Фрактальна розмiрнiсть

Мiнiстерство освiти i науки Украiни

Слов'янський державний педагогiчний унiверситет

Кафедра фiзики

Реферат на тему:

ФРАКТАЛЬНРЖСТЬ

Пiдготувала:

Студентка 5 курсу групи 2 - М

Садо Юлiя Андрiiвна

Слов'янськ, 2008

План:

Вступ.

Вiдкриття фрактальностi.

Самоподоба.

Фрактальнi властивостi в природi.

Типовi фрактали

Фрактальна розмiрнiсть.

Висновок.

Вступ

Свiт, що оточуi нас, постiйно змiнюi свiй вигляд. Аж нiяк не останнiй внесок у цi змiни вносить наука, породжуючи новi поняття, новi засоби опису та дослiдження звичних або щойно вiдкритих об'iктiв. Понятiйний арсенал науки поповнюiться часом з надзвичайною швидкiстю - так, що вчора ще надiйний ii iнструментарiй виявляiться застарiлим. РЖншi новi поняття жорстко вибраковуються, i лише минулим сувору перевiрку на ВлвиживанняВ» призначено залишити свiй слiд в науцi. Ну а яким-то дано перейти в понятiйний базис не тiльки ВлсвоiйВ» областi знань, але отримати статус мiждисциплiнарного.

Вiдкриття фрактальностi

Слова ВлфракталВ», Влфрактальна розмiрнiстьВ», ВлфрактальнiстьВ» з'явилися в науковiй лiтературi порiвняно недавно i не встигли ще увiйти в бiльшiсть словникiв, довiдникiв i енциклопедiй. Придумав слово ВлфракталВ» (вiд латинського ВлфрактусВ» - дробовий, нецiлих) наш сучасник, математик Бенуа Мандельброт, зумiв вiдкрити зовсiм поруч з нами воiстину дивовижний свiт, по-новому (або, принаймнi, трохи iнакше) глянувши на багато, здавалося б, добре знайомi предмети i явища.

Мандельброт звернув увагу на те, що при всiй своiй очевидностi випадало вiд його попередникiв, хоча траплялося на кожному кроцi i буквально Вллежало на поверхнiВ»: контури, поверхнi i обсяги навколишнiх предметiв не так рiвнi, гладкi й досконалi, як прийнято думати. Насправдi вони нерiвнi, шершавi, iз'язвлени безлiччю отворiв самоi вигадливоi форми, пронизанi трiщинами i порами, покритi мережею зморшок, подряпин i кракелюр.

В арсеналi сучасноi математики Мандельброт знайшов зручну кiлькiсну мiру неiдеальностi об'iктiв - звивистостi контуру, зморшкуватостi поверхнi, трiщинуватостi i пористостi обсягу. РЗi запропонували два математика - Фелiкс Гаусдорф (1868 - 1942) i Абрам Самойлович Безiкович (1891-1970). Нинi вона заслужено носить славнi iмена своiх творцiв (розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича).

Стосовно до iдеальних об'iктiв класичноi евклiдовоi геометрii розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича давала тi ж чисельнi значення, що i вiдома задовго до неi так звана топологiчна розмiрнiсть. Але збiгаючись зi старою, топологiчноi, розмiрнiстю на iдеальних об'iктах, нова розмiрнiсть володiла бiльш тонкою чутливiстю до всякого роду недосконалостей реальних об'iктiв, дозволяючи розрiзняти i iндивiдуалiзувати те, що ранiше було безлико i невиразно. Для того щоб особливо пiдкреслити здатнiсть розмiрностi Хаусдорфа-Безиковича приймати дробовi, нецiлi, значення, Мандельброт i придумав свiй неологiзм, назвавши ii фрактальноi розмiрнiстю. Отже, фрактальна розмiрнiсть (не тiльки Хаусдорфа-Безиковича, але i будь-яка iнша) - це розмiрнiсть, здатна приймати не обов'язково цiлi значення, фрактал - об'iкт з фрактальноi, розмiрнiстю, а фрактальнiсть - властивiсть об'iкта бути фракталом або розмiрностi бути фрактальноi.

Самоподоба

математика фрактал снiжинка кох

Серед безлiчi незвичайних об'iктiв, побудованих математиками в кiнцi XIX - початку XX столiття при переглядi основ математики, багато хто опинився фракталами, тобто об'iктами з дробовоi, або фрактальноi, розмiрнiстю Хаусдорфа - Безиковича. Всi вони дуже красивi i часто носять поетичнi назви: канторiвскоi пил, крива Пеано, снiжинка фон Коха, килим Серпiнського i т. д. РЖ всi вони мають один дуже важливою властивiстю, яке рiднить iх з звичайнiсiнькоi прямiй. Це властивiсть називаiться самоподiбнiстю: всi цi фiгури подiбнi будь-якому своiму фрагменту.

Якщо ви точно так само не зможете вiдрiзнити знiмок якого-небудь об'iкта вiд належним чином збiльшеного знiмка будь-якого його фрагмента, то перед вами - самоподiбних об'iкт. Всi фрактали, якi мають хоча б який-небудь симетрiiю, самоподiбних.

Самоподоба означаi, що в об'iкта немаi характерного масштабу: будь у нього такий масштаб, ви вiдразу б вiдрiзнили збiльшену копiю фрагмента вiд вихiдного знiмка. Самоподiбнi об'iкти мають нескiнченно багатьма масштабами. Зрозумiло, далеко не всi фрактали мають настiльки правильною, нескiнченно повторюiться структурою. Багато фрактали, що зустрiчаються в природi (поверхнi розлому гiрських порiд i металiв, хмари, турбулентнi потоки, пiна, гелi, контури частинок сажi i т. д.), позбавленi геометричноi подоби, але вперто вiдтворюють у кожному фрагментi статистичнi властивостi цiлого. Таке статистичне самоподiбнiсть, або самоподiбнiсть в середньому, видiляi фрактали серед безлiчi природних об'iктiв.

Навiть найпростiшi з фракталiв - геометрично самоподiбнi фрактали - володiють незвичними властивостями. Наприклад, снiжинка фон Коха маi периметром нескiнченноi довжини, хоча обмежуi кiнцеву площу. Крiм того, вона така колюча, що нi в однiй точцi контуру до неi не можна провести дотичну (математик сказав би, що снiжинка фон Коха нiде не диференцiйовна).

Фрактальнi властивостi в природi

Фрактальнi властивостi - не примха i не плiд дозвiльноi фантазii математикiв. Вивчаючи iх, ми вчимося розрiзняти i передбачати важливi особливостi навколишнiх предметiв i явищ, якi ранiше, якщо i не iгнорувалися повнiстю, то оцiнювалися лише приблизно, якiсно, ​​на око. Наприклад, порiвнюючи фрактальнi розмiрностi складних сигналiв, енцефалограм чи шумiв у серцi, медики можуть дiагностувати деякi тяжкi захворювання на раннiй стадii, коли хворому ще можна допомогти.

Метеорологи навчилися визначати за фрактальноi розмiрностi зображення на екранi радара швидкiсть висхiдних потокiв у хмарах, що дозволяi з великим випередженням видавати морякам i льотчикам штормовi попередження.

Такого роду застосувань фракталiв вже зараз iснуi велика кiлькiсть, i число iх усе збiльшуiться. Про один несподiваному застосуваннi i не менш несподiваному прикладi природного статистично самоподiбного фрактала ми хочемо розповiсти трохи докладнiше, тим бiльше що це даi нам можливiсть звернути увагу на одну надзвичайно важливу обставину, яка зазвичай не беруть до уваги або замовчують, - роль спостерiгача i роздiльноi здатностi приладiв при визначеннi розмiрностi.

При розборi архiву видатного фахiвця з гiдродинамiки Луiса Фрая Рiчардсона серед його паперiв були виявленi чернетки дивного дослiдження. Кiлька перефразовуючи слова Льюiса Керролла, можна сказати, що при переходi вiд географii до дрiбних камiнцях вiн виявив необмежену збiльшення протяжностi береговоi лiнii. Контури доброi староi Англii вели, себе зовсiм не так, як мало би бути евклiдовоi кривоi. Але якщо берегова лiнiя Великобританii не крива, то що це? Тепер вiдповiдь вiдома: фрактал.

Публiкуючи данi Рiчардсона, Мандельброт привiв своi оцiнки фрактальноi розмiрностi Хаусдорфа - Безиковича для декiлькох берегових лiнiй. Вони коливалися вiд майже одиницi для порiвняно гладкого (погляньте на будь-яку карту!) Пiвденного узбережжя Африки до 1,3 - для захiдного узбережжя Великобританii i рекордноi позначки 1,52 - для порiзаного фiордами узбережжя Норвегii.

Типовi фрактали

Фрактали можуть бути введенi з допомогою динамiки, але це з'ясувалося не вiдразу. Спочатку вони були введенi Бенуа Мандельброт для подання математичних об'iктiв, якi не мають ВлприродногоВ» масштабу вимiру, i виглядають у рiзних масштабах приблизно однаково. У природi i об'iкти, практично не змiнюють свiй образ за змiною масштабу. Так, структура берега бiля острова або материка на картах рiзних масштабiв завжди характеризуiться наявнiстю мисiв та заток, а --- рельiфу --- пiкiв i западин. Тому протяжнiсть берега i рельiфу функцiонально залежить вiд масштабу карти. Ця функцiя називаiться степеневим законом. На графiку залежностi довжини вiд масштабу карти, побудованому в подвiйному логарифмiчному масштабi, точки приблизно розташовуються на прямiй лiнii (Power Law). У цих структур немаi природного масштабу, вони i фракталами. Зрозумiло, iснують набагато бiльш складнi способи математичного визначення фрактальних моделей, зокрема i випадкове фрактали, мультифракталiв та iн [8]. У бiльш широкому сенсi, практично всi природнi межi, в тому числi i фазовi переходи, зберiгають свою структуру в значному, але кiнцевому, дiапазонi масштабiв. Про такi об'iкти часто говорять, що вони ВлсамоподiбнихВ». Однак самоподiбнiсть --- занадто загальний термiн. Насправдi всi реальнi об'iкти, що складаються з частин, самоподiбних. Фрактали, звичайно, мають самоподiбнiстю, але це математичне самоподiбнiсть правильнiше називати самоафiнностью. Саме присутнiсть прихованоi математичноi регулярностi, необхiдноi для iх побудови, надаi iм незвичайне витонченiсть. У неповторному розмаiттi химерних форм iнтуiтивно вгадуiться прихований математичний порядок, який робить фрактальнi зображення воiстину прекрасними [9] Проте тут поки що бiльше загадок, нiж ясностi. Особливо це стосуiться так званоi фрактальноi розмiрностi.

Фрактальна розмiрнiсть

Ми вже вiдзначили, що фрактали визначають тi об'iкти, якi не змiнюють зi змiною масштабу свою форму, на вiдмiну вiд звичайних геометричних фiгур, таких як трикутник, квадрат, коло та iн Коло, наприклад, при цьому, перетворюiться на пряму лiнiю. У той же час, спецiально створенi на початку ХХ столiття для демонстрацii математичних монстрiв, фiгури, такi як снiжинка Хельги фон Кох, губка Менгера, або безлiч Кантора, а також багато iнших, зберiгають свою структуру в нескiнченному дiапазонi масштабiв. Математичнi фрактали мають дивними рисами: вони мають нескiнченну довжину, неперервнi, здатнi заповнити площину, але нi в однiй точцi не мають похiдноi. Порiвняння фракталiв мiж собою тому являi собою досить актуальну проблему [10]. Спочатку, для цiii мети Мандельброт запропонував надприродне дробове число, введене Хаусдорфа i Безiкович на початку ХХ столiття для демонстрацii математичних монстрiв. У принципi фрактальна розмiрнiсть показуi ступiнь грубостi фрактала в порiвняннi з чистою, зрозумiлою топологiчноi розмiрнiстю, якою володiють традицiйнi геометричнi фiгури. Так, пряма лiнiя маi розмiрнiсть 1, а значно бiльше звивиста лiнiя морського берега вiд 1.15 до 1.25. Таке уявлення,, нинi перетворилася на ключове властивiсть аттрактора, управляi рiзноманiтними кiлькiсними особливостями його динамiки. Разом з тим накопичилися i питання. З'ясувалося, наприклад, що iснують фрактали, фрактальна розмiрнiсть яких визначаiться цiлим числом. Фрактальна розмiрнiсть безперервно змiнюiться, i, в принципi, може бути будь-який, проте поки не вдалося зробити цю характеристику унiкальною i використовувати ii для iдентифiкацii фракталiв. Дуже багато, зовсiм рiзнi фрактали мають однакову розмiрнiсть.

Висновок

Сьогоднi фрактали з'являються в науцi двома рiзними способами. По-перше, вони можуть виникати як первинний предмет дослiдження i як описову засiб при дослiдженнях нерегулярних процесiв i форм. РЖ, по-друге, вони можуть бути математичними висновками з деякою, що лежить в iх основi, хаотичноi динамiки. Тим не менш, багато чого ще залишаiться неясним. Певною мiрою, ми поки не знаiмо всього розмаiття фракталiв. Ми поки iх вiдшукуiмо у природi, хоча вже iснуi фрактальна музика, фрактальна живопис та iн Поки ще немаi загальноi теорii хаосу i фракталiв, неясно, як далеко простягаються моделi подiбного типу, немаi також ясного i загального пiдходу до визначення фрактальноi розмiрностi та iн У Зокрема, тому ми не можемо з упевненiстю стверджувати, чи i даний об'iкт фракталом, чи нi. Це область сучасних дослiджень i узагальнень. Тут багато ще питань до математики i математикам.

Список використання лiтератури:

Матерiали п'ятого Всеросiйського постiйно дiючого наукового семiнару "Самоорганiзацiя стiйких целостностей в природi i суспiльствi".

Данилов Ю.А. ВлФрактальностьВ».

Тiшин А.РЖ., Егембердiев Т.М. ВлФрактальность людиниВ».

Жiков В.В. ВлФракталиВ».

Вместе с этим смотрят:

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнтерполювання функцiй

Автокорреляционная функция. Примеры расчётов

Актуальные проблемы квантовой механики

Алгебра и алгебраические системы