Дослiдження топологiчного визначення верхнiх напiвТСрат

Курсова робота: Дослiдження топологiчного визначення верхнiх напiвТСрат

Змiст

Роздiл 1

1. Упорядкованi множини

2. ТРрати

3. Дистрибутивнi ТСрати

4. Топологiчнi простори

Роздiл 2

1. Верхнi напiвТСрати

2. Стоуновий простiр

Висновок

Список лiтератури

Роздiл 1

1. Упорядкованi множини

Визначення: Упорядкованою множиноюВаназиваiться непуста множина, на якоi визначене бiнарне вiдношення , що задовольняi для всiх Ванаступним умовам:

1. Рефлективнiсть: .

2. Антисиметричнiсть: якщо Вай , те .

3. Транзитивнiсть: якщо Вай , те .

Якщо Вай , то говорять, що Ваменше Ваабо Вабiльше , i пишуть Ваабо .

Приклади впорядкованих множин:

Множина цiлих позитивних чисел, а Ваозначаi, що Вадiлить .

Множина всiх дiйсних функцiй Вана вiдрiзку Вай

Ваозначаi, що Вадля .

Визначення: Ланцюгом називаiтьсявпорядкована множина, на якоi для Вамаi мiсце Ваабо .

Використовуючи вiдношення порядку, можна одержати графiчне подання будь-якого кiнцевого впорядковання множини . Зобразимо кожний елемент множини Вау виглядi невеликого кружка, розташовуючи Вавище , якщо . З'iднаiмо Вай Вавiдрiзком. Отримана фiгура називаiться дiаграмою впорядкованоi множини .

Приклади дiаграм упорядкованих множин:

2. ТРрати

Визначення: Верхньою гранню пiдмножини Вав упорядкованiй множинi Ваназиваiться елемент Ваiз Ва, бiльший або рiвний усiх Ваз .

Визначення: Точна верхня грань пiдмножини Вавпорядкованоi множини ВатАУ це така ii верхня грань, що менше будь-який iнший ii верхньоi гранi. Позначаiться символом Ваi читаiться Влсупремум XВ».

Вiдповiдно до аксiоми антисиметричностi впорядкованоi множини, якщо точна верхня грань iснуi, то вона iдина.

Поняття нижньоi гранi й точноi гранi (яка позначаiться Вай читаiться ВлiнфинумВ»). Також, вiдповiдно до аксiоми антисиметричностi впорядкованоi множини, якщо точна нижня грань Ваiснуi, то вона iдина.

Визначення: ТРратамиВаназиваiться впорядкована множина , у якому будь-якi два елементи Вай Вамають точну нижню грань, позначувану , i точну верхню грань, позначувану .

Приклади ТСрат:

1. Будь-який ланцюг i ТСратами, тому що Вазбiгаiться з меншим, а Ваз бiльшим з елементiв .

Найбiльший елемент, тобто елемент, бiльшого або рiвний кожного елемента впорядкованоi множини, позначають , а найменший елемент, тобто меншого або рiвний кожного елемента впорядкованоi множини, позначають .

На ТСратах можна розглядати двi бiнарнi операцii:

Ва- додавання й

Ва- добуток

Цi операцii мають наступнi властивостi:

1. , Ваiдемпотентнiсть

2. , Вакомутативнiсть

3. ,

Ваасоцiативнiсть

4. ,

Вазакони поглинання

Теорема. Нехай Ва- множина iз двома бiнарними операцiями , що володiють властивостями (1) тАУ (4). Тодi вiдношення Ва(або ) i порядком на , а виникаюча впорядкована множина виявляiться ТСратами, причому:

Доказ.

Рефлективнiсть вiдносини Вавипливаi iз властивостi (1). Помiтимо, що воно i наслiдком властивостi (4):

Якщо Вай , тобто Вай , те в силу властивостi (2), одержимо . Це означаi, що вiдношення Ваантисиметричне.

Якщо Вай , то застосовуючи властивiсть (3), одержимо: , що доводить транзитивнiсть вiдносини .

Застосовуючи властивостi (3), (1), (2), одержимо:

Отже, Ваi

Якщо Вай , то використовуючи властивостi (1) тАУ (3), маiмо:

, тобто

По визначенню верхньоi гранi переконаiмося, що

РЖз властивостей (2), (4) випливаi, що Вай

Якщо Вай , то по властивостях (3), (4) одержимо:

Звiдси по властивостях (2) i (4) треба, що

, тобто

Таким чином, . :

Нехай ВаТСрати, тодi ii найбiльший елемент Вахарактеризуються одним iз властивостей:

2..

Аналогiчно характеризуiться найменший елемент :

2..

3. Дистрибутивнi ТСрати

Визначення: ТРрати Ваназиваються дистрибутивноi, якщо для виконуiться:

У будь-яких ТСратах тотожностi (1) i (2) рiвносильнi. Доказ цього факту втримуiться в книзi [1], стор. 24.

Теорема: ТРрати Ваз 0 i 1 i дистрибутивною тодi й тiльки тодi, коли вона не мiстить у

Доказ цього факту можна знайти в книзi [2].

Далi пiд словом тАЬТСратитАЭ розумiiться довiльнi дистрибутивнi ТСрати з 0 i 1 (причому ).

Визначення: Непуста множина Ваназиваiться iдеалом у ТСратах , якщо виконуються умови:

Визначення: РЖдеал Вау ТСратах Ваназиваiться простим, якщо

Ваабо .

РЖдеал, породжений множиною Н (тобтонайменший iдеал, що мiстить H), буде позначатися (Н]. Якщо Н = {a}, то замiсть ({a}] будемо писати (a] i називати (a] головним iдеалом.

Позначимо через I(L) множина всiх iдеалiв ТСрати L. I(L) будемо називати ТСратами iдеалiв.

Визначення: ТРрати Вай Ваназиваються iзоморфними (позначення: ), якщо iснуi взаiмно однозначне вiдображення , називане iзоморфiзмом, множини на множину , таке, що

4. Топологiчнi простори

Визначення:Топологiчний простiр тАУ це непуста множина Ваз деякою системою Вавидiлених його пiдмножин, що задовольняi аксiомам:

Порожня множина й сам простiр Ваналежить системi : .

Перетинання будь-якого кiнцевого числа множин з Ваналежить , тобто .

Об'iднання будь-якого сiмейства множин з Ваналежить , тобто .

Таким чином, топологiчний простiр тАУ це пари < , >, де Ва- така множина пiдмножин в , що Вай Вазамкнуто щодо кiнцевих перетинань i довiльних об'iднань. Множини з Ваназивають вiдкритими, а iхнього доповнення в Вазамкнутими.

Визначення: Простiр називаiться компактним, якщо в будь-якому його вiдкритому покриттi можна вибрати кiнцеве пiдпокриття.

Визначення: Пiдмножина простору називаiться компактним, якщо в будь-якому його вiдкритому покриттi можна вибрати кiнцеве пiдпокриття.

Визначення: Топологiчний простiр називаiться Ва- простором, якщо для будь-яких двох рiзних його крапок iснуi вiдкрита множина, що мiстить рiвно одну iз цих крапок.

Роздiл 2

1. Верхнi напiвТСрати

Визначення: множина називаiться верхнiми напiвТСратами, якщо sup{a,b} iснуi для будь-яких елементiв a i b.

Визначення: Непуста множина I верхнiх напiвТСрат L називаiться iдеалом, якщо для будь-яких Вавключення Вамаi мiсце тодi й тiльки тодi, коли .

Визначення: Верхнi напiвТСрати Ваназиваються дистрибутивноi, якщо нерiвнiсть ≤ Ва( , , ВаL) спричиняi iснування елементiв , таких, що , , i Ва= .(мал.1). Помiтимо, що елементи Вай Ване обов'язково iдинi.

Деякi найпростiшi властивостi дистрибутивних верхнiх напiвТСрат даi:

Лема 1:

(*). Якщо < , > - довiльнi напiвТСрати, то верхнi напiвТСрати Вадистрибутивна тодi й тiльки тодi, коли ТСрати Вадистрибутивна.

(**). Якщо верхнi напiвТСрати Вадистрибутивна, то для будь-яких Ваiснуi елемент , такий, що Вай . Отже, множина Ваi ТСратами.

(***). Верхнi напiвТСрати Вадистрибутивна тодi й тiльки тодi, коли множина Ваi дистрибутивними ТСратами.

Доказ.

(*). Ва< , > - дистрибутивна й , те для елементiв , , справедлива рiвнiсть :

виходить, напiвТСрати < , > - дистрибутивна.

< , > - дистрибутивна. Нехай ТСрати Вамiстять дiамант або пентагон (мал.2).

1) Нехай ТСрати Вамiстять пентагон, . Потрiбно знайти такi елементи Вай , щоб виконувалася рiвнiсть . Але множина елементiв менших або c складаiться з елементiв {0,b,c} i iхня нижня границя не дасть a. Одержали протирiччя з тим, що < , > - дистрибутивна. Виходить, наше припущення невiрно й ТСрати Ване мiстять пентагона.

2) Нехай ТСрати Вамiстять дiамант, . Аналогiчно, множина елементiв менших або c складаiться з елементiв {0,b,c}, iхня нижня границя не дасть a. Виходить, ТСрати Ване мiстять дiаманта.

Можна зробити висновок, що ТСрати Вадистрибутивна.

(**). Маiмо , тому , де (по визначенню дистрибутивних напiвТСрат). Крiм того, Ваi нижньою границею елементiв Ваi .

Розглянемо iдеали, що мiстять елемент Ваi Ва- Ваi . Тодi ВаØ ,тому що , нижня границя елементiв a i , утримуiться там.

Покажемо, що I(L) тАУ ТСрати, тобто iснують точнi нижня й верхня гранi для будь-яких A i B.

Покажемо, що збiгаiться з перетинанням iдеалiв A i B. По-перше, Ва- iдеал. Дiйсно, Ваi Вай ВаПо-друге, нехай iдеал Ваi . Тодi , тобто Ва- точна нижня грань iдеалiв A i B, тобто .

Тепер покажемо, що Вазбiгаiться з перетинанням всiх iдеалiв , що мiстять A i B. Позначимо . Оскiльки Вадля для , те C iдеал. По визначенню C вiн буде найменшим iдеалом, що мiстить A i B.

(***). ВаНехай ВатАУ верхнi дистрибутивнi напiвТСрати. Покажемо, що

Нехай , тобто Ва(мал.3), для деяких

Зрозумiло, що . По дистрибутивностi, iснують Ватакi, що . Т.к. A тАУ iдеал, те, тому що . Аналогiчно, . Т.е. . Точно також, . Якщо , то легко показати, що .

Довели, що Ва- iдеал. Очевидно, вiн i верхньою гранню iдеалiв A i B. Якщо C мiстить A i B, то C буде мiстити елементи Вадля будь-яких , тобто ВаТому , оскiльки Ваi верхньою гранню iдеалiв A i B i втримуiться в будь-який верхнiй гранi.

Тепер покажемо, що виконуiться рiвнiсть:

. Нехай , де , . Ва, те, звiдки Вай отже . Аналогiчно, , виходить,

. Нехай ,де .

Звiдси треба дистрибутивнiсть ТСрати .

ВатАУ дистрибутивнi ТСрати, . Тепер розглянемо iдеали, утворенi цими елементами:

( ,буде нижньою границею для ). Тому , що й доводить дистрибутивнiсть напiвТСрат . :

2. Стоуновий простiр

Визначення: Пiдмножина Ваверхнiх напiвТСрат Ваназиваiться коiдеалом, якщо Ваз нерiвностi Ватреба Вай Ваiснуi нижня границя множини , така, що .

Визначення: РЖдеал ВанапiвТСрати Ваназиваються простим, якщо Вай множина Ваi коiдеалом.

Надалi нам буде потрiбно лема Цорна, що i еквiвалентним твердженням аксiомi вибору.

Лема Цорна. Нехай A тАУ множина й X тАУ непуста пiдмножина множини P(A). Припустимо, що X маi наступну властивiсть: якщо C тАУ ланцюг в < >, те . Тодi X маi максимальний елемент.

Лема 2: Нехай ВатАУ довiльний iдеал i ВатАУ непустий коiдеал дистрибутивних верхнiх напiвТСрат . Якщо , то в напiвТСратах Ваiснуi простий iдеал Ватакий, що Вай .

Доказ.

Нехай X тАУ множина всiх iдеалiв в L, що мiстять I i не пересiчних з D. Покажемо, що X задовольняi лемi Цорна.

Нехай C тАУ довiльний ланцюг в X i ВаЯкщо , те Вадля деяких ВаНехай для визначеностi . Тодi Вай , тому що Ва- iдеал. Тому . Обернено, нехай , тодi , для якогось ВаОдержуiмо , звiдки .

Довели, що M тАУ iдеал, мабуть, що мiстить I i не пересiчний з D, тобто . По лемi Цорна X маi максимальний елемент, тобто максимальним iдеалом P серед утримуючих I i не пересiчних з D.

Покажемо, що P тАУ простiй. Для цього досить довести, що L\P i коiдеалом. Нехай L\P i . Оскiльки , те, iнакше в противному випадку Вапо визначенню iдеалу. Отже, . Якщо , то Вай Вапересiчних з D у силу максимальностi P. Одержуiмо Вай Вадля деяких елементiв . РЖснуi елемент Ватакий, що Вай , по визначенню коiдеала, отже Вай Вадля деяких ВаПомiтимо, що Вай Ване лежать в P, тому що в противному випадку .

Далi, , тому Вадля деяких Ваi . Як i колись . Крiм того , тому Ва- нижня грань елементiв a i b, що не лежить в P. :

Надалi, через Вабудемо позначати дистрибутивнi верхнi напiвТСрати з нулем, через множину всiх простих iдеалiв напiвТСрати .

Множини виду Вапредставляють елементи напiвТСрат Вау ч.в. множинi Ва(тобто ). Зробимо всi такi множини вiдкритими в деякiй топологii.

Позначимо через Ватопологiчний простiр, певний на множинi . Простiр SpecL будемо називати стоуновим простором напiвТСрат L.

Лема 3: Для будь-якого iдеалу I напiвТСрати L покладемо:

Тодi множини виду Вавичерпують всi вiдкритi множини в стоуновом просторi SpecL.

Доказ.

Потрiбно перевiрити виконання аксiом топологiчного простору.

1) Розглянемо iдеал, утворений 0. Тодi

але 0 лежить у будь-якому iдеалi, а значить .

2) Вiзьмемо довiльнi iдеали Вай ВанапiвТСрати Вай розглянемо

Нехай . Тодi iснують елементи aiВаЗвiдси треба, що , де L\P тАУ коiдеал. По визначенню коiдеала iснуi елемент d такий, щоВай , виходить, . Так як. , отже, . Одержуiмо, що .

Зворотне включення очевидно.

2) Нехай Ва- довiльне сiмейство iдеалiв. Через Вапозначимо множину всiх точних верхнiх граней кiнцевого числа елементiв, що i представниками сiмейства . Покажемо, що Ва- iдеал. Нехай , тодi , де Вадля деякого iдеалу . Тодi Валежить в iдеалi , отже, Ваi , тобто . Обернено очевидно.

Довели, що Ва- iдеал. Тепер розглянемо довiльне об'iднання.

Ва■

Лема 4: Пiдмножини виду Вапростору Ваможна охарактеризувати як компактнi вiдкритi множини.

Доказ.

ВаДiйсно, якщо сiмейство Вавiдкритих множин покриваi множина , тобто , те ВаЗвiдси треба, що для деякоi кiнцевоi пiдмножини , тому . Таким чином, множина Вакомпактно.

ВаНехай вiдкрита множина r(I) компактно, тодi Вай можна видiлити кiнцеве пiд покриття Вадля деяких .

Покажемо, що I породжуiться елементом .

Припустимо, що це не так, i в iдеалi I найдеться елемент не лежачий в. ВаТодi [b) тАУ коiдеал, не пересiчний с. По лемi 2 найдеться простий iдеал P утримуючий Ваi не пересiчний з [b). Одержуiмо, , тому що Ва(тобто ), але , тому що , протирiччя. Отже, компактною вiдкритою множиною r(I) буде тiльки у випадку, якщо Ва- головний iдеал.

Пропозицiя 5:Простiр Ваi - простором.

Доказ.

Розглянемо два рiзних простих iдеали Вай Q. Хоча б один не втримуiться в iншому. Допустимо для визначеностi, що . Тодi r(P) мiстить Q, але не мiстить P, тобто SpecL i - простором. :

Теорема 6: Стоуновий простiр Вавизначаi напiвТСрати Ваз точнiстю до iзоморфiзму.

Доказ.

Потрiбно показати, що двоi напiвТСрат Ваi Ваiзоморфнi тодi й тiльки тодi, коли простори Вай Вагомеоморфни.

ВаОчевидно, якщо ТСрати iзоморфнi, то простору, утворенi цими напiвТСратами будуть збiгатися.

ВаНехай Ваi Вагомеоморфни ( ) i . Тодi a визначаi компактна вiдкрита множина r(a) . Множинi r(a) вiдповiдаi компактна вiдкрита множина , з однозначно певним елементом Вапо лемi 4. У такий спосiб одержуiмо вiдображення : , при якому . Покажемо, що Ва- iзоморфiзм ТСрат. Якщо a,b тАУ рiзнi елементи з , те, отже, , тому Вай Ва- iн'iкцiя.

Для довiльного Вавiдкритiй множинi Вавiдповiдаi Вай очевидно, що показуi сюрективнiсть .

Нехай a,b тАУ довiльнi елементи з . Помiтимо, що . Вiдкритiй множинi Вапри гомеоморфiзмi Вавiдповiдаi вiдкрита множина , а Вавiдповiдаi . Отже, = . Оскiльки = , те, тобто

Висновок

алгебра множина грань грата топологiчний

Дистрибутивнi ТСрати i одним з основних алгебраiчних об'iктiв. У данiй роботi розглянута частково впорядкована множина P(L) простих iдеалiв. Вона даi нам багато iнформацii про дистрибутивнi ТСрати L, але вона не може ii повнiстю охарактеризувати. Тому, для того, щоб множина P(L) характеризувало ТСрати L, необхiдно надiлити ii бiльше складною структурою. Стоун [1937] задав на множинi P(L) топологiю. У цiй роботi метод розглянутий у трохи бiльш загальному видi.

Лiтература

1. Биргкоф Г. Теорiя ТСрат. тАУ К., 2003.

2. Гретцер Г. Загальна теорiя ТСрат. тАУ К., 2005

3. Чермних В.В. Пiвкiльця. тАУ К., 1997.

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики

Алгебра и алгебраические системы