання якоi компактно.

Визначення 1.19. Топологiчний простiр Х називаiться розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового вiдкритого покриття простору Х можна вибрати кiнцеве пiдпокриття.

Визначення 1.20. Топологiчний простiр Х називаiться розрахункове компактним, якщо кожне його нескiнченна пiдмножина мiстить хоча б одну граничну крапку.

Визначення 1.19 i 1.20 рiвносильнi ([5]).

Визначення 1.21. Простiр Ваназиваiться компактификацiiю топологiчного простору Х, якщо:

1) Вакомпактно;

2) Х тАУ пiдпростiр ;

3) Х щiльно в.

Визначення 1.22. Топологiчний простiр Х називаiться Т 1-простором, якщо для кожноi пари рiзних крапок х1, х2 iснуi вiдкрита множина , таке, що х1 i х2 .

Визначення 1.23. Якщо будь-якi двi рiзнi крапки х и в топологiчного простору Х мають непересiчнi околицi, то простiр Х називаiться хаусдорфовим простором або Т 2-простором.

Визначення 1.24. Топологiчний простiр Х називаiться регулярним простором, або Т 3-простором, якщо Х i Т 1-простiр i для будь-якого Вай кожного замкнутоi множини , такого, що , iснують вiдкритi множини U1 i U2, такi, що 1, 2 i U1 U2 = Æ.

Визначення 1.25. Топологiчний простiр Х називаiться тихоновським простором, або Т3 - простором, якщо Х i Т 1-простiр i для будь-якого Вай будь-якого замкнутоi множини , такого, що , iснуi безперервна функцiя f: , така, що f(x)=0 i f(y)=1 для .

Визначення 1.26. Топологiчний простiр Х називаiться нормальним, або Т 4-простором, якщо для кожноi пари непересiчних замкнутих множин А и В iснують непересiчнi вiдкритi множини U i V такi, що А U, B V.

РОЗДРЖЛ 2. Лiнiйно впорядкований простiр ординальних чисел

Вз1. ЦРЖЛКОМ УПОРЯДКОВАНРЖ МНОЖИНИ РЖ РЗХНРЖ ВЛАСТИВОСТРЖ

Розглянемо цiлком упорядкованi множини i iхнi властивостi.

Пропозицiя 1.1. Усяка пiдмножина цiлком упорядкованоi множини саме i цiлком упорядкована множина (очевидно).

Пропозицiя 1.2. Якщо f тАУ iзоморфiзм цiлком упорядкованоi множини А в себе, то для будь-якого елемента х А виконуiться нерiвнiсть f (x) x. (1)

Доказ.

Будемо доводити методом вiд противного й припустимо, що в А i елементи х, не задовольняючiй нерiвностi (1). Тодi серед цих елементiв i найменший, тому що А i цiлком упорядкованим. Позначимо його через х1 : f (x1)

Таким чином, одержали наступнi нерiвностi: х0 < x1 i f (x0) < x0 . Цi нерiвностi суперечать визначенню елемента х1, як найменшого з елементiв х множини А, не задовольняючiй умовi f (x) < x. :

Визначення 2.1. Початковим вiдрiзком, що вiдтинаiться елементом а А вiд лiнiйно впорядкованоi множини А, називаiться множина Аа = {x | x ВаA, x < a}.

Пропозицiя 1.3. Нехай АтАЩ тАУ довiльна пiдмножина цiлком упорядкованоi множини А. Тодi множина А не iзоморфно нiякому вiдрiзку множини АтАЩ.

Доказ:

Будемо доводити методом вiд противного й припустимо, що iснуi iзоморфiзм цiлком упорядкованоi множини А в деякий вiдрiзок АхтАЩ пiдмножини АтАЩ А. Тодi f (x) ВаAxтАЩ. Отже, f (x) < x тАУ протирiччя iз пропозицiiю 1.2. ■

Наслiдок 1.4. Два рiзних вiдрiзки цiлком упорядкованоi множини не можуть бути iзоморфнi мiж собою.

Доказ.

Нехай Ах i Агов тАУ два рiзних вiдрiзки цiлком упорядкованоi множини А. Тому що Ах i Агов рiзнi, а множина А тАУ цiлком упорядкована, те х и в порiвняннi, при цьому х в. Нехай для визначеностi x < y. Тодi Ах тАУ вiдрiзок множини Агов i за пропозицiiю 1.3 Ах i Агов не можуть бути iзоморфними. :

Пропозицiя 1.5. РЖснуi не бiльше одного iзоморфiзму однiii цiлком упорядкованоi множини на iнше.

Доказ.

Будемо доводити методом вiд противного й припустимо, що f i g тАУ два рiзних iзоморфiзми цiлком упорядкованоi множини А на цiлком упорядковану множину В. Тому що f i g рiзнi, то iснуi а А: b = f (a) ВаbтАЩ = g (a). Нехай для визначеностi b < bтАЩ. При всякому iзоморфiзмi f множини А на множину У вiдрiзок Ах ВаА переходить у вiдрiзок Ву ВаВ, де в = f (х). Тому вiдрiзок Аа А подiбний до вiдрiзкiв

Вb ВаУ и ВbтАЩ ВаB, тобто Bb iзоморфний Aa i Аа iзоморфний ВbтАЩ. Отже, вiдрiзок Вb iзоморфний вiдрiзку BbтАЩ , але це суперечить наслiдку 1.4. ■

Визначення 2.2. Якщо для елемента а ВаА iснуi елемент а' =

= inf {x | a < x, x ВаA}, те а' називаiться безпосередньо наступним за а.

Пропозицiя 1.6. Якщо А тАУ цiлком упорядкована множина, то в кожного елемента множини А, крiм найбiльшого, i безпосередньо наступний за ним елемент.

Доказ.

Вiзьмемо деякий елемент а А, нехай а не i найбiльшим елементом. Розглянемо множину {x | x ВаA, x > а}. За пропозицiiю 1.1 воно маi найменший елемент а', що i точною нижньою гранню розглянутоi множини. Отже, а' треба за а. :

Вз2. КРЖНЦЕВРЖ ЛАНЦЮГИ РЖ РЗХНРЖ ПОРЯДКОВРЖ ТИПИ

Пропозицiя 2.1. Множина з n елементiв можна лiнiйно впорядкувати n! способами.

Доказ.

Для доказу досить застосувати формулу числа перестановок для n-елементноi множини: Рn=n! :

Пропозицiя 2.2. Будь-яке кiнцеве лiнiйно впорядкована множина i цiлком упорядкованою множиною.

Доказ.

Нехай i множина А тАУ кiнцеве лiнiйно впорядкована множина. Треба довести, що А i цiлком упорядкованим, тобто будь-яку його пiдмножину маi найменший елемент. Розглянемо довiльну множину В, що i пiдмножиною множини А. Припустимо, що воно не маi найменшого елемента. Вiзьмемо який-небудь елемент множини В. Позначимо його через b1. Тому що в У немаi найменшого елемента, то в ньому i елемент b2, такий, що b2 < b1. Елемент b2 не i найменшим елементом в В, тому i елемент b3ВаB, причому bn+1 < bn.

Таким чином, одержали нескiнченну множину {b1, b2, . . . ,bn, . . } , але це суперечить тому, що В тАУ пiдмножину кiнцевоi множини А и, отже, саме i кiнцевим. :

Пропозицiя 2.3. Будь-якi два кiнцевi ланцюги, що складаються з n елементiв, iзоморфнi.

Доказ.

нехай i два кiнцевi ланцюги з n елементiв:

a1 < a2 <тАж

b1

Для кожного аi покладемо f (ai) = bi. Очевидно, що вiдображення f i iзоморфiзмом. :

Зауваження: нескiнченнi лiнiйно впорядкованi множини однаковоi потужностi можуть i не бути iзоморфними. Наприклад, множина натуральних чисел i множина цiлих чисел iз природними порядками. Потужностi цих множин рiвнi, але вони не i iзоморфними, тому що в N i найменший елемент, а в Z найменшого елемента немаi.

Визначення 2.3. Порядковим типом лiнiйно впорядкованоi множини А називаiться клас всiх лiнiйно впорядкованих множин, iзоморфних множинi А.

Будемо вважати, що порядковий тип порожньоi множини i 0.

Позначимо через n порядковий тип n - елементноi множини

Nn = {0, 1, 2,тАж,n-1}с порядком 0 < 1 < 2 <..< n-1.

Вз3. ПОРЯДКОВИЙ ТИП

Визначення 2.4. Множина натуральних чисел iз природним порядком i всi iзоморфнi йому лiнiйно впорядкованi множини називаються множинами порядкового типу .

Пропозицiя 3.1. Нескiнченне лiнiйно впорядкована множина А маi порядковий тип Ватодi й тiльки тодi, коли воно задовольняi наступним умовам:

у множинi А i найменший елемент a0;

для будь-якого а А iснуi точна нижня грань а' у множинi {x | a < x, x ВаA};

3) для будь-якоi пiдмножини Х множини А з того, що а0 Х и Х

мiстить разом з кожним своiм елементом безпосередньо наступний за ним елемент, треба, що Х = А.

Доказ.

ВаНехай лiнiйно впорядкована множина А задовольняi умовам 1)- 3). Доведемо, що А маi порядковий тип , тобто А iзоморфно множинi N.

З умови (1) треба iснування в множинi А найменшому елементi а0.

Розглянемо вiдображення f: N ВаA, задане в такий спосiб: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))тАЩ, де n = 0, 1, 2,тАжРЖснування (f (n))тАЩ для кожного n забезпечуiться умовою (2). Тодi внаслiдок умови (3) f(N)=A. Таким чином, f iнвективне й сюрективне, отже, взаiмно однозначно.Ва Доведемо, що f зберiгаi порядок: вiзьмемо n, m ВаN, нехай для визначеностi n < m . З умови (2) треба, що f (n) < (f (n))тАЩ Ваf (m),

тобто f (n) < f (m). Отже, f зберiгаi порядок.

Таким чином, f тАУ взаiмно однозначне вiдображення N ВаA, що зберiгаi порядок. Отже, множина А маi порядковий тип .

ВаНехай i нескiнченне лiнiйно впорядкована множина А, що маi порядковий тип . Множина N задовольняi умовам 1) тАУ 3), а множина А iзоморфно йому, тому й множина А задовольняi умовам 1) тАУ 3). :

Визначення 2.5. Порядковим типом * називаiться клас лiнiйно впорядкованих множин, еквiвалентних множинi N iз двоiстим порядком: 1 > 2 > 3 >тАж

Пропозицiя 3.2. упорядкована множина i цiлком упорядкованим тодi й тiльки тодi, коли воно не мiстить пiдмножину типу *.

Доказ.

ВаПрипустимо, що цiлком упорядкована множина А мiстить пiдмножину Х типу *. Тодi в Х немаi найменшого елемента, що суперечить цiлком упорядкованостi множини А. Отже, в А немаi пiдмножин типу *.

ВаНехай множина А не мiстить пiдмножина типу *. Доведемо, що А i цiлком упорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А мiстить пiдмножина В, у якому немаi найменшого елемента. Вiзьмемо який-небудь елемент множини В, позначимо його b1. Тому що в У немаi найменшого елемента, то iснуi елемент b2 , для якого b2 < b1. Повторюючи це мiркування, будуiмо для кожного n N елемент bn+1 ВаB, причому:

bn+1 < bn.

Одержали множину {b1, b2, тАж , bn, .. . .} яке i пiдмножиною множини А и маi тип * - протирiччя. :

Вз4. ВЛАСТИВОСТРЖ ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Про iзоморфнi мiж собою лiнiйно впорядкованi множини ми будемо говорити, що вони мають той самий порядковий тип.

РЖз часiв Кантора порядковi типи цiлком упорядкованих множин називаються порядковими або ординальними числами (ординалами). Порядковi типи нескiнченних цiлком упорядкованих множин називаються трансфинитными числами (трансфинитами).

Визначення 2.6. Порядкове число Ваменше порядкового числа Ва( ), якщо яке-небудь цiлком упорядкована множина типу Ваiзоморфно деякому вiдрiзку якого-небудь цiлком упорядкованоi множини типу .

Нехай Ва- деяке ординальне число. Позначимо W( ) тАУ множина всiх ординальних чисел, менших .

Теорема 4.1. Вiдношення Ва< , установлене для ординальних чисел, перетворюi множина W( ) всiх ординальних чисел, менших даного ординального числа , у цiлком упорядковану множину типу .

Доказ.

З визначення 2.6 треба, що множина W ( ) перебуваi у взаiмно однозначнiй вiдповiдностi iз множиною всiх вiдрiзкiв Ах довiльно обраноi множини А типу ; тому що вiдрiзки Ах взаiмно однозначно вiдповiдають елементам х ВаА, те маiмо взаiмно однозначна вiдповiднiсть Ва= f (х), х ВаА, ВаW( ) мiж множиною W( ) i множиною А типу . При цьому вiдповiдностi з х < xтАЩ в А треба, що Ах i вiдрiзок множини АхтАЩ , виходить, Ва= f (x) < Ва= f (xтАЩ) в W ( ), i обернено. :

Визначення 2.7. Пари (А, В) непустих пiдмножин лiнiйно впорядкованоi множини Х називаiться перетином множини Х, якщо:

А ВаВ = Х;

2) А ВаВ = Æ;

3) для будь-яких х ВаА и в ВаУ виконуiться нерiвнiсть х < в.

Теорема 4.2. Для будь-яких двох ординальних чисел Ваi Вазавжди здiйснюiться одне й тiльки одне iз трьох випадкiв: або Ва< , або Ва= , або Ва> .

Доказ.

Нехай данi два ординальних числа Вай . З визначення 2.6 i пропозицii 1.4 треба, що Вай Ваможуть задовольняти не бiльш, нiж одному iз трьох вiдносин: Ва= , Ва< , Ва> .

Позначимо через D множина W ( ) ВаW ( ). Ця множина i цiлком упорядкованим. Позначимо його порядковий тип через . Доведемо нерiвностi , . Досить довести одне з них. Доведемо, наприклад, перше. Маiмо D ВаW ( ). Якщо D = W ( ), тобто Вапорядковий тип множини W ( ), тобто Ва= . Нехай D ВаW ( ). Розбивка W ( ) = D (W( )\D) i перетин у цiлком упорядкованiй множинi W ( ). Справдi, нехай х ВаD, в ВаW ( )\D. Тому що W ( ) лiнiйно впорядковане, те або х < y, або в < х. Покажемо, що другий випадок неможливий. Дiйсно, тому що х W ( ), х W ( ), те одночасно х < Ваi х < . Якби було в < х, то було б в < , в < , тобто в ВаD. Отже, доведено, що х < у для будь-яких х ВаD, в ВаW ( )\D, а це й означаi, що (D, W ( )\D) i перетин в W ( ). Нехай Ва< Ваi перший елемент в W ( )\D. Тодi вiдрiзок, що вiдтинаiться в W ( ) елементом , збiгаiться з D, тобто Ваi порядковий тип множини D, Ва= Ваi Ва< .

Аналогiчно доводиться, що .

Однак, нерiвностi Ва< Ваi Ва< Ване можуть бути виконанi одночасно, тому що в цьому випадку ми мали б D, так що Вабуло б типом вiдрiзка множини D i не могло б бути типом усього D.

Таким чином, i лише наступнi можливостi:

1) Ва= , Ва= Ваi, виходить, Ва= ;

2) Ва= , Ва= Ваi, виходить, Ва< ;

3) Ва< , Ва= Ваi, виходить, Ва< . :

Теорема 4.3. Будь-яка множина А, що складаiться з ординальних чисел, цiлком упорядковано.

Доказ.

Лiнiйна впорядкованiсть множини А треба з теореми 4.2. Залишаiться довести, що будь-яка непуста множина AтАЩ ВаА маi найменший елемент.

Вiзьмемо який-небудь елемент а' ВаAтАЩ. Якщо а' тАУ найменший iз чисел

х ВаАтАЩ, те все доведено. Якщо ж нi, то перетинання W (aтАЩ) ВаAтАЩ непорожньо й, будучи пiдмножиною цiлком упорядкованоi множини W (aтАЩ), мiстить перший елемент а. Ординальне число а i i найменшим елементом в AтАЩ. :

Визначення 2.8. Нехай i двi впорядкованих множини А и В, що не мають загальних елементiв. Розглянемо множину А В, що складаiться iз всiх елементiв а А и b B. Перетворимо множину А В у впорядкована множина А+В, увiвши в нього порядок у такий спосiб: якщо а А, b В, те покладемо aВаi Ваi порядковi типи множин А и В, то порядковий тип множини А+У називаiться сумою + порядкових типiв Ваi .

Теорема 4.4. Нехай Ва- яке-небудь ординальне число. Тодi +1 i ординальне число, що безпосередньо випливаi за .

Доказ.

Нехай А тАУ яке-небудь цiлком упорядкована множина типу . По визначенню додавання порядкових типiв множина АтАЩ типу +1 одержимо, якщо приiднаiмо до А новий елемент а', що випливаi за всiма елементами а А. Тодi A = AтАЩaтАЩ, тобто Ва< +1.

Усяке ординальне число тАЩ< +1 i типом деякого вiдрiзка АxтАЩ множини AтАЩ. Але якщо х = а', те АxтАЩ = AтАЩaтАЩ = A i тАЩ = ; якщо ж x = a < aтАЩ, те AxтАЩ = Aa i тАЩ < . :

Теорема 4.5. Нехай А и В тАУ цiлком упорядкованi множини. Нехай Ваi Ва- iхнi порядковi типи. Якщо А ВаВ, то .

Доказ.

Будемо доводити методом вiд противного й припустимо, що Ва< . Тодi множина В iзоморфно вiдрiзку своii пiдмножини А, а це суперечить пропозицii 1.3. ■

Теорема 4.6. Сума будь-яких ординальних чисел х (даних у будь-якому порядку) i ординальне число , не менше, чим кожне з даних що складаються х .

Доказ.

Нехай дане деяке ординальне число Вай кожному Ва< Вапоставлене у вiдповiднiсть ординальне число х . Нехай Ва- сума по типi Вавсiх ординальних чисел х ; позначимо ii через Ва= .

Якщо Х - яка-небудь множина, упорядкована по типi х , то сума цiлком упорядкованого (по типi W ( )) множини множин Х i цiлком упорядковану множину Х, типом якого i . Тому що множина Х мiстить як своя пiдмножина кожне iз множин Х , то на пiдставi теореми 4.5 для будь-якого х маiмо х.:

Теорема 4.7. Для будь-якоi множини ординальних чисел можна побудувати ординальне число, бiльше кожного iз чисел цiii множини.

Доказ.

Нехай i множина ординальних чисел Х. На пiдставi теореми 4.6 сума всiх елементiв х множини Х i ординальне число, бiльше, нiж кожне з даних х