Дроби
Содержание
Введение. 3
Глава 1. Теоретико-методологические основы формирования математического понятия дроби на уроках математики. 6
1.1. Процесс формирования математических понятий на уроках математики 6
1.2. Методика введения математических понятий на уроках математики 16
1.3. Понятие дроби. 24
1.4. Введение и формирования математического понятия дроби на уроках математики. 27
Выводы по 1 главе. 36
Глава 2. Практическое исследование введения и формирования математического понятия дроби на уроках математики. 37
2.1. Содержание и ход эксперимента. 37
2.2. Анализ полученных результатов. 44
Выводы по 2 главе. 47
Заключение. 48
Список литературы. 49
Приложения. 50
Большинство применений математики связано с измерением величин. Однако для этих целей натуральных чисел недостаточно; не всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от натуральных. К этому выводу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел тАУ получили рациональные числа, а в V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице длины нельзя выразить рациональным числом. Позже, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными.
Действительные числа тАУ не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, продолжается и сегодня тАУ этого требует развитие различных наук и самой математики.
Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как правило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.
Исходя из актуальности данной проблемы мы выбрали темой нашего исследования ВлФормирование математических понятийВ» (Дроби.5 класс).
Объект исследования тАУ процесс формирования понятия дроби.
Предмет исследования тАУ приемы введения и формирования математических понятий на уроках математики.
Цель исследования тАУ разработать приемы введения и формирования математических понятий на уроках математики.
В соответствии с целью в основу исследования была положена гипотеза, что понятие дроби будет сформировано у учащихся 5 классов при систематической и целенаправленной работе, направленной на формирование понятия дроби как рационального числа.
В соответствии с целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
- проанализировать методико-математическую и психолого-педагогическую литературу и выявить теоретические положения, связанные с понятием дроби;
- проанализировать методико-математическую литературу и выявить приемы введения и формирования понятия дроби на уроках математики, рассмотреть различные подходы к введению понятия дроби;
- отобрать и апробировать упражнения, направленные на формирование дроби как рационального числа;
- разработать методические рекомендации по приемам введения и формирования дроби как рационального числа.
Для решения поставленных задач использованы методы исследования: наблюдение, педагогический эксперимент, анализ продуктов деятельности учащихся, тестирование.
Исследования проводились в три этапа:
1 этап тАУ поисково-теоретический. В процессе анализа психолого-педагогической и методической литературы были обеспечены методология, методика исследования, его понятийный аппарат, проблема, объект, предмет, задачи, методы и гипотеза исследования.
2 этап тАУ опытно-экспериментальный. На этом этапе разработаны и проведены уроки математики с использованием заданий творческого характера, осуществлялась проверка рабочей гипотезы; проводилась обработка полученных результатов.
3 этап тАУ заключительно-обобщающий. Этот этап включал обработку и систематизацию материала, апробацию и внедрение результатов в практику.
Все 3 этапа носили отражение в нашей работе.
Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, включающего 20 наименований, приложений.
База исследования: Исследование осуществлялось на базе Семибугровской СОШ с. Семибугры Камызякского района.
Испытуемые тАУ ученики 5 ВлАВ» класса в количестве 14 учащихся и ученики параллельного 5 ВлБВ» класса в количестве 14 учащихся.
Практическая значимость исследования состоит в формировании математического понятия дроби как рационального числа, подборе заданий, направленных на формирование дроби как рационального числа.
Мы отличаем один объект (явление) от другого, пользуясь различными качествами, признаками или особенностями объектов (и явлений). Среди различных свойств изучаемых объектов можно выделить: 1) единичные (индивидуальные) свойства; 2) общие свойства.
Для единичных свойств некоторого объекта характерно то, что они являются его отличительными свойствами. Например: а) Самая большая река в Европе - Волга; б) уравнение второй степени с одной переменной - квадратное уравнение.
Общие свойства некоторого объекта могут быть как отличительными, так и неотличительными его свойствами. Например, люди - позвоночные существа (неотличительное свойство). Общее свойство объекта может быть его отличительным свойством, если оно выражает так называемые существенные свойства этого объекта, свойства, которые являются его признаками, выделяющими его из множества других объектов. Например, люди - существа с членораздельной речью. В процессе отражения в мозгу человека этих свойств объектов возникает особая форма мышления называемая понятием.
Что же является характерным для такой формы мышления, как понятие?
Во-первых, то, что понятие есть продукт высокоорганизованной материи; во-вторых, то, что понятие отражает материальный мир; в-третьих, то, что понятие предстает в познании как средство обобщения; в-четвертых, то, что понятие означает специфически человеческую деятельность; в-пятых, то, что формирование понятия в сознании человека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.
Процесс формирования некоторого понятия - постепенный процесс, в котором можно усмотреть несколько последовательных стадий. Попытаемся проиллюстрировать этот процесс на простейшем примере - формировании у детей понятия о числе 3.
1) На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами, такими, например, какие изображены на рисунке 1. Они не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, из которых эти множества состоят. На этой стадии процесса познания они могут обращать внимание (усматривать) самые разнообразные конкретные свойства как самих предметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами.
Этот процесс ВлвиденияВ» создает в сознании ребенка особую форму отражения реальной действительности, которая называется восприятием (ощущением). Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании - первая ступень в формировании соответствующего ему понятия. Восприятие существует в сознании человека только в то время, когда какие-либо объекты или явления воздействуют на его органы чувств; в то же время оно не исчезает бесследно.
2) Уберем объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том, каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этих множеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что всюду было по ВлтриВ». Если это так, то в сознании детей создалась новая форма представление о числе ВлтриВ».
3) До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по 3 предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познания дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове ВлтриВ», характеризует любое множество любых элементов вида (а,b, с). Тем самым выделена существенная общая особенность таких множеств - Влиметь три элементаВ». Теперь можно сказать, что в сознании детей сформировано понятие о числе 3.
Понятно, что приведенная нами иллюстративная схема является лишь грубым приближением к реальному процессу мышления. Вместе с тем даже из этого простейшего иллюстративного примера видно, что понятия образуются путем операции обобщения, которая неразрывно связана с абстрагированием.
Отметим, что известно несколько видов обобщения. Один из них строится на основе выделения общих признаков объектов, отбрасывании тех, которыми они отличаются. Так, например, рассматривая такие понятия, как Влтреугольник АВСВ», ВлтреугольникВ» и ВлмногоугольникВ», нетрудно установить, что основное различие между ними состоит именно в степени обобщенности: понятие ВлтреугольникВ» шире, чем понятие Влтреугольник АВСВ», а понятие ВлмногоугольникВ» шире, чем ВлтреугольникВ». Возрастание обобщенности понятий происходит по мере того, как отбрасываются те свойства-признаки, которые отличают одни объекты от других. Так, в понятии ВлмногоугольникВ» выделены лишь общие признаки, присущие всем многоугольникам, те же, которые отличают один вид многоугольника от другого, отброшены.
В научном познании такого рода понятия, называемые абстрактными, имеют существенное значение, позволяя классифицировать объекты, сравнивать их между собой, отождествлять или различать и т.д.
Обобщение объектов и явлений посредством понятия увеличивает познавательную ценность мышления, во-первых, потому, что более общие понятия дают возможность мысленно обозреть и изучить более обширное множество объектов, а во-вторых, потому, что, отбрасывая индивидуальные признаки объекта, мы тем самым выявляем общие, более устойчивые признаки, которые ранее в рамках более узких понятий оставались нераскрытыми.
Другой способ обобщения позволяет образовывать так называемые конкретные понятия. Особенность его состоит в том, что обобщение здесь происходит не только путем выделения общих свойств объектов, но и путем сохранения в понятии его особенных и единичных признаков.
Так, например, в математическом понятии ВлпроизводнаяВ» обычно выступает необходимость наряду с выделением общих свойств, присущих всем видам производной, указать и специфические свойства этого понятия: производная непрерывной функции, производная трансцендентной функции и т.п.
Таким образом, в отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашем сознании только существенные для этого случая признаки и свойства (являющиеся признаками этого понятия).
Итак, понятие - это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.
Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.
Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему. Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.
Так, для понятия ВлпараллелограммВ» содержание будет представлено такими, например, свойствами: 1) противоположные стороны конгруэнтны; 2) противоположные углы конгруэнтны, 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам и т.д.
Объем понятия ВлпараллелограммВ» представлен множеством таких четырехугольников, как: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты
Приведенный пример показывает, что содержание понятия - это множество признаков понятия, из которых каждый необходим, а все вместе достаточны для установления понятия.
Содержание понятия жестко определяет его объем, и, наоборот, объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует в некотором смысле обратная зависимость. Так, например, если увеличить содержание понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны), то сразу уменьшится его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).
Если, например, увеличить объем понятия Влсокращение дробиВ», включив его в понятие Влтождественные преобразованияВ» (разложение на множители или слагаемые, сокращение дроби и т.д.), то содержание этого понятия уменьшится (возможность деления компонентов выражения на одно и то же число исчезает для большинства тождественных преобразований).
В процессе обобщения объем понятия становится шире, а его содержание - более узким.
В процессе специализации понятия - наоборот: сужается объем понятия, но расширяется его содержание. Следует заметить, что рассмотренная зависимость между содержанием и объемом некоторого понятия имеет место лишь тогда, когда в процессе изменения содержания объем одного понятия является подмножеством объема другого понятия.
Большая роль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символическому их выражению. Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области науки или техники, называется научным термином. Например, слово ВлромбВ» - математический термин. При этом необходимо, чтобы символика и речь (и в частности, термин) выражали данное понятие однозначно. В качестве контрпримера можно привести слова, называемые омонимами. Одно из них - известный школьный термин ВлкореньВ», который можно понимать в различных смыслах (корень уравнения, корень растения, корень квадратный из числа, Влкорень злаВ»). В данном случае слово играет отрицательную роль: понятие не выражается им однозначно.
С другой стороны, существуют различные термины, выражающие одно и то же понятие, причем совершенно однозначно (слова-синонимы). Например, термин ВлквадратВ» можно заменить терминами Влправильный четырехугольникВ», Влромб с прямым угломВ» и т.д. В данном случае роль слова положительна: оно уточняет понятие.
Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое 7 или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, а все вместе - достаточны для установления данного понятия. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков. Вот пример правильного определения понятия параллелограмма: ВлПараллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны попарно равны и параллельныВ»; а вот контрпримеры определений понятия ВлквадратВ»: 1) квадрат - параллелограмм, у которого все углы прямые (недостаточное); 2) квадрат - ромб с прямым углом (правильное); 3) квадрат - параллелограмм с равными сторонами и с четырьмя прямыми углами (избыточное).
Необходимо, чтобы учащиеся понимали, что никакие определения не доказываются. Вместе с тем в процессе обучения математике можно (и полезно) мотивировать то или иное определение понятия. Хотя определение понятия - суть условное соглашение, но оно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия или в соответствии с теми или иными требованиями (при введении нового понятия). Для некоторых понятий их определения и выражающие их термины выглядят вполне естественными (треугольник - многоугольник с тремя внутренними углами); для других необходимы мотивировка или - пояснение.
Некоторые первоначальные математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятие множество - неопределяемое понятие.
Определение каждого понятия можно было бы рассматривать в динамике, т.е. в виде процесса сведения одного понятия к другому. Последовательность шагов здесь конечна, так как, продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к понятиям, считающимся первоначальными.
В последовательности понятий, полученной в результате процесса определения некоторого понятия, каждое понятие (начиная со второго) является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объемы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения: vl v2 v3.. vn.
Например (рис.1): квадрат есть особый ромб; ромб - особый параллелограмм; параллелограмм - особый четырехугольник; четырехугольник - особый многоугольник; многоугольник - особая геометрическая фигура; геометрическая фигура - точечное множество.
Таким образом, мы дошли до первоначальных понятий: точка и множество.
В процессе обучения такие понятия должны быть особо выделены, а принятие их в качестве основных мотивировано.
Понятие может быть правильно определено различными способами.
1. Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат - прямоугольник с равными сторонами; ромб-параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.
На языке теории множеств и математической логики сущность этого способа определения понятия заключается в следующем:
Если во множестве А имеются элементы х, обладающие некоторым свойством Р(х), и элементы, не обладающие этим свойством, то данное свойство Р(х) разбивает множество А на два подмножества:
причем эти два множества таковы: 
Здесь множество А есть множество объектов, принадлежащих родовому понятию, а свойство Р есть видовой признак (видовое отличие) данного понятия. В определении Влквадрат - прямоугольник с равными сторонамиВ» множеством А является множество всех прямоугольников, а свойством Р (видовым отличием понятия ВлквадратВ») является свойство Влиметь Влне стороныВ».
2. Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например, окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
3. Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an = a n-1 + d определяет арифметическую прогрессию.
4. Через абстракцию. Например, натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств.
Процесс выяснения объема понятия называется классификацией понятия. Таким образом, под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.
Например, классификацию понятия натурального числа можно провести так, как показано на следующей схеме (рис.2).
Рис.2.
Правильная классификация предполагает соблюдение определенных условий, которые могут быть проиллюстрированы вышеприведенной схемой классификации натуральных чисел:
1. Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации. В приведенном примере таким признаком является число простых делителей данного натурального числа.
2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми. В приведенном примере это выражается тем, что пересечение множеств простых, составных чисел и единицы пусто.
3. Сумма объемов понятий, получающаяся при классификации, должна равняться объему исходного понятия. В приведенном примере числа простые, составные и единица исчерпывают все множество натуральных чисел.
4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.
В приведенном примере, проводя классификацию натуральных чисел, было бы неверным подразделить множество натуральных чисел на простые числа, числа, имеющие три различных делителя, и единицу. В этом случае произошел бы так называемый Влскачок в классификацииВ», так как прежде следовало бы выделить составные числа, а лишь потом подразделить составные числа на числа, имеющие три различных делителя, четыре различных делителя и т.д.
В самом деле, на первом этапе классификации некоторого понятия выделяется некоторое свойство - признак Pi (x). В результате исследования некоторого множества объектов А мы выделяем из этого множества два подмножества А1 и А2:
Тем самым мы получили разбиение множества А на два класса, удовлетворяющих вышеприведенным условиям классификации.
Желая продолжить процесс классификации данного понятия, мы выделяем новое свойство Р2 (х) и получаем разбиение множества Ai на два подмножества В) и В2 и т.д.
В результате последовательно проведенных разбиений множества объектов, составляющих объем некоторого понятия, и возникает определенная классификация данного понятия. Так, например, одна из возможных классификационных схем понятия Влвыпуклый многоугольникВ» будет выглядеть так (рис.3).
Заметим, что в современном школьном курсе геометрии принята классификация четырехугольников, отличающаяся от данной.
В процессе определения и классификации понятий данной науки образуется система понятий этой науки.
Известный французский математик Фреше справедливо замечает: ВлЕсли что-нибудь действительно необходимо, так это уничтожение догматического метода; не давать никаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они применяютсяВ». При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических понятий и т.п.).
При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить другой путь, называемый абстрактно-дедуктивным.
Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:
1. Дать определение нового понятия (уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где a≠0 называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).
2. Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия (х2+ рх + с = 0, ах2 + с = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), проведя своеобразную классификацию этого понятия.
Привести некоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bх + с = 0 неполным квадратным уравнением).
3. Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (х2 - 5х + 6 = 0, Зх2 - 27 = 0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.
4. Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную формулу S=qt2 / 2 можно рассматривать как квадратное уравнение qt2 - 2S = 0; использовать квадратное уравнение при решении текстовых задач).
Конкретно-индуктивный метод находит большее применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод.
Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с четким представлением об его объеме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.
Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме.
В частности, при усвоении многих геометрических понятий большое значение имеет умение ВлузнаватьВ» это понятие в более сложном или непривычно расположенном чертеже.
В связи с этим весьма полезны упражнения Влпо готовым чертежамВ». Так, например, после ознакомления с понятием Влравнобедренный треугольникВ» учащимся можно предложить следующую серию упражнений:
1. При помощи глазомерной оценки (а затем, подтвердив эту оценку измерением) установить, какие из треугольников, изображенных на рисунке 5.
2. Назовите и покажите в каждом равнобедренном треугольнике основание и боковые стороны.
3. Назовите и покажите в каждом из них углы при основании и угол при вершине.
На этапе актуализации знаний при изучении некоторого понятия целесообразно выделить серию ситуаций, наличие которых достаточно для возникновения данного понятия.
Так, например, изучив в курсе математики 5 тАУ 6 классов понятие о равенстве величин углов, следует обратить внимание учащихся на то, что величины углов равны, если:
а) углы симметричны относительно прямой;
б) углы получаются один из другого параллельным переносом на данный отрезок;
в) данные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника или углами равностороннего треугольника;
г) углы получаются один из другого поворотом вокруг данной точки на данный угол и т.д.
Эту работу следует проводить планомерно в течение всего года (а может быть, и нескольких лет) обучения; список таких ситуаций, связанных с основными понятиями, может и должен быть продолжен.
При овладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.
Начнем с рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, и укажем некоторые причины их возникновения.
Прежде всего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием тех или иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие, соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, с помощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называется определяющим. Так, например, в определении ВлМножество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезкомВ», понятие ВлотрезокВ» - определяемое понятие, а понятие Влмножество точекВ» - одно из определяющих понятий.
Если это различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается ими стилистически неправильно.
Основные ошибки учащихся при формулировке определений вызваны несоблюдением установившихся в логике Влправил определенияВ», при выполнении которых это различие также играет большую роль. Перечислим важнейшие из этих ВлправилВ».
1) Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия.
Например, определение ВлРомб есть параллелограмм, у которого две смежные стороны равны между собойВ» соразмерно, так как объем понятия ВлромбВ» равен объему понятия Влпараллелограмм с двумя равными смежными сторонамиВ» (множества, определяющие объемы этих понятий, совпадают).
Нарушение этого правила ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. В этом случае определяемое понятие относится к определяющему, как вид к роду. Например: ВлДиаметр окружности есть отрезок прямой, соединяющей две точки окружностиВ». Здесь по существу определена хорда - более широкое понятие, чем диаметр (в объем определяющего понятия входят все хорды окружности).
Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что признак видового отличия (Влсоединять две точки окружностиВ») принадлежит не только диаметрам, но и всем хордам вообще, а поэтому при помощи него нельзя отличить диаметры от других отрезков прямых, соединяющих точки окружности.
Такое определение в логике называется слишком широким.
Чтобы ученики поняли эту ошибку, желательно рассмотреть с ними динамичный рисунок или диафильм ВлОкружность и кругВ»
б) Объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия. Последнее относится к первому как род к виду.
В качестве примера рассмотрим следующее определение: ВлРомбом называется прямоугольнике двумя конгруэнтными смежными сторонамиВ». Здесь по существу определен квадрат (более узкое понятие, чем ромб). Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что указанный видовой признак (прямоугольник - параллелограмме двумя конгруэнтными смежными сторонами) принадлежит лишь подмножеству множества ромбов, квадратам, т.е. является отличительным лишь для части множества ромбов. Такое определение в логике называется слишком узким.
2) Определение не должно заключать в себе Влпорочного кругаВ», т.е. нельзя строить определение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явным образом) посредством того же самого определяемого понятия.
Нарушение этого правила также ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Определяемое понятие характеризуется таким определяющим понятием, содержание которого становится ясным лишь при помощи самого определяемого понятия.
Так, например, определения Влсложение есть действие нахождения суммыВ» и Влсуммой называется результат сложенияВ» содержат в себе такой Влпорочный кругВ». Определяющее понятие суммы в этом случае не может быть определено независимо от определяемого понятия - понятия сложения.
б) Определяемое и определяющее понятия по содержанию тождественны, хотя могут быть выражены в различных словах.
Такое определение носит название тавтологии.
Например, Влпрямой угол - это угол в 90°», или ВлПрямым углом называется угол, стороны которого перпендикулярныВ».
Итак, в этих ошибочных определениях сущность определяемого объекта не раскрывается; в определяющем понятии повторяется то, что уже известно об определяемом понятии.
3) Определение по возможности не должно быть отрицательным. Это означает, что следует избегать таких определений, которых видовое отличие выступает в качестве отрицательного понятия.
Иногда в математике все же используют ВлотрицательныеВ» определения, в частности, если в них указываются признаки, не принадлежащие определенному понятию.
Однако в процессе обучения математике такие определения нежелательны, поскольку они почти не раскрывают содержания понятия, его существенных свойств, а указывают лишь на те свойства, которые не должны иметь определяемые понятия.
Если при введении нового понятия ограничиться только формулировкой его определения и иллюстрацией этого понятия только одним примером, взятым из учебника, не показывая его наглядные модели, то учащиеся нередко усваивают такие понятия неправильно. У учащихся это чаще всего проявляется в попытке незаконных обобщений понятия (обобщений по несущественным признакам) и смешении существенных признаков с несущественными. Типичной ошибкой такого рода является, например, неузнавание учащимися знакомой геометрической фигуры, если та имеет непривычную форму или положение на плоскости.
В частности, учащиеся не ВлузнаютВ» равнобедренный треугольник, данный в положении, указанном на рисунке 6, а испытывают большие затруднения в установлении пар подобных треугольников в ситуации, изображенной на рисунке 6, б и т.п.
Большое значение для сознательного усвоения учащимися важнейших математических понятий имеет система целенаправленных устных вопросов и упражнений, например, таких:
1. Найдите ошибку в следующих определениях (уточните каждое из этих определений):
а) равносильными уравнениями называются такие два уравнения, когда корни первого уравнения являются корнями второго;
б) прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой;
в) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и равный половине третьей стороны, называется средней линией треугольника.
2. Приведите примеры, указывающие на недостаточность следующих определений:
а) касательной к кривой называется прямая, имеющая с кривой только одну общую точку (см. рис.7);
Рис.7
б) если расстояние от любой точки одной линии L1 до другой L2 всюду одинаково, то такие линии называются параллельными (см. рис.8) и т.д.
Итак, в процессе введения и изучения в школе математических понятий полезно:
1) не вводить новых понятий формально; детально конкретизировать новые абстрактные понятия; по возможности применять конкретно-индуктивный метод;
2) вводить понятия наиболее естественным для учащихся путем; по возможности, следует чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия;
3) мотивировать вводимые понятия, термины, определения; не допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий;
4) в процессе изучения новых понятий полезно выявить связи нового понятия с уже известными понятиями; указывать на аналогию в характеристике новых понятий и понятий известных;
5) на каждом уроке полезно повторять определения известных учащимся важнейших математических понятий, связанных с понятиями, рассматриваемыми на данном уроке, требуя в то же время не столько запоминания определений понятий наизусть, сколько правильной передачи сущности определения данного понятия;
6) при овладении учащимися теми или иными математическими понятиями строго следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости и строгости в формулировках определений. Следует иметь в виду, что ВлпрофилактикаВ» ошибок эффективнее их исправления. Заниматься такой профилактикой учителю нужно постоянно.
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, е, и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом. Однако, если отрезок е разбить на 4 части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е. И тогда, говоря о дине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде
Е, где Е тАУ длина единичного отрезка е, а символ называют дробью.
В общем виде понятие дроби определяют так. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде 
, где символ 
называют дробью.
К записи дроби числа m и n тАУ натуральные, m тАУ называется числителем, n тАУ знаменателем дроби.
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Вернемся к рис., где показано, что четвертая часть отрезка е уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е, которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и длина его будет выражаться дробью 
. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью ![]()
10 способов решения квадратных уравнений
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнженерна графiка
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй