Биография и труды Колмогорова А.Н.
ФГОУ ВПО
Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота
Кафедра высшей математики
Реферат
по высшей математике
Тема:
Биография и труды Колмогорова А.Н.
Выполнил:
Крупнова А.С.
Калининград 2008
Содержание
Вступление
Основная часть
1. Биография
1.1 Ранние годы
1.2 Университет
1.3 Профессор
1.4 Послевоенная работа
2. Работы Колмагорова А.Н
2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей
2.2 Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом
2.3 Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства
2.4 Бесконечные вероятностные пространства и Влидеальные событияВ»
2.5 Двойственность Колмогорова
2.6 Гносеологический принцип
2.7 Средние Колмогорова
2.8 Колмогоровы теоремы
Заключение.
Список использованной литературы.
Вступление
Я выбрала данную тему, потому что для меня интересна не только биография известного советского математика, но и его труды. Это тема достаточно обширная. В данном реферате я начну с рассмотрения биографии А.Н.Колмогорова. Далее будем рассматривать труды этого великого математика: аксиомы, теоремы.
Основная частьАндрей Николаевич Колмогоров (12 (25) апреля 1903, Тамбов тАФ 20 октября 1987, Москва) тАФ выдающийся отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного Университета (1931), академик Академии Наук СССР (1939). Колмогоров тАФ один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.
Мать Колмогорова тАФ Мария Яковлевна Колмогорова (1871тАФ1903) умерла при родах. Отец тАФ Николай Матвеевич Катаев, по образованию агроном (окончил Петровскую (Тимирязевскую) академию), погиб в 1919 году во время деникинского наступления. Мальчик был усыновлён и воспитывался сестрой матери, Верой Яковлевной Колмогоровой. Тетушки Андрея в своём доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними тАФ десятком ребятишек тАФ по рецептам новейшей педагогики. Для ребят издавался рукописный журнал ВлВесенние ласточкиВ». В нем публиковались творческие работы учеников тАФ рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и Влнаучные работыВ» Андрея тАФ придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая закономерность, но ведь мальчик сам её подметил, без посторонней помощи!
В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия.
Андрей уже в те годы обнаруживает замечательные математические способности, но все-таки ещё рано говорить, что дальнейший путь его уже определился. Были ещё увлечение историей, социологией. Одно время он мечтал стать лесничим. ВлВ 1918тАФ1920 годах жизнь в Москве была нелёгкой, тАФ вспоминал Андрей Николаевич. тАФ В школах серьёзно занимались только самые настойчивые. В это время мне пришлось уехать на строительство железной дороги Казань-Екатеринбург. Одновременно с работой я продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву я испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы мне выдали, даже не потрудившись проэкзаменоватьВ».
Когда в 1920 г. Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечет его на математическое отделение университета, но есть и сомнение: здесь чистая наука, а техника тАФ дело, пожалуй, более серьёзное. Вот, допустим, металлургический факультет Менделеевского института! Настоящее мужское дело, кроме того, перспективное. Андрей решает поступать и туда и сюда. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна, и он делает выбор в её пользу.
В 1920 г. он поступил на математическое отделение Московского университета. ВлЗадумав заниматься серьёзной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков, тАФ вспоминал позднее учёный. тАФ Мне посчастливилось заниматься у П.С. Урысона, П.С. Александрова, В.В. Степанова и Н.Н. Лузина, которого, по-видимому, следует считать по преимуществу моим учителем в математике. Но они тАЮнаходилитАЬ меня лишь в том смысле, что оценивали приносимые мною работы. тАЮЦель жизнитАЬ подросток или юноша должен, мне кажется, найти себе сам. Старшие могут этому лишь помочьВ».
В первые же месяцы Андрей сдал экзамены за курс. А как студент второго курса он получает право на ВлстипендиюВ»: ВлтАжя получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие.В» Теперь есть и свободное время. Оно отдаётся попыткам решить уже поставленные математические задачи.
Лекции профессора Московского университета Николая Николаевича Лузина, по свидетельству современников, были выдающимся явлением. У Лузина никогда не было заранее предписанной формы изложения. И его лекции ни в коем случае не могли служить образцом для подражания. У него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актёр, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами. Профессор умел приводить студентов в соприкосновение с собственной математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Приглашал к совместной духовной деятельности, к сотворчеству. А какой это был праздник, когда Лузин приглашал учеников к себе домой на знаменитые ВлсредыВ»! Беседы за чашкой чая о научных проблемахтАж Впрочем, почему обязательно о научных? Тем для разговора было предостаточно. Он умел зажечь молодёжь желанием научного подвига, привить веру в собственные силы, и через это чувство приходило другое тАФ понимание необходимости полной отдачи любимому делу.
Колмогоров впервые обратил на себя внимание профессора на одной лекции. Лузин, как всегда, вёл занятия, постоянно обращаясь к слушателям с вопросами, заданиями. И когда он сказал: ВлДавайте строить доказательство теоремы, исходя из следующего предположениятАжВ» тАФ в аудитории поднялась рука Андрея Колмогорова: ВлПрофессор, оно ошибочнотАжВ» За вопросом ВлпочемуВ» последовал краткий ответ первокурсника. Довольный Лузин кивнул: ВлЧто ж, приходите на кружок, доложите нам свои соображения более развернутоВ». "Хотя моё достижение было довольно детским, оно сделало меня известным в ВлЛузитанииВ», тАФ вспоминал Андрей Николаевич.
Но через год серьёзные результаты, полученные восемнадцатилетним второкурсником Андреем Колмогоровым, обратили на себя настоящее внимание ВлпатриархаВ». С некоторой торжественностью Николай Николаевич предлагает Колмогорову приходить в определённый день и час недели, предназначенный для учеников его курса. Подобное приглашение, по понятиям ВлЛузитанииВ», следовало расценивать как присвоение почётного звания ученика. Как признание способностей.
Со временем отношение Колмогорова к Лузину поменялось. Под влиянием Павла Сергеевича Александрова, также бывшего ученика Лузина, он принял участие в политическом преследовании их общего учителя, так называемом деле Лузина, которое едва не закончилось репрессиями против Лузина. С самим Александровым Колмогоров был связан дружескими узами до конца жизни.
Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами тАФ формально-аксиоматической (Д. Гильберт) и интуиционистской (Э.Я. Брауэр и Г. Вейль). При этом он получил совершенно неожиданный первоклассный результат, доказав в 1925 г., что все известные предложения классической формальной логики при определённой интерпретации переходят в предложения интуиционистской логики. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.
Особое значение для приложения математических методов к естествознанию и практическим наукам имел закон больших чисел. Разыскать необходимые и достаточные условия, при которых он имеет место, тАФ вот в чем заключался искомый результат. Крупнейшие математики многих стран на протяжении десятилетий безуспешно старались его получить. В 1926 году эти условия были получены аспирантом Колмогоровым.
Многие годы тесного и плодотворного сотрудничества связывали его с А.Я. Хинчиным, который в то время начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности учёных. Наука Вло случаеВ» ещё со времён Чебышева являлась как бы русской национальной наукой. Её успехи преумножили многие советские математики, но современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем в 1929 и окончательно в 1933.
Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать добрых два десятка. Но тогда только начиналась дорога Колмогорова и его друзей в науке. Они много работали, но не теряли чувства юмора. В шутку называли уравнения с частными производными Влуравнениями с несчастными производнымиВ», такой специальный термин, как конечные разности, переиначивался в Влразные конечностиВ», а теория вероятностей тАФ в Влтеорию неприятностейВ».
Норберт Винер, ВлотецВ» кибернетики, свидетельствовал: ВлтАжХинчин и Колмогоров, два наиболее видных русских специалиста по теории вероятностей, долгое время работали в той же области, что и я. Более двадцати лет мы наступали друг другу на пятки: то они доказывали теорему, которую я вот-вот готовился доказать, то мне удавалось прийти к финишу чуть-чуть раньше ихВ».
И ещё одно признание Винера, которое он однажды сделал журналистам: ВлВот уже в течение тридцати лет, когда я читаю труды академика Колмогорова, я чувствую, что это и мои мысли. Это всякий раз то, что я и сам хотел сказатьВ».
В 1930 г. Колмогоров стал профессором МГУ, с 1933 по 1939 год был директором Института математики и механики МГУ, многие годы руководил кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета и Межфакультетской лабораторией статистических методов. В 1935 году Колмогорову была присвоена степень доктора физико-математических наук, в 1939 году он был избран членом АН СССР. Незадолго до начала Великой Отечественной войны Колмогорову и Хинчину за работы по теории вероятностей была присуждена Сталинская премия (1941).
А 23 июня 1941 года состоялось расширенное заседание Президиума Академии наук СССР. Принятое на нем решение кладёт начало перестройке деятельности научных учреждений. Теперь главное тАФ военная тематика: все силы, все знания тАФ победе. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии ведут сложные работы в области баллистики и механики. Колмогоров, используя свои исследования по теории вероятностей, даёт определение наивыгоднейшего рассеивания снарядов при стрельбе.
1.4 Послевоенная работа
Война завершилась, и Колмогоров возвращается к мирным исследованиям. Трудно даже кратко осветить вклад Колмогорова в другие области математики тАФ общую теорию операций над множествами, теорию интеграла, теорию информации, гидродинамику, небесную механику и т. д. вплоть до лингвистики. Во всех этих дисциплинах многие методы и теоремы Колмогорова являются, по общему признанию, классическими, а влияние его работ, как и работ его многочисленных учеников, среди которых немало выдающихся математиков, на общий ход развития математики чрезвычайно велико.
Когда одного из молодых коллег Колмогорова спросили, какие чувства он испытывает по отношению к своему учителю, тот ответил: ВлПаническое уважениетАж Знаете, Андрей Николаевич одаривает нас таким количеством своих блестящих идей, что их хватило бы на сотни прекрасных разработокВ».
Замечательная закономерность: многие из учеников Колмогорова, обретая самостоятельность, начинали играть ведущую роль в избранном направлении исследований. И академик с гордостью подчёркивает, что наиболее дороги ему ученики, превзошедшие учителя в научных поисках. Можно удивляться колмогоровскому подвижничеству, его способности одновременно заниматься тАФ и небезуспешно! тАФ сразу множеством дел. Это и руководство университетской лабораторией статистических методов исследования, и заботы о физико-математической школе-интернате, инициатором создания которой Андрей Николаевич являлся, и дела московского математического общества, и работа в редколлегиях ВлКвантаВ» тАФ журнала для школьников и ВлМатематики в школеВ» тАФ методического журнала для учителей, и научная и преподавательская деятельность, и подготовка статей, брошюр, книг, учебников. Колмогорова никогда не приходилось упрашивать выступить на студенческом диспуте, встретиться со школьниками на вечере. По сути дела, он всегда был в окружении молодых. Его очень любили, к его мнению всегда прислушивались. Свою роль играл не только авторитет всемирно известного ученого, но и простота, внимание, духовная щедрость, которую он излучал.
Круг жизненных интересов Андрея Николаевича не замыкался чистой математикой, объединению отдельных разделов которой в одно целое он посвятил свою жизнь. Его увлекали и философские проблемы (например, он сформулировал новый гносеологический принцип тАФ Гносеологический принцип А.Н. Колмогорова), и история науки, и живопись, и литература, и музыка.
Академик Колмогоров тАФ почётный член многих иностранных академий и научных обществ. В марте 1963 года учёный был удостоен международной премии Бальцана (этой премией он был награжден вместе с композитором Хиндемитом, биологом Фришем, историком Моррисоном и главой Римской католической церкви Папой Иоанном XXIII). В том же году Андрею Николаевичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия (совместно с В.И. Арнольдом). В последние годы Колмогоров заведовал кафедрой математической логики.
ВлЯ принадлежу, тАФ говорил учёный, тАФ к тем крайне отчаянным кибернетикам, которые не видят никаких принципиальных ограничений в кибернетическом подходе к проблеме жизни и полагают, что можно анализировать жизнь во всей её полноте, в том числе и человеческое сознание, методами кибернетики. Продвижение в понимании механизма высшей нервной деятельности, включая и высшие проявления человеческого творчества, по-моему, ничего не убавляет в ценности и красоте творческих достижений человекаВ».
По меткому выражению Стефана Банаха: ВлМатематик тАФ это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик тАФ кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогииВ». К этим редким представителям последних относится и Андрей Николаевич Колмогоров тАФ один из крупнейших математиков двадцатого века.
Колмогоров скончался 20 октября 1987 г. в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Научную деятельность начал в области теории функций действительного переменного, где ему принадлежат фундаментальные работы по тригонометрическим рядам, теории меры, теории множеств, теории интеграла, теории приближения функции. В дальнейшем Колмогоров внес существенный вклад в разработку конструктивной логики, топологии (где им создана теория верхних гомологий), механики (теория турбулентности), теории дифференциальных уравнений, функционального анализа. Основополагающее значение имеют работы Колмогорова в области теории вероятностей, где он совместно с А.Я. Хинчиным начал применять методы теории функций действительного переменного (с 1925 г.). Это позволило Колмогорову решить ряд трудных проблем и построить широко известную систему аксиоматического обоснования теории вероятностей (1933), заложить основы теории Марковских случайных процессов с непрерывным временем. Позднее он развил теорию стационарных случайных процессов, процессов со стационарными превращениями, ветвящихся процессов. Он внес важный вклад в теорию информации. Ему принадлежат исследования по теории стрельбы, статистическим методам контроля массовой продукции, применениям математических методов в разработке вопросов математического образования в средней школе и университетах.
2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей
Элементарная теория вероятностей тАФ та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.
Пусть Ω тАФ множество элементов ω, которые называются элементарными событиями, а F тАФ множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто тАФ событиями), а Ω тАФ пространством элементарных событии.
Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.
Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(x), которое называется вероятностью события x.
Аксиома III (нормировка вероятности).P(Ω) = 1.
Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то P(x+y) = P(x) + P(y).
Совокупность объектов (Ω, F, P), удовлетворяющую аксиомам IтАФIV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).
Система аксиом IтАФIV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Ω состоит из единственного элемента ω, F тАФ из Ω и невозможного событий (пустого множества) Ø, при этом положено P(Ω) = 1, P(Ø) = 0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.
2.2 Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом
Обычно можно предполагать, что система F рассматриваемых событий x, y, z, которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество Ω (аксиома I, а также первая часть аксиомы II тАФ существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m/n будет мало отличаться от P(x). Далее ясно, что 
, так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события Ω всегда m = n, благодаря чему естественно положить P(Ω) = 1 (аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества Ω), то m = m1 + m2, где m,m1,m2 обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x + y, x, y. Отсюда следует:
Следовательно, является уместным положить P(x+y) = P(x) + P(y) (аксиома IV).
2.3 Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства
В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (IтАФIV) выполняется ещё аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности 
событий из F такой, что 
Ø, имеет место равенство 
.
Аксиома непрерывности тАФ это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство (Ω, F, P), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом IтАФIV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий F конечна, аксиома V следуeт из аксиом IтАФIV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом IтАФV является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом IтАФIV.
Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (IтАФIV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля тАФ вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.
2.4 Бесконечные вероятностные пространства и Влидеальные событияВ»
Алгебра F событий пространства элементарных событий Ω называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы 
событий xn из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами).
Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Ω, F0, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F = σ(F0), содержащая F0.
Более того, справедлива теорема (о продолжении). Определённую на (Ω, F0) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств P = P(·) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом.
Таким образом, каждое вероятностное пространство (Ω, F0, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Ω, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.
Вместе с тем множества из сигма-алгебры F бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как Влидеальные событияВ», которым ничего не соответствует в реальном мире.
Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких Влидеальных событийВ» приводит к определению вероятностей Влреального событияВ» из F, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.
Двойственность Колмогорова тАФ двойственность в алгебраической топологии, состоящая в двух изоморфизмах:
Пусть A есть замкнутое множество хаусдорфова локально компактного пространства R.
Двойственность Колмогорова для групп гомологий даёт изоморфизм
,
если Hr(R,G) = 0 и Hr + 1(R,G) = 0.
Двойственность Колмогорова для групп когомологий даёт изоморфизм
,
если Hr(R,G) = 0 и Hr + 1(R,G) = 0.
2.6 Гносеологический принцип
Гносеологический принцип - утверждение, что в мышлении и творчестве человека проявляется только тенденция к поискам более простых (оптимальных) решений. Достижение лучших решений, построенных совсем иначе, таких решений, которые не могут быть получены из предложенного путем мелких улучшений, лежит за пределами того, что может уловить самая изощренная интуиция.
Этот принцип был изложен в письме А. Н. Колмогорова от 27 августа 1963 г. (опубликовано в 2005 г.). В 2005 г. Экспериментальная проверка самообучения человека на моделях подтвердила истинность данного принципа. Поведение человека в таких условиях подобно поиску выхода из трясины: человек делает пробные шаги в разных направлениях. При неудаче он обычно возвращается в исходную позицию (элементарная 0-эвристика). Реже используется и другая тактика: при неудаче делается лишь еще один шаг (элементарная 1-эвристика). Поскольку в экспериментальных лабиринтах с переменной структурой наблюдается явление инвариантности (при воздействии на вход Влчерного ящикаВ» значение выхода не меняется), то нахождение оптимума блокируется. Исследования показали, что этот принцип действителен для эволюции любых систем.
2.7 Средние Колмогорова
Средние Колмогорова (они же тАФ средние по Колмогорову) для действительных чисел x1, тАж , xn тАФ величины ряда (*)
,
где φ тАФ непрерывная строго монотонная функция, а φ-1 тАФ функция, обратная к φ. При φ(x) = x получают среднее арифметическое, при φ(x) = log x тАУ среднее геометрическое, при φ(x) = x-1 тАФ среднее гармоническое, при φ(x) = x2 тАФ среднее квадратическое, при φ(x) = xα, α ≠ 0 тАФ среднее степенное.
В 1930 году А.Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина тАФ функция M(x1, тАж, xn), являющаяся:
В· непрерывной,
В· монотонной по каждому xi, i = 1, тАж, n
В· симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
В· среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
В· некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,
тАФ имеет вид ( * ).
Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.
Колмогоровы теоремы:
1. Теорема о нормированных пространствах (1934);
2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928);
3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933).
2.8.1 Теорема о нормированных пространствах
Нормированное пространство тАУ векторное пространство X, наделенное нормой ||x||, x
X. Норма индуцирует на Х метрику ρ(x, y) = ||x-y|| и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство тогда и только тогда является гильбертовым, когда
||x+y|| + ||x-y|| = 2*||x||2 + 2*||y||2 для x, yX.
Отделимое топологическое векторное пространство нормируемо, если его топология совместима с некоторой нормой. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля.
2.8.2 Теорема о применимости больших чисел закона
Данная теорема Колмогорова дает ответ на вопрос: при каких условиях суммы Yn предельно постоянны?
Не ограничивая общности, можно предположить, что медианы величин Хn,kравны нулю; пусть Хn,k= Хn,kпри | Хn,k|≤1 и Хn,k= 0 при | Хn,k|>1, тогда одновременное выполнение двух условий
при 
и
при
Необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Yn. В качестве Сnможно взять 
. Если математические ожидания 
существуют, то легко указать дополнительные условия, при которых можно выбрать Сn= EYn, что приводит к необходимым и достаточным условиям больших чисел закона в классической формулировке, т.е.
.
Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {Xn} эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Ynв этом случае необходимо и достаточно условие 
при 
.
2.8.3 Теорема о применимости больших чисел усиленного закона
В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н.Колмогоровым: достаточное (1930) тАУ для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) тАУ для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин Xi). Теорема Колмогорова для случайных величин X1, X2, тАж, Xn, тАжс конечными дисперсиями утверждает, что из условия
вытекает приложимость к последовательности X1, X2, тАж, Xn, тАж больших чисел усиленного закона
.
В терминах дисперсий условие
оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел bnс расходящимся рядом
можно построить последовательность независимых случайных величин Xnс DXn = bn, не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия
может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mXn тАУ медиана Xn. Сходимость ряда
необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что
с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.
В доказательствах А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова вместо сходимости ряда
устанавливается сходимость ряда
,
где nk = 2k. При этом А.Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.
ЗаключениеИ в заключении можно сказать, что А.Н. Колмогоров весьма талантливый человек и развитый во всех направлениях. Его труды привнесли много нового в развитие науки и техники. Он дал новые направления на изучение еще не открытых областей знаний.
Его достижения не прошли бесследно тАУ при жизни он был почетным членом Институтов и университетов, а также имел огромное количество наград: премий, медалей, орденов и т.п.
Список использованной литературы
1. А.М. Прохоров, И.В. Абашидзе Математический энциклопедический словарь Москва Научное издательство ВлБольшая российская энциклопедияВ» 1995
2. А.В. Прохоров Введение в теорию вероятностей Москва 1982
3. " onclick="return false">
Вместе с этим смотрят:
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнженерна графiка
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй