Теоремы Силова

Строение абелевых групп во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные подгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждых элементов, определен элемент , причем и me=m для всех , ; здесь e тАФ единица группы G. Множество называется орбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двух элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М разбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow тАФ фонетически правильней транслитерация ВлСюловВ»; 1832тАФ1918) тАФ норвежский математик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теории групп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862 году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где он поставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни тАФ так называемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА

Пусть G тАУ конечная группа, а р тАУ простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка p^t называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по р, то есть | G | = pⁿs , где sВане делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pⁿ. Под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.

Теорема 1.(первая теорема Силова).

Силовские р-подгруппы существуют.

Доказательство.

Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс K_a, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pⁿr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа тАФ она и будет искомой.

Теорема 2.(вторая теорема Силова).

Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg ^{− 1}, где g тАФ элемент группы, а P тАФ силовская подгруппа из теоремы 1).

Доказательство

Итак, пусть силовские р-подгруппы в GВасуществуют и Р тАФ одна из них. Пусть, далее, тАФ произвольная р-подгруппа группы G, не обязательно силовская. Заставим действовать левыми сдвигами на множестве левых смежных классов GВапо Р. Длина любой орбиты относительно делит порядок ,. Таким образом,

где,.. тАФ длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы одна орбита имеет длину p^kiВа= 1, т. е.

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (1)

для некоторого элемента. Переписав соотношение (1) в виде, мы приходим к заключению, что

(поскольку тАФ группа). В частности, если тАФ силовская р-подгруппа, то | | = |Р|, и из (2) следует, что =.

Теорема 3(третья теорема Силова).

Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.

Доказательство.

Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть , где , tВаможет делится на p, и пусть - число всех подгрупп порядка в G. Оказывается, что имеет место сравнение , в частности, GВасодержит подгруппы любого порядка , s=1,2,тАж,nВаи .

Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы GВана себе индуцирует действие GВана множестве

всех -элементных подмножеств . Причём . Множество разбивается на G-орбиты , так что

где - стационарная подгруппа некоторого представителя .

Так как , то - объединение нескольких правых смежных классов GВапо . Поэтому , откуда . В случае имеем . Равенства и эквивалентны. Получаем

(- некоторый элемент из G) и, стало быть, - подгруппа порядка . Орбита исчерпывается некоторым числом левых смежных классов группы GВапо .

Обратно: каждая подгруппа порядка приводит к орбите длины t. Различные подгруппы с приводят к различным орбитам , поскольку из следует , откуда и . Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка и орбитами длины t. Тогда сравнение записывается как

Где следовало бы написать , чтобы подчеркнуть зависимость от G.

Если взять за GВациклическую группу порядка , то для неё и поэтому

Так как левые часть сравнений по одному и тому же модулю совпадают, то имеем

А это и даёт искомое сравнение

Получим полезное уточнение теорем Силова.

Теорема 4.

Справедливы следующие утверждения:

1).силовская p-подгруппа PВагруппы GВанормальна в GВатогда и только тогда, когда

2).конечная группа GВапорядка является прямым произведением своих силовских - подгрупп в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство.

1).Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены, и если PтАУодна из них, то

нормальна в G

2).Если - прямое произведение своих силовских подгрупп, то нормальна в GВакак любой прямой множитель. Значит условие нормальности необходимо.

Пусть теперь нормальна в G, , т.е. . Заметим, что . Стало быть, , а отсюда для любых имеем

Т.е. элементы и перестановочны.

Представим, что единичный элемент записан в виде , где - элемент порядка . Положив и воспользовавшись перестановочностью получим

Но так как а и взаимно просты, то . Это верно при любом j, и, стало быть, равенство возможно лишь при

С другой стороны, каждый элемент порядка , записывается в виде , , . Достаточно положить , где показатели определяются условиями

теорема силов конечная группа

Если теперь - другая запись xВав виде произведения -элементов, то в силу перестановочности , с различными нижними индексами будем иметь

что, как было показано выше, влечёт равенства

, т.е. .

Итак, каждый элемент группы GВазаписывается, и притом единственным образом в виде .

Замечание

Нормальная силовская p-подгруппа PВагруппы GВахарактеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма . Действительно, , поэтому - силовская р-подгруппа, и, стало быть, , если . Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёких от конечных групп.

Следствие

Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Примеры силовских подгрупп.

Пример 1.

Аддитивная группа кольца вычетов разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами порядков , если nВаимеет каноническое разложение n=.

Пример 2.

Силовские p-подгруппы симметрических групп. Как мы знаем, Каков максимальный показатель e(n), при котором делит n!? В последовательности 1,2,тАж,nВакратными pВабудут числа p,2p,тАж,kp, где , поэтому . Так как , то Удобно разложить nВапо основанию p: , тогда

Рассмотрим сначала группы , когда nВастепень p. Пусть в уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа порядка . Построим по ней в подгруппу порядка . Для этого разобьём переставляемые символы 1,2,тАж, на последовательные отрезки длины . Если и xВатАУ подстановка на символах i-го отрезка, то легко сообразить, что - подстановка на символах (i+1)-го отрезка (сложение по модулю p). Отсюда видно, что подгруппа, порождённая подгруппами , является из прямым произведением, и, стало быть, подгруппа , порожденная подгруппой и элементом с, изоморфна сплетению . Подгруппа - искомая, так как .

Одновременно мы видим, что силовская p-подгруппа в изоморфна последовательному сплетению (тАж( циклической группы с самой собою mВараз.

Теперь пусть nВапроизвольно. Разобьём символы 1,..,nВана одноэлементных, р-элементных и т.д. отрезков. На каждом из этих отрезков рассмотрим симметрическую группу тАУ она будет некоторой степени , а в ней возьмём силовскую p-подгруппу, построенную как выше. Так как эти подгруппы действуют на непересекающихся множествах, то их порождение является их прямым произведением, а потому имеет порядок

Следовательно, - силовская p-подгруппа в . Из построения видно, что она изоморфна прямому произведению нескольких последовательных сплетений типа (тАж(.

Пример 3

Рассмотрим общие линейные группы над конечными полями. Пусть pВатАУ простое число, m, nВатАУ целые числа и . Покажем, что - силовская p-подгруппа группы . Посчитаем порядки этих групп.

Какие n-ки над полем могут быть первой строкой невырожденной матрицы? Очевидно, любые, кроме нулевой, т. е. штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно взять любую, не пропорциональную первой; таких строк. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух; это дает возможностей. И так далее. Значит, .

Так как угловые элементы матриц пробегают независимо друг от друга всё поле, а всего угловых мест , то . Из сравнения порядков мы видим, что - силовская p-подгруппа группы .

Нахождение силовской подгруппы.

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

ГЛАВА 2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРЕМ СИЛОВА

Задача 1.

Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.

Решение

, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N5 должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.

Задача 2

Найти силовские р-подгруппы в группе всех матриц с определителем 1 над полем из р элементов.

Решение.

Пусть - группа с определителем 1 над полем из р элементов. Из разложения

полной линейной группы в смежные классы по следует, что

ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа (1)

Рассматривая как группу автоморфизмов двумерного векторного пространства VВанад , легко найти порядок . Действительно, действует на множестве пар базисных векторов. Образом может быть любой отличный от нуля вектор (их всего штук), а при всяком выборе образом может быть любой вектор из (таких векторов имеется штук). Стало быть, , что в сочетании с (1) приводит к формуле

По крайней мере две силовские р-подгруппы группы мы находим сразу:

, .

В соответствии с теоремой 3 имеем

а так как

и, следовательно, нормализатор содержит подгруппу

порядка p(p-1), то остаётся единственная возможность

Между группой

и симметрической группой непосредственно устанавливается изоморфизм

(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями). При p>2 группа имеет центр порядка 2. Фактор- группа , которую естественно называть проективной специальной группой(она является группой преобразований проективной прямой ) , играет важную роль в алгебре со времён Галуа. Дело в том, что при p>3 группа простая, и это, наряду с ,- один из самых ранних примеров конечных простых групп.

Задача 3

Описать с помощью теоремы Силова все возможные типы групп порядка pq.

Решение

Пусть р, q тАФ простые числа, р < q. Какой должна быть группа G порядка pq? Силовские р- и д-подгруппы из G, будучи подгруппами простого порядка, являются циклическими. Пусть (а), (b) тАФ соответственно силовские р- и q-подгруппа. По теореме Силова число силовских q-подгрупп в G имеет вид 1+kq и делит pq, поэтому силовская q-подгруппа (b) единственна. В частности, она нормальна в G. Число силовских р-подгрупп имеет вид 1+кр и делит q, поэтому возможны два случая:

а) Силовская р-подгруппа (а) единственна. Тогда она нормальна и, значит,. Так как , то . Таким образом, в этом случае .

б) Имеется q силовских р-подгрупп. Конечно, это возможно лишь при условии . Пусть . Если r=1, то снова ,т. е. . Пусть . Индукцией по х получаем , откуда Вадля всех целых х, у. При х=р, у=1 это дает , кроме того, получаем формулу умножения .

Обратно, легко проверить, что если , , , то эта формула умножения определяет неабелеву группу порядка pq. Наконец, решения сравнения составляют циклическую группу порядка р, поэтому те из них, которые, имеют вид , где rВатАФ одно из них. Все эти решения определяют одну и ту же группу, так как замена порождающего а на приводит к замене rВана .

Таким образом, с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq; их оказалось два тАФ абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При изучении абелевых групп видно, что их строение во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные р-подгруппы также играют существенную роль. В этом курсовой были доказаны теоремы Силова о конечных группах: для каждой степени , делящей порядок группы, существует подгруппа порядка , причем если делит порядок группы, то всякая подгруппа порядка содержится в некоторой подгруппе порядка ; все максимальные р-подгруппы попарно сопряжены в группе, а их число сравнимо с 1 по модулю р. Эта теорема была доказана норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году. В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами.

Из теоремы Силова вытекает, в частности, что силовские р-подгруппы конечной группы тАФ это в точности подгруппы порядка , где тАФ максимальная степень р, делящая порядок группы. Отметим, что если число mВаделит порядок конечной группы G, но не является степенью простого числа, то в G может и не быть подгрупп порядка mВатАФ например, в знакопеременной группе А4 порядка 12 нет подгрупп порядка 6.

В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: Физматлит, 2001.

2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.

3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. М.:Наука, 1982.

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики

Алгебра и алгебраические системы