Поиск оптимального пути в ненагруженном орграфе
Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем.
Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели используются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.
Благодаря своему широкому применению, теория о нахождении кратчайших путей в последнее время интенсивно развивается.
Нахождение кратчайшего пути - жизненно необходимо и используется практически везде, начиная от нахождения оптимального маршрута между двумя объектами на местности (напр. кратчайший путь от дома до академии),также используется в системах автопилота, используется для нахождения оптимального маршрута при перевозках коммутации информационного пакета Internet и мн. др.
Кратчайший путь рассматривается при помощи графов.
Цель курсовой работы:
Разработать программу поиска оптимального пути в ненагруженном ориентированном графе на любом языке программирования.
Теоретическая часть:
а) Основные понятия теории графов
Теория графов как теоретическая дисциплина может рассматриваться как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Как прикладная дисциплина теория графов позволяет описывать и исследовать многие физические, технические, экономические, биологические, социальные и другие системы. Например, графом, изображенным на рис. 1, в котором точки − вершины графа − города, линии, соединяющие вершины − ребра − дороги, соединяющие города, описывается так называемая транспортная задача (задача нахождения кратчайшего пути из одного города- пункта в другой).
Рис. 1.
Формальное определение графа таково. Пусть задано конечное множество V, состоящее из n элементов, называемых вершинами графа, и подмножество X декартова произведения V×V, то есть 
, называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом D называется совокупность (V,X). Неориентированным графом G называется совокупность множества V и множества ребер − неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству V.
Одинаковые пары - параллельные или кратные ребра;
Кратностью ребер называют количество одинаковых пар.
Рис.2.
Например, кратность ребра {v1,v2} в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра {v3,v4} − трем.
Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.
Мультиграф − псевдограф без петель.
Граф − мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.
Граф называется ориентированным, если пары (v,w) являются упорядоченными.
Ребра ориентированного графа называются дугами.
Итак, используемые далее обозначения:
V тАУ множество вершин;
X тАУ множество ребер или дуг;
v (или vi)тАУ вершина или номер вершины;
G, G0 - неориентированный граф;
D, D0 тАУ ориентированный;
{v,w} − ребра неориентированного графа;
{v,v} тАУ обозначение петли;
(v,w) − дуги в ориентированном графе;
v,w - вершины, x,y,z тАУ дуги и ребра;
n(G), n(D) количество вершин графа;
m(G) - количество ребер, m(D) - количество дуг.
Примеры
1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v1, v2, v3, v4},
X={x1=(v1,v2), x2=(v1,v2), x3=(v2,v2), x4=(v2,v3)}.
Рис. 3.
2) Неориентированный граф G=(V, X), V={v1, v2, v3, v4, v5},
X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.
Рис. 4.
б) Понятия смежности, инцидентности, степени
Если x={v,w} - ребро, то v и w − концы ребер.
Если x=(v,w) - дуга ориентированного графа, то v − начало, w тАУ конец дуги.
Вершина v и ребро x неориентированного графа (дуга x ориентированного графа) называются инцидентными, если v является концом ребра x (началом или концом дуги x ).
Вершины v, w называются смежными, если {v,w}ÎX.
Степенью вершины v графа G называется число d (v) ребер графа G, инцидентных вершине v.
Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 тАУ висячей.
Полустепенью исхода (захода) вершины v ориентированного графа D называется число d+(v) (d-(v)) дуг ориентированного графа D, исходящих из v (заходящих в v).
Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в d+(v), так и в d-(v).
в) Маршруты и пути
Последовательность v1x1v2x2v3..xkvk+1, (где k³1, viÎV, i=1,..,k+1, xiÎX, j=1,..,k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,..,k ребро (дуга) xj имеет вид {vj,vj+1} (для ориентированного графа (vj,vj+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v1 и vk+1 (путем из v1 в vk+1).
Длина маршрута (пути) − число ребер в маршруте (дуг в пути).
г) Матрицы смежности и инцидентности
Пусть D=(V,X) ориентированный граф, V={v1,..,vn}, X={x1,..,xm}.
Матрица смежности ориентированного графа D − квадратная матрица
A(D)=[aij] порядка n, где
Матрица инцидентности − матрица B(D)=[bij] порядка n´m, где
Матрицей смежности неориентированного графа G=(V,X) называется квадратная симметричная матрица A(G)=[aij] порядка n, где
.
Матрица инцидентности графа G называется матрица B(G)=[bij] порядка n´m, где
Алгоритм
http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//" onclick="return false">Вав 
Вав
http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//" onclick="return false">
ориентированном орграфе (алгоритм фронта волны)
1) Помечаем вершину 
Ваиндексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины 
Ваиндексом 1. Обозначаем их FW1 (v). Полагаем k=1.
2) Если 
Ваили k=n-1, и одновременно
то вершина Ване достижима из . Работа алгоритма заканчивается.
В противном случае продолжаем:
3) Если 
, то переходим к шагу 4.
В противном случае мы нашли минимальный путь из Вав Ваи его длина равна k. Последовательность вершин
теория орграф матрица алгоритм
есть этот минимальный путь. Работа завершается.
4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем 
. Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).
Замечания
Множество 
Ваназывается фронтом волны kго уровня.
Вершины 
Вамогут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если 
Ванесколько минимальных путей из 
Вав 
.
Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу
http://hghltd.yandex.com/yandbtm?url=http%3A//" onclick="return false">
минимальных расстояний R(D)между его вершинами. Это квадратная матрица размерности 
, элементы главной диагонали которой равны нулю (
, i=1,.,n).
Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний (
, если 
). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.
Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i-тая и на пересечении с j-тым столбцом стоит единица (то есть 
). Это значит, что из вершины 
Ваможно попасть в вершину 
Ваза один шаг. Рассматриваем j-тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент 
. Тогда из вершины Вав вершину 
Ваможно попасть за два шага. Таким образом, можно записать 
. Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.
Листинг программы:
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
int N=0,n=0,c=0,i=0,k=0;
cout<<" ----------------------------------------------"<cout<<" |Poisk optimalnogo puti v nenagrujennom orgrafe|"<cout<<" ----------------------------------------------"<case1:
cout<<"Vvedite chislo vershin v orgrafe: ";
cin>>N;
if(N<=1)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"Kolichestvo vershin doljno bit'>1!!!"<ВаВаВаВаВаВаВаВа goto case1;
}
///МАТРИЦА смежности::
cout<<"Zapolnite matricu smejnosti (esli puti net,vvedite 0; esli put' est',vvedite 1):";
float** A = new float*[N];
for(i;iA[i] = new float[N];
for(i=0;ifor(int k=0;k{
Ваcout<<"V";
Ваprintf("%d",i+1);
Ваcout<<"->V";
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ваprintf("%d",k+1);
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ваcout<<'=';
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ваscanf("%f", &A[i][k]);
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ваif((A[i][k]!=0)&&(A[i][k]!=1))
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ва{
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ваcout<<"Vvodite tol'ko 0 ili 1!"<ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ваreturn 0;
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ва}
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ваif((i==k)&(A[i][k]==1))
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ва{
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ваcout<<"Na glavnoi diagonali doljni bit' nuli!"<ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа Ваreturn 0;
ВаВаВаВаВаВаВаВа Ва}
}
////Откуда и куда?(Начальная и конечная вершина в графе!!)
case2:
cout<<"Vvedite nachalnuiu vershinu: ";
cin>>n;
if(n>N)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"Net takoi vershini!"<ВаВаВаВаВаВаВаВа goto case2;
}
if(n==0)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"Net takoi vershini!"<ВаВаВаВаВаВаВаВа goto case2;
}
case3:
cout<<"Vvedite konechnuyu vershinu: ";
cin>>c;
if(c>N)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"Net takoi vershini!"<ВаВаВаВаВаВаВаВа goto case3;
}
if(c==0)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"Net takoi vershini!"<ВаВаВаВаВаВаВаВа goto case3;
}
///Массив,где записывается число шагов
int h=1;
float*B= new float[N];
for(i=0;i{
ВаВаВаВаВаВаВаВа B[i]=0;
}
//В массиве B[N-1] ищем вершины,которые достжимы из начала пути
//т.е за один шаг
for(k=0;k{
ВаВаВаВаВаВаВаВа if(A[n-1][k]==1)
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа B[k]=1;
}
//Элементы фронта волны
while(h<50)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа for(i=0;iВаВаВаВаВаВаВаВа {
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа for(k=0;kВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа {
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа if((B[i]==h)&&(A[i][k]==1)&&(B[k]==0))
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа ВаB[k]=h+1;
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа }
ВаВаВаВаВаВаВаВа }
ВаВаВаВаВаВаВаВа h++;
}
B[n-1]=0;
if(B[c-1]!=0)
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа ///Вывод на экран таблицу
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"\nTablica stoimosti minimalnogo puti:"<ВаВаВаВаВаВаВаВа for(i=0;iВаВаВаВаВаВаВаВа {
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа printf("%f ",B[i]);
ВаВаВаВаВаВаВаВа }
ВаВаВаВаВаВаВаВа //Поиск обратного пути
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"\n\nOptimal'nii put'(v obratnom poryadke):\n"<<"V";
ВаВаВаВаВаВаВаВа printf("%d",c);
ВаВаВаВаВаВаВаВа h=c-1;
ВаВаВаВаВаВаВаВа int b=B[c-1];
ВаВаВаВаВаВаВаВа while(b>0)
ВаВаВаВаВаВаВаВа {
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа for(i=0;iВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа if((A[i][h]==1)&&(B[i]==B[h]-1))
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа {
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"V";
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа printf("%d",i+1);
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа h=i;ВаВа
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа b--;
ВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВаВа }
ВаВаВаВаВаВаВаВа }
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"\n";
}
else
{
ВаВаВаВаВаВаВаВа cout<<"\nPuti net!\n";
}
delete A,B;return 0;
}
Примеры выполнения программы:
1.
2.
3.
Использованная литература:
1. ВлТеория графовВ». Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине ВлДискретная математикаВ». Сост.: Н.И. Житникова, Г.И. Федорова, А.К. Галимов. - Уфа, 2005 -37 с.
2. Курс лекций по дискретной математике Житникова В.П.
3. ВлСамоучитель С++В», Перевод с англ. тАУ3 изд. тАУ СПб.: БХВ-Петербург, 2005 тАУ 688 с.
4. ВлДискретная математика для программистовВ», Ф.А.Новиков.
5. ВаВлВведение в дискретную математикуВ», Яблонский.
6. ВаВлКурс дискретной математикиВ», Неферов, Осипова.
7. ВлИнформатикаВ» Л.З.Шауцукова.
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Актуальные проблемы квантовой механики
Алгебра и алгебраические системы