Элементы общей топологии

Топология тАУ одна из самых молодых ветвей геометрии. Топология является одним из самых абстрактных разделов современной математики. Примерно за сто лет её существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики.

Топология (от греческого ВлτοποξВ» тАУ место, окрестность, ВлλογοξВ» тАУ закон) тАУ раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом числе направлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупных проблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы стали мощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяет упростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математики и обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема-то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.

Целью первой главы курсовой работы было рассмотреть основные элементы общей топологии.

Задачи:

В· дать определение топологического пространства;

В· рассмотреть свойства топологических пространств;

В· охарактеризовать топологические преобразования.

Во второй главе работы мы попытались рассмотреть топологические свойства поверхностей. Были поставлены следующие задачи:

В· дать определение двумерного многообразия;

В· рассмотреть эйлерову характеристику поверхности;

В· охарактеризовать ориентируемые и неориентируемые поверхности.


1. Элементы общей топологии

1.1 Понятие топологического пространства

1.1.1 Понятие метрического пространства

Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ, то есть

А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.

В частности, возможно А = В.

Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика r, если определено отображение

r: Х ´ Х Во R,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. " х, у Î Х { r (х, у) ³ 0}, причем r (х, у) = 0 Û х = у.

2. " х, у Î Х { r (х, у) = r (у, х)}.

3. " х, у, z Î Х {r (х, у) + r (у, z) ³ r (х, z)}.

Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 тАУ аксиомой треугольника.

Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Х, r).

В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство (Х,r) обозначают просто Х.

Число r(х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.


1.1.2 Примеры метрических пространств

Пример 1. Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:

r(х, у) =.

Очевидно, аксиомы 1 тАУ 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) тАУ метрическое пространство.

Пример2. Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = (у тАУ х)2 не является метрическим пространством.

Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:

r(2, 3) = (3 тАУ 2)2 = 1, r(3, 4) = (4 тАУ 3)2 = 1,

r(2, 4) = (4 тАУ 2)2 = 4 и r(2, 3) + r(3, 4) < r(2, 4).

Определение 1. Пусть (Х, r) тАУ метрическое пространство, х0 Î Х,

r > 0 тАУ действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х0 и радиусом r множество

U (x0, r) = {x | x Î X, r (x, x0) < r }.

Определение 2. Подмножество G Ì Х будем называть открытым в

(Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G.

Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.

Определение 3. Окрестностью точки Аметрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) просто Фr.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. 1) Объединение любой совокупности {Ga} множеств из Фr принадлежит Фr.

GВаÎ Фr.

2) Пересечение любых двух множеств G1 и G2 из Фr принадлежит Фr.

G1 ÇG2 Î Фr.

3) Метрическое пространство Х тАУ открытое множество, то есть

Х Î Фr, Æ Î Фr.

Доказательство. 1) Пусть . Обозначим

G = .

Возьмём произвольную точку х0 Î G. Тогда существует такое a0, что х0 Î , и так как Î Фr, то найдётся число r0, что

U (х0, r0) Ì .

Так как G0 Ì G, то U (х0, r0) Ì G.

Итак, G тАУ открытое множество.

2) Пусть G = G1 Ç G2, где G1, G2 Î Фr и G ВаÆ.

Если х0 Î G, то х0 Î G1 и х0 Î G2.

Тогда существуют такие радиусы r1 и r2, что


U(х0, r1) Ì G1, U(х0, r2) Ì G2.

Обозначим r = min {r1, r2}, тогда

U (х0, r) Ì G1 Ç G2 = G.

Итак, G тАУ открытое множество.

3. Так как всегда можно представить

Х = ,

где Ua тАУ открытый шар радиуса r, с центром в точке , объединение рассматривается по всем точкам пространства, то в силу 1 получим, что пространство Х тАУ открыто. Пустое множество мы предполагаем всегда открытым.

В дальнейшем описанное нами семейство Фr всех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r) будем называть топологией, индуцированной метрикой r в Х..

1.1.3 Определение и примеры топологических пространств

Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т.д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики.

Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.

Определение 1. Пусть Х тАУ непустое множество элементов произвольной природы, Ф = {} тАУ семейство подмножеств множества Х, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Само множество Х и пустое множество Æ принадлежат семейству Ф.

2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф.

3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф.

Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой.

Пара (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некоторая топология, называется топологическим пространством.

Элементы множества Х называются точками топологического пространства, элементы семейства Ф называются открытыми множествами в (Х, Ф).

Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать: Х тАУ топологическое пространство, GВатАУ открытое множество, то есть не указывать постоянно связь с топологией Ф.

Примеры топологических пространств.

Пример 1. Х тАУ произвольное множество. Из аксиомы 1 топологического пространства вытекает, что среди открытых множеств любой топологической структуры в Х обязательно должны быть пустое множество Æ и само множество Х. Очевидно, что для семейства

Фт = {Æ, X},

которое состоит лишь из этих двух множеств, выполняются также и аксиомы 2 и 3.

Поэтому Фт = {Æ, X} является простейшей топологической структурой в Х. Эта топология называется тривиальной, а пара (Х, Ф) тривиальным топологическим пространством. Иногда эту пару называют антидискретным топологическим пространством.

Пример 2. Другой крайностью является так называемое дискретное топологическое пространство (Х, Фd), где Фd представляет собой семейство всех подмножеств множества Х. Очевидно, что и в этом случае все аксиомы 1 тАУ 3 выполняются.

Пример 3. Пусть Х = R3. Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусом r, а также всё множество Х и пустое множество.

Очевидно, аксиома 1 выполняется.

Пусть {U(ra)} тАУ любая система открытых множеств. Тогда их объединением будет шар с центром О и радиусом r = .

Если Ва= ¥, то U(r) = X.

Следовательно, аксиома 2 выполняется.

Пересечением двух множеств U(r1) и U(r2) будет множество U(r), где r = , то есть аксиома 3 также выполняется.

Выделенное нами семейство открытых множеств является топологией в R3, которую иногда называют концентрической.

Определение 2. Пусть в множестве Х введены две топологии Ф1 и Ф2. Говорят, что Ф1 сильнее Ф2 (или Ф2 слабее Ф1), если Ф2 Ì Ф1, то есть любое множество из Ф2 принадлежит Ф1.

Очевидно, самой сильной топологией является дискретная топология, а самой слабой тАУ тривиальная.

А вообще тАУ две топологии на одном и том же множестве могут быть несравнимыми.

Пример.

Х = ,

Ф1 = {Æ, Х, },

Ф2 = {Æ, Х, }.

Топологии Ф1 и Ф2 несравнимы.

Теорема 1. Пересечение произвольного множества топологий, заданных на Х, является топологией в Х. Эта топология Ф слабее любой из данных топологий Ф.

Доказательство. Пусть .

Так как для любого a

{Х, Æ} Ì Ф,

то

{X, Æ} Ì Ф.

Далее, из того, что каждое ФВазамкнуто относительно взятия любых объединений и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и множество .

Теорема 2. Пусть А тАУ произвольная система подмножеств множества Х. Тогда существует минимальная топология в Х, содержащая А.

Действительно, всегда существуют топологии, содержащие А, например, дискретная. Пересечение всех топологий, содержащих А и есть искомая топология. Эта минимальная топология называется топологией, порождённой системой А.

1.2 Свойства топологических пространств

1.2.1 Понятие подпространства

Если У подмножество Х, а (Х, Ф) тАУ топологическое пространство, то на У можно рассматривать топологию


y = {Ç У | GВаÎ Ф }.

Действительно, обозначим:

SВа= Ç У, y = { S}.

1. ВаÞ Æ, У Î Y.

2. ВаSВа= (GÇ У) = (G)Ç У Î y.

3. SВаÇ SВа= (GÇ У) Ç (GÇ У) = (GÇG) Ç У Î y.

(У, y) тАУ называют топологическим подпространством пространства (Х, Ф), а y тАУ топологией, индуцированной топологией Ф.

Пример. Пусть Х = Е3. Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусами r, а также все множество Х и пустое множество. Известно, что набор открытых множеств задает топологию Фк на Х, то есть (Х, Фк) топологическое пространство.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку О и обозначим ее У. Тогда У тАУ подмножество Х и на У индуцируется следующая топология: открытыми множествами будут У, Æ и открытые круги с общим центром О и радиусами r.


1.2.2 Замкнутые множества. Внутренние, внешние и граничные точки

Определение 1. Подмножество А топологического пространства

(Х, Ф) называется замкнутым, если его дополнение Х \ А открытое множество.

Так как дополнение к дополнению множества А есть снова А, то получаем: множество А открыто в том и только в том случае, когда дополнение к нему замкнуто.

Если (Х, Ф) тАУ антидискретное топологическое пространство, то дополнения к Х и к Æ являются единственными замкнутыми множествами, но учитывая, что

Х / Х = Æ, Х / Æ = Х,

получаем: Æ и Х тАУ являются также и замкнутыми множествами.

Х и Æ замкнуты (и одновременно открыты) в любом топологическом пространстве (Х, Ф).

Если Ф тАУ дискретная топология, то любое множество замкнуто и открыто.

Если Х тАУ множество действительных чисел и Ф обычная топология, то есть индуцированная естественной метрикой, то множество

[Ва] = {х | Ва£ х £ } = Х \ ((тАУ ¥, ) È (, + ¥))


замкнуто.

Используя формулы де Моргана

Х \ È Ва= Ç (X \ ),

Х \ Ç = È (X \ ),

несложно доказывается следующая теорема.

Теорема 1. (Свойства замкнутых множеств)

1. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество.

2. Объединение любых двух замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Доказательство. Пусть для любого a определено множество

FВа= X \ ,

где - открытое множество в (Х, Ф).

1. F0 = Ç FВа= Ç(X \ ) = X \(È ).

Так как È Ва= G0 Î F, то F0 тАУ замкнуто.

2. F = F1 È F2 = (X \ G1) È (X \ G2) = X \ (G1 Ç G2).

Так как G1 Ç G2 = G Î F, то F тАУ замкнуто.

Теорема 2. Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством; объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Однако, если в R с обычной топологией рассмотреть множества

Gn= ,

то

Gn = [тАУ1, 1],

то есть мы указали пример, когда пересечение бесконечного множества открытых множеств оказалось замкнутым.

Пусть (Х, Ф) тАУ топологическое пространство. Открытое множество U называется окрестностью точки х если х Î U (х Î X и U Î Ф).

Определение 2. Точка Ваназывается внутренней точкой некоторого множества H (H Ì X), если существует такая окрестность U точки , что U Ì H. Множество всех внутренних точек множества H обозначается через int H и называется внутренней областью H или внутренностью H.

Определение 3. Точка Ваназывается внешней точкой множества H, если существует такая окрестность V точки , в которой нет точек из H, т.е. V Ì Сх H=Х \ H. Множество всех внешних точек множества H обозначается через ext H и называется внешней областью H.

Определение 4. Точка с называется граничной для множеств H, если в любой окрестности точки с имеются как точки множества H, так и точки не принадлежащие H.

Множество всех граничных точек множества H обозначается через H и называется границей H.

Очевидно:

int H È ext H È H = X

int H Ç ext H = ext H Ç H = int Ç H = Æ

int H = ext Cx H, ext H = int Cx H

H = ВаCx H

Определение 5. Точка Ваназывается точкой прикосновения множества H, если каждая окрестность точки Ваимеет с H хотя бы одну общую точку.

Множество всех точек прикосновения множества H называется замыканием множества H и обозначается . Ясно, что Ва= int H È H и является замкнутым множеством.

Определение 6. Точка Î H называется изолированной точкой множества H, если существует окрестность U точки , такая, что

U Ç H = {}

Определение 7. Если ВаÎ Ваи не является изолированной для H, то она называется предельной точкой множества H.

Ясно, что в каждой окрестности предельной точки Î H существуют точки множества H, отличные от .

Поскольку замыкание распадается на множество изолированных и предельных точек, а первое всегда содержится в H, то приходим к следующему утверждению:

Теорема 3. Множество H замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, то есть, если

H =

Действительно, если H тАУ замкнуто, то C H = X \ H открыто. Поэтому C H = ext H.

Отсюда получаем

H = int H È ∂ H = .

Теорема 4. Если замкнутое множество F содержит множество H, то F содержит и .

Доказательство. Так как H Ì F, то все предельные точки H будут являться предельными и для F, а поэтому они принадлежат F, следовательно

ВаÌ F.

Следствие. Замыкание множеств H есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих H.

Действительно, согласно теореме 5 Вапринадлежит любому замкнутому множеству, содержащему H, а по теореме 3- замкнутое множество.

Определение 8. Множество H называется всюду плотным в топологическом пространстве (Х, Ф), если Ва= X.

Множество А называется нигде не плотным в пространстве (Х, Ф), если дополнение к замыканию А всюду плотно в Х, то есть = Х

1.2.3 Базис и отделимость топологического пространства

Определение 1. Пусть (Х, Ф) тАУ топологическое пространство, и пусть G* ={G} тАУ некоторое семейство открытых множеств в этом пространстве. Если любое открытое множество в (Х, Ф) представимо в виде объединения некоторых множеств G*, то G* называется базисом топологического пространства (Х, Ф) или базой.

Теорема 1. Для того, чтобы семейство G* ={G} Ì F было базисом топологического пространства (Х, Ф) необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Î Х и любой её окрестности Ua существовало множество GaÎ G* такое, что Î GaВаи GaÌ Ua.

Теорема 2. Для того, чтобы семейство подмножеств G* = {G} было базисом некоторого топологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов U, V Î G* и каждой точки хÎ U Ç V существовал такой элемент W Î G*, что х Î W и W Ì U Ç V. При этом Æ Î G* и GВа= X.

Доказательство. 1. Пусть G* тАУ база. Тогда, так как U Ç V тАУ открытое множество, то согласно теореме 1 существует W такое, что W Î G* и х Î W Ì U Ç V.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть G* тАУ семейство с выделенными нами специальными свойствами. В-семейство всевозможных объединений элементов из G*. Покажем, что В-топология. Ясно, что объединение любой совокупности элементов из В является объединением элементов из G*, а, следовательно, принадлежит В.

Пересечение любых двух элементов U и V из В также принадлежит В.

Действительно, если х0 Î U Ç V, то существует U¢ Î G* и V¢ Î G* такие, что U¢ Ì U, V¢ Ì V и х0 Î U¢ Ç V¢. Тогда по условию существует

W Î G*, для которого

х0 Î W Ì U¢ Ç V¢ Ì U Ç V.

Но, тогда

U Ç V = ВаÎ В.

Кроме того,

Х = GВаÎ В.

Итак, В-топология, а G* её базис.

Теорема доказана.

Из предыдущих теорем следует, что не всякое семейство G* может служить базой топологии. Возникает вопрос: можно ли по произвольному семейству {Gi} множеств определить некоторую топологию? Эта топология должна быть определена на множестве Х, являющимся объединением всех элементов {Gi}, каждый элемент из {Gi} должен быть открыт в этой топологии.

Кроме того, возникает вопрос: существует ли наименьшая топология на Х, содержащая {Gi}? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть G* = {Gi} тАУ произвольное непустое семейство множеств. Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G* образует базу некоторой топологии на множестве Х = ВаGi.

Доказательство. Обозначим В-семейство всевозможных конечных пересечений элементов из G*. Тогда пересечение любых двух элементов из В снова является элементом В. В силу теоремы 2 получим, что В-база некоторой топологии.

Теорема доказана.

У пространств, топология которых обладает счетной базой, есть много хороших свойств.

Примеры. 1. В любом топологическом пространстве (Х, Ф) множество Ф тАУ база (очевидно).

2. (R, ), ВатАУ топология, заданная метрикой.

G* = {Æ, всевозможные интервалы} тАУ база.

3. (Х. Ф) дискретная топология.

G* = {Æ} È {{х}| х Î Х} тАУ база.

Аксиома отделимости

Наличие хороших свойств пространства зависит от возможности отделить одну точку от другой с помощью окрестностей этих точек.

Поэтому, обычно, рассматривают такие топологические пространства, которые удовлетворяют дополнительным условиям, например, так называемым аксиомам отделимости.

Аксиома Хаусдорфа

Для любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиеся окрестности.

Топологические пространства, в которых выполняется аксиома Хаусдорфа, называют хаусдорфовыми пространствами.

Нетрудно доказать, что любое подпространство хаусдорфова пространства, содержащее не менее двух различных точек, также является хаусдорфовым пространством.

В любом топологическом пространстве можно рассмотреть сходящуюся последовательность точек.

Однако, понятие предела удобно лишь там, где сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Оказывается, аксиома 2 является необходимым и достаточным условием единственности предела сходящейся последовательности.

Пусть в топологическом пространстве (Х, Ф) дана последовательность точек х1, х2, тАж, хn, тАж точка х0 называется пределом этой последовательности, если для любой окрестности Ux0 точки х0 найдётся такой номер n0, что для всех n > n0 точки хn Î Ux0.

При этом последовательность точек {хn} называется сходящейся к точке х0.

Теорема 4. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) сходящаяся последовательность точек {хn} имеет единственный предел.

Пример 1. В силу теоремы 2 Вз 1 любое топологическое пространство, топология которого порождена метрикой, является хаусдорфовым пространством.

Пример 2. Двуточечное топологическое пространство

Х = , Ф = {Æ, Х, }

не является хаусдорфовым пространством.

Действительно, рассмотрим точки Ваи . Для них нет непересекающихся окрестностей, так как окрестностью точки Ваявляется сама точка Ваили все Х, а окрестностью точки Вабудет только Х.

Очевидно, Ç Х = Ваи предложение доказано.


1.2.4 Компактность топологических пространств

Определение 1. Пусть (Х, Ф) тАУ топологическое пространство и множество Н Ì Х. Семейство U = {Аa} открытых множеств Аa называется открытым покрытием множества Н, если

Н Ì .

Подпокрытие покрытия U тАУ это такое подсемейство семейства U, которое само является покрытием для Н.

Определение 2. Топологическое пространство Х называется компактным или компактом, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 3. Множество М в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии (как подпространство).

Пользоваться этим определением компактности множества не очень удобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией. Следующая теорема дает нам возможность обходиться без этих дополнительных построений.

Теорема 1. Для того, чтобы множество М в топологическом пространстве Х было компактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множества М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.

Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф) компактно, а множество F Ì X тАУ замкнуто, то F тАУ компактно.

Доказательство. Пусть U тАУ произвольное открытое покрытие F. Добавим к U открытое множество (Х \ F).

Тогда система {U, (X \ F)} тАУ открытое покрытие Х.

Так как Х тАУ компактно, то из полученного выше покрытия выбираем конечное покрытие Х.

Обозначим его U1. Если U1 содержит X \ F, то удалив из U1 множество X \ F, получим покрытие, причём конечное, для F. Если U1 не содержит X \ F, то U1 и является конечным покрытием F.

В силу теоремы 1 множество F тАУ компактно.

Теорема доказана.

Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) у любых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.

В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х Î В непересекающиеся окрестности множества А тАУ U x и точки х тАУ V x и выделяем из полученного покрытия множества В окрестностями V x конечное покрытие

.

Множества

Ваи

будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.

Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфова пространства (Х, Ф) замкнуто.

Теорема 5. Подмножество в пространстве R3 компактно в том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.

Пример. Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией (Е3, Фr) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.

Доказательство. Пусть Н = {х1, х2, тАж, хn} и {Ga}aÎА тАУ произвольное открытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка хi принадлежит хотя бы одному из множеств Ga. Обозначим G1 одно из множеств множества {Ga}aÎА содержащее х1. Затем обозначим G2 одно из множеств множества {Ga}aÎА содержащее х2 и так далее, для точки хnобозначим Gn одно из множеств множества {Ga}aÎА содержащее хn.

Получили конечный набор открытых множеств G1, G2, тАж, Gn являющийся покрытием множества Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.

1.2.5 Связность топологических пространств

Определение 1. Топологическое пространство (Х, Ф) называется несвязным, если существуют два непустых открытых множества U и V таких, что U È V = Х и U Ç V = Æ.

Другими словами топологическое пространство (Х, Ф) может быть разбито на два непустых открытых множества, не имеющих между собой общих точек.

Топологическое пространство (Х, Ф) называется связным, если не существует такого разбиения.

Пример. Х= (, b), (X, Ф) тАУ связное топологическое пространство, если Ф = {Æ, Х, } и, если Ф = {Æ, Х, , b} тАУ то это пример несвязного топологического пространства.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества U и V, U Ç V = Æ, то U = Cx V и V = Cx U.

Поэтому U и V тАУ замкнутые множества.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия.

Теорема 1. Топологическое пространство (X, Ф) будет связным тогда и только тогда, когда в нем одновременно открытым и замкнутым множеством являются лишь само пространство или пустое множество.

Определение 2. Множество М в топологическом пространстве называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии, то есть связно определяемое им подпространство.

Другими словами, множество М в топологическом пространстве Х называется связным, если нельзя найти двух открытых в Х множеств G1 и G2 таких, что

1. (G1 Ç М) È (G2 Ç М) = М.

2. (G1 Ç М) Ç (G2 Ç М) = Æ.

3. G1 Ç М ¹ Æ, G2 Ç М ¹ Æ.

Теорема 2. В топологическом пространстве (Х, Ф) замыкание связного множества тАУ связно.

Теорема 3. Если А и В два открытых множества в (Х, Ф), причем

А Ç В = Æ

и непустое связное множество

H Ì A È B,

то H Ì A, или H Ì В.

Теорема 4. Пусть {} тАУ совокупность связных подмножеств в пространстве (Х, Ф), имеющих общую точку. Тогда множество H = Ватакже будет связным в (Х, Ф).

Теорема 5. Компоненты двух различных точек либо не пересекаются, либо совпадают.

Теперь мы можем говорить просто о компонентах пространства, на которые они распадаются.

Теорема 6. Компонента топологического пространства (Х, Ф) является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть Н тАУ компонента топологического пространства (Х, Ф), и ВатАУ некоторая ее точка.

Очевидно

Н Ì ,

В силу теоремы 2 множество ВатАУ связно и так как ВаÎ , то

ВаÌ Н.

Поэтому

Ва= Н.

Замечание. Пусть топологическое пространство (Х, Ф) тАУ несвязное, то есть существуют два непустых открытых множества U и V таких, что

U È V = Х

и

U Ç V = Æ.

Если при этом различные точки х и у принадлежат одной компоненте, то {x, y} Ì U или {x, y} Ì V.

Это утверждение вытекает из теоремы 3.

Определение 3. Областью называется непустое связное открытое множество топологического пространства.

Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.

Пример. Пусть Х тАУ множество действительных чисел с топологией . Доказать, что любое подмножество Васвязно.

Доказательство. Рассмотрим произвольное подмножество . Пусть тАУ непустое подмножество , открытое и замкнутое в . Тогда

Ва= ,


где Ваоткрыто в , а Вазамкнуто в Х, т.е. Вадля некоторого , а Вадля некоторого . Так как

,

то для любого Вавыполнены неравенства Ваи .

Действительно, если найдется значение , то . Аналогично, если найдется значение , то .

Итак, Ваи , откуда следует, что Васвязно.

1.3 Топологические преобразования топологических пространств

1.3.1 Непрерывные отображения

Пусть даны топологические пространства (Х, Ф), (У, W) и отображение

: X Во У.

Определение 1. Отображение : X Во У называется непрерывным в точке х0 Î Х, если для каждой окрестности V точки f(x0) существует такая окрестность U точки х0, что (U) Ì V.

Определение 2. Отображение : X Во У называется непрерывным на множестве Н Ì Х, если Ванепрерывно в каждой его точке.

Если Н = Х, то говорят, что Ванепрерывно на Х.

Определение 3. Если : X Во У, В Ì У, то множество всех точек х0 Î Х, для каждой из которых имеем (x0) Î В называется прообразом множества В, и обозначается -1(B), причем имеет место

(-1(B)) Ì B.

Теорема 1. Для того, чтобы отображение : X Во У было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого открытого (замкнутого) множества был открытым (замкнутым) множеством.

Доказательство. 1. Необходимость.

Пусть : Х Во У непрерывно, V открытое множество в У, а

U = -1(V).

Докажем, что U тАУ открытое множество в Х. Пусть ВатАУ любая точка из U и b = (). Множество V является окрестностью точки b. Так как

Вместе с этим смотрят:


РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора


РЖнтерполювання функцiй


Автокорреляционная функция. Примеры расчётов


Актуальные проблемы квантовой механики


Алгебра и алгебраические системы