Еволюцiйнi рiвняння з псевдо-Бесселевими операторами

Чернiвецький нацiональний унiверситет

iменi Юрiя Федьковича

ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 517.956

ЕВОЛЮЦРЖЙНРЖ РРЖВНЯННЯ З

ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ

01.01.02 тАУ диференцiальнi рiвняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацii на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Чернiвцi тАУ 2008

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Останнi десятилiття iнтенсивно розвиваiться теорiя псевдодиференцiальних операторiв (ПДО), якi формально можна подати у виглядi $F_{\sigma\tox}^{-1}[a(t,x;\sigma)F_{x\to\sigma}]$, $\{x,\sigma\}\subset \mathbb{R}^{n}$, $t>0$, де $a$\,-- функцiя (символ), що задовольняi певнi умови, $F$, $F^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Фур'i. Iмпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тiсно пов'язанi з важливими задачами аналiзу i сучасноi математичноi фiзики. Серед нових роздiлiв цiii теорii особливоi уваги заслуговуi теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок однорiдних символiв маi важливi застосування в теорii випадкових процесiв. Теорiя ПДО з негладкими символами тiсно пов'язана також iз сучасною теорiiю фракталiв.

Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.); при цьому одержанi значнi i важливi результати про розв'язнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах.

У теорii задачi Кошi для параболiчних псевдо диференцiальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розв'язкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розв'язкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$ (тобто $a=a(\sigma)$), то задача Кошi коректно розв'язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розв'язок подаiться у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка i узагальненою функцiiю. Дослiдженi якiснi властивостi розв'язкiв ППДР та систем таких рiвнянь (зокрема, поведiнка розв'язкiв при необмеженому зростаннi часовоi змiнноi, iх невiд'iмнiсть, стiйкiсть за Ляпуновим, теореми типу Лiувiлля).

Цi результати i науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн.

До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджуiться по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджуiться на межi областi, оскiльки оператор Бесселя $B_{\nu}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2\nu+1}{x}\frac{d}{dx}$, $\nu>-\frac{1}{2}$, можна визначити за допомогою спiввiдношення $B_{\nu}\varphi=-F_{B_{\nu}}^{-1}[\sigma^2F_{B_{\nu}}[\varphi]]$, де $F_{B_{\nu}}$, $F_{ B_{\nu}}^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Бесселя, $\varphi$\,-- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь побудована в працях I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi для сингулярних параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв та у класах узагальнених функцiй типу $S^{\prime}$ та типу $W^{\prime}$ вивчалась Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В Мартинюк.

До класу псевдодиференцiальних рiвнянь природно вiднести еволюцiйнi рiвняння з оператором $A=F_{B_{\nu}}^{-1}[a\cdotF_{B_{\nu}}]$, де $a$\,-- однорiдний негладкий у точцi $0$ символ. Для таких рiвнянь задача Кошi не вивчена. Оператор $A$ надалi називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. Отже, актуальним i питання про розвиток теорii задачi Кошi (та двоточковоi задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду $$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+Au(t,x)=0,\hspace{0.3cm}t\in(0,T),\ x\in \mathbb{R}_+, \eqno(1) $$ одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорii задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом $a=a(\sigma)$ (тобто символом, не залежним вiд $t$, $x$) та початковими умовами, якi i узагальненими функцiями типу розподiлiв. Одним з основних методiв дослiдження задачi Кошi для (1) i метод перетворення Бесселя, тому важливим i питання побудови теорii такого перетворення вiдповiдних просторiв основних та узагальнених функцiй одночасно з теорiiю задачi Кошi для (1). Властивостi простору основних функцiй iстотно залежать вiд властивостей символа оператора $A$\,-- функцii $a$. Якщо позначити цей простiр через $\stackrel{o}{\Phi}$, то $$\stackrel{o}{\Phi}=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R})|\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+\, \exists c_{\alpha}>0\,:\, |D_x^{\alpha}\varphi(x)|\le c_{\alpha}(1+|x|)^{-(\alpha+\gamma_0)}, \, x\in \mathbb{R}\right\}, $$ де $\gamma_0>0$\,-- фiксований параметр, кожна функцiя з $\stackrel{o}{\Phi}$ i парною.

Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi i узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o} {\Phi})^{\prime}$ (простору, топологiчно спряженого до простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдних робiт ''Нерегулярнi крайовi задачi для параболiчних рiвнянь та рiвнянь математичноi фiзики'' (номер держреiстрацii 0197U014404) та ''Дослiдження коректностi сингулярних параболiчних крайових задач, задач для псевдодиференцiальних операторiв нескiнченного порядку та iх застосування'' (номер держреiстрацii 0105U002886) кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича.

Мета i завдання дослiдження. Метою роботи i розвиток теорii задачi Кошi та двоточковоi задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi i узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорii задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом та початковими умовами, якi i узагальненими функцiями типу розподiлiв. Безпосереднiми основними задачами дослiдження i:

- вивчення властивостей перетворення Бесселя функцiй iз простору $\stackrel{o}{\Phi}$ та оператора узагальненого зсуву аргументу в просторi $\stackrel{o}{\Phi}$;

- дослiдження властивостей перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв;

- встановлення коректноi розв'язностi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$;

- встановлення коректноi розв'язностi двоточковоi задачi для вказаних рiвнянь у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$.

Наукова новизна одержаних результатiв. Для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у дисертацii вперше одержано такi результати: доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}{\Phi}$, описана топологiчна структура простору, який i образом простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$ при перетвореннi Бесселя; доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу визначена i нескiнченно диференцiйовна у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$ (тобто граничнi спiввiдношення вигляду $(T_x^{\xi+\Delta\xi}\varphi-T_x^{\xi}\varphi)(\Delta\xi)^{-1}\to{\frac {\partial}{\partial\xi}}T_x^{\xi}\varphi$, $\Delta\xi\to 0$, справджуються у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$; $\varphi\in\stackrel{o}{\Phi}$, $T_x^{\xi}$\,-- оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдаi оператору Бесселя); знайдено необхiднi i достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; дослiдженi властивостi перетворення Бесселя таких узагальнених функцiй; дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактноi функцii часового параметра iз значеннями у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiiю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у певному пiдпросторi узагальнених функцiй простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, який збiгаiться з множиною початкових значень гладких розв'язкiв вказаних рiвнянь; при цьому розв'язок маi вигляд $u(t,x)=(f*G)(t,x)$, $f\in (\stackrel{o}{\Phi}) ^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T)$ належить до простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$, але граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to+0$ iснуi вже в просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; доведено, що розв'язок $u$ задачi Кошi володii властивiстю локалiзацii, яка полягаi в тому, що якщо початкова умова\,-- узагальнена функцiя $f$\,-- в деякiй областi $Q$ збiгаiться з неперервною функцiiю $g$, то розв'язок $u(t,x)$ вiдповiдноi задачi Кошi збiгаiться до $g(x)$ при $t\to +0$ на довiльному компактi $\K \subset Q$ (тобто, в цьому випадку маi мiсце локальне посилення збiжностi); дослiджено властивостi фундаментального розв'язку двоточковоi задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором, встановлено коректну розв'язнiсть цiii задачi у випадку, коли гранична функцiя i узагальненою функцiiю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, доведено властивiсть локалiзацii розв'язку; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв.

При одержаннi цих результатiв модифiкованi методи теорii задачi Кошi для сингулярних та псевдодиференцiальних параболiчних рiвнянь.

Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. РЗх результати можуть знайти застосування у теорii параболiчних псевдо диференцiальних рiвнянь, теорii перетворення Бесселя, теорii узагальнених функцiй.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацii одержанi автором самостiйно. У спiльних з науковим керiвником працях [1,2,3,6,7,10,11] В.В. Городецькому належить постановка задач та аналiз отриманих здобувачем результатiв.

Апробацiя результатiв дисертацii. Результати дослiджень, включенi до дисертацii, доповiдались на: VII Мiжнароднiй науковiй конференцii iменi академiка М. Кравчука (Киiв, 1998р.), Мiжнароднiй конференцii iменi Й.П. Шаудера (Львiв, 1999 р.), Мiжнароднiй конференцii "Диференцiальнi рiвняння та iх застосування", присвяченiй 60-рiччю кафедри iнтегральних i диференцiальних рiвнянь Киiвського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (Киiв, 2005 р.), Мiжнароднiй математичнiй конференцii iм. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.), XIV Всеукраiнськiй науковiй конференцii "Сучаснi проблеми прикладноi математики та iнформатики", присвяченiй 90-рiччю з дня народження проф. О.М. Костовського (Львiв, 2007 р.), IV Мiжнароднiй науково-практичнiй конференцii "Наука: теорiя i практика тАУ 2007" (Пшемисль (Польща), 2007 р.), наукових семiнарах кафедри диференцiальних рiвнянь та факультету прикладноi математики Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича (Чернiвцi, 2007 р.).

Публiкацii. Основнi результати дисертацiйноi роботи опублiкованi в 12 працях, з них 3 тАУ у наукових журналах, 3 тАУ у збiрниках наукових праць i 6 тАУ у матерiалах конференцiй. Серед публiкацiй 5 праць у наукових фахових виданнях з перелiку № 1, затвердженого ВАК Украiни вiд 9.06.1999 р.

Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складаiться з вступу, п'яти роздiлiв, висновку та списку використаних джерел, який мiстить 112 найменувань. Повний обсяг роботи становить 142 сторiнки.

Автор висловлюi щиру подяку науковому керiвниковi професору Городецькому Василю Васильовичу за допомогу при написаннi роботи, кориснi поради та цiкавi iдеi.

ЗМICТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовуiться актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано мету i задачi дослiдження, вказуiться на зв'язок дисертацii з науковими темами кафедри, де вона виконувалася, наводяться основнi результати, вiдзначаiться iх новизна, практичне значення та апробацiя.

У першому роздiлi наведенi основнi результати, вiдомi на теперiшнiй час стосовно задачi Кошi та крайових задач для сингулярних та псевдодиференцiальних параболiчних рiвнянь, зроблено огляд наукових праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацiiю i з яких запозичуються методи дослiджень та результати яких поширюються на бiльш загальнi об'iкти.

У роздiлi 2 вивчаються властивостi перетворення Бесселя функцiй з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, дослiджена топологiчна структура простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}} =F_B[{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}]$, доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу диференцiйовна (нескiнченно диференцiйовна) у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Дослiдженi властивостi перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, згорток узагальнених функцiй з основними. Знайдено умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ та мультиплiкаторiв.

У пiдроздiлi 2.1 наведено означення та топологiчна структура просторiв $\Phi$ та ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Нехай $\gamma$\,-- фiксоване число з множини $(1; +\infty) \setminus\{2; 3; 4; \dots\}$, $\nu$\,-- фiксоване число з множини $\left\{{3}/{2}; {5}/{2}; {7}/{2}; \dots \right\}$, $\gamma_0:=$ $1 + [\gamma]+p_0$, $p_0 = 2\nu+1$, $M(x):= 1 + |x|$, $x \in \mathbb{R}$. Елементами простору $\Phi$, за означенням, i нескiнченно диференцiйовнi на $\mathbb{R}$ функцii $\varphi$, якi задовольняють нерiвностi $$ |D_x^k \varphi(x)| \leq \frac{c_k}{(1 + |x|)^{\gamma_0+k}}, \quad x \in \mathbb{R}, \, k \in \Z_+.$$

У $\Phi$ вводиться структура злiченно нормованого простору за допомогою норм: $$ \|\varphi\|_{p}:= \supl_{x \in\R}\left\{ \suml_{k=0}^{p} M(x)^{\gamma_0+k} |D_x^k \varphi(x)|\right\}, \quad \varphi \in \Phi, p \in \Z_+.$$

У просторi $\Phi$ визначенi i неперервнi операцii зсуву аргументу та операцiя диференцiювання.

Символом ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ позначатимемо сукупнiсть усiх парних функцiй з простору $\Phi$. Оскiльки ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ утворюi пiдпростiр $\Phi$, то в ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ природним способом вводиться топологiя. Цей простiр з вiдповiдною топологiiю називатимемо основним простором, а його елементи\,-- основними функцiями.

У пiдроздiлi 2.2 наведенi твердження, якi стосуються основних властивостей перетворення Бесселя просторiв ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

На функцiях з простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначене перетворення Бесселя $F_B$: $$ F_B[\varphi](\xi) = \intl_{0}^{\infty} \varphi(x) j_{\nu}(x \xi) x^{2\nu+1} dx, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $j_\nu$\,-- нормована функцiя Бесселя.

$F_B[\varphi]$\,-- парна, обмежена, неперервна на $\mathbb{R}$ функцiя. РЖншi властивостi перетворення Бесселя наведено у виглядi наступних тверджень.

Твердження 2.1.Якщо $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то $F_B[\varphi]$\,-- нескiнченно диференцiйовна на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ функцiя.

Твердження 2.2.У функцii $D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\xi \neq 0$, $k \in \mathbb{Z}_+$, iснують скiнченнi одностороннi границi $\dst \liml_{\xi \to \pm 0} D_{\xi}^k F_B[\varphi](\xi)$, $\varphi \in{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Твердження 2.3.Функцii з простору ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}= F_B[\mathop{\Phi}\limits^{\circ}]$ задовольняють умову:} $$ \forall s \in \mathbb{Z}_+ \enskip \exists c_s > 0: \enskip \supl_{\xi \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} |\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi](\xi)| \leq c_s, \quad \forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}.$$

Твердження 2.4.$\xi^s D_{\xi}^s F_B[\varphi] \in L_1(\mathbb{R})$, $s \in \mathbb{Z}_+ $, для довiльноi функцii $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

На функцiях $F_B[\varphi] \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$ визначене обернене перетворення Бесселя $$ \varphi(x) = F_B^{-1}[F_B[\varphi]](x) = c_{\nu} \cdot\intl_{0}^{\infty} F_B[\varphi](\xi) j_{\nu}(x \xi) \xi^{2\nu+1}d\xi,$$ де $c_{\nu} = (2^{2\nu} \Gamma^2(\nu+1))^{-1}$.

Твердження 2.5.Перетворення Бесселя неперервно вiдображаi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ на простiр ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.

У пiдроздiлi 2.3 розглядаiться оператор узагальненого зсуву аргументу в просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Символом $T_x^{\xi}$ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдаi оператору Бесселя: $$ T_x^{\xi} \varphi(x) = b_{\nu} \intl_{0}^{\pi} \varphi(\sqrt{x^2+\xi^2 - 2x \xi \cos \omega})\sin^{2\nu} \omega d\omega, \quad \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}, $$ де $b_{\nu} = \Gamma(\nu+1)/(\Gamma(1/2) \Gamma(\nu+1/2))$. Будемо говорити, що оператор $T_x^{\xi}$ визначений у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $T_x^{\xi} \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ для кожного $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Лема 2.1. Оператор узагальненого зсуву аргументу $T_x^{\xi}$ визначений i неперервний у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Наслiдок 2.1. Операцiя узагальненого зсуву аргументу нескiнченно диференцiйовна у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

У пiдроздiлi 2.4 розглядаiться простiр узагальнених функцiй $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Вивчаються властивостi згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв.

Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ позначатимемо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв над вiдповiдним простором основних функцiй зi слабкою збiжнiстю, а його елементи називатимемо узагальненими функцiями.

Оскiльки в просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ визначена операцiя узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненоi функцii $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ з основною функцiiю задамо формулою $ (f*\varphi)(x) = $, при цьому $f* \varphi$ i нескiнченно диференцiйовною на $\mathbb{R}$ функцiiю, бо, згiдно з наслiдком 2.1, операцiя узагальненого зсуву аргументу нескiнченно диференцiйовна у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Якщо $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ i $f*\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi} \limits^{\circ}}$, то функцiонал $f$ називаiться згортувачем у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Оскiльки $F_B^{-1}[\varphi] \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, якщо $\varphi \in {\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$, то перетворення Бесселя узагальненоi функцii $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ визначимо за допомогою спiввiдношення $$ = , \quad \forall \varphi \in{\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}. $$ Звiдси, з властивостей лiнiйностi i неперервностi функцiоналу $f$ та перетворення Бесселя (прямого й оберненого) основних функцiй випливаi лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiоналу $F_B[f]$ над простором основних функцiй ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$. Правильними i наступнi твердження.

Теорема 2.1.Якщо узагальнена функцiя $f\in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})' $\,-- згортувач у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то для довiльноi функцii $\varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$ правильною i формула $ F_B[f * \varphi] = F_B[f] \cdot F_B[\varphi]$.

Теорема 2.2. Якщо узагальнена функцiя $f \in ({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$\,-- мультиплiкатор у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, то ii перетворення Бесселя -- згортувач у просторi ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$.

Зауваження 2.3.Результати, одержанi в теоремах 2.1, 2.2 можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функцiя $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$ була згортувачем у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, необхiдно i досить, щоб ii перетворення Бесселя було мультиплiкатором у просторi ${\mathop{\Psi}\limits^{\circ}}$.

У пiдроздiлi 2.5 наведено основнi означення та твердження, що стосуються вiдображень вигляду $\Omega\ni\omega\rightarrow \varphi_\omega\in X$, де $X$\,-- лiнiйний топологiчний простiр або об'iднання таких просторiв, $\Omega$\,-- деяка числова множина. Такi вiдображення називають ще абстрактними функцiями параметра $\omega$ у просторi $X$. За $X$ можна, зокрема, брати простiр $\Phi$ або ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

У роздiлi 3 дослiджуiться коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами та початковими умовами з простору узагальнених функцiй $(\mathop{\Phi}\limits^{\circ})'$.

У пiдроздiлi 3.1 дослiджуються структура та властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi.

Нехай $a$: $\mathbb{R} \to [0, +\infty)$\,-- неперервна, парна на $\R$ функцiя, однорiдна порядку $\gamma \in (1, +\infty) \setminus\{2, 3, 4, \dots\}$, тобто $a(\lambda x) = \lambda^{\gamma} a(x)$, $\lambda > 0$, яка:

1) нескiнченно диференцiйовна при $x \neq 0$, $a(0)=0$;

2) похiднi функцii $a$ задовольняють умову $$ \forall k \in \N \enskip \exists c_k > 0 \enskip \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}: \,\, |D_{x}^k a(x)| \leq c_k |x|^{\gamma-k}; $$

3) $\exists \delta > 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$: $a(x) \geq \delta|x|^{\gamma}$.

Функцiя $a$ i мультиплiкатором у просторi ${\mathop{\Psi} \limits^{\circ}}$. У зв'язку з цим розглянемо оператор $A$: ${\mathop{\Phi} \limits^{\circ}} \to{\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, який визначимо за допомогою спiввiдношення: $ A \varphi = F_B^{-1}[a F_B[\varphi]]$, $\forall \varphi \in {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. РЖз властивостей перетворення Бесселя (прямого й оберненого) випливаi, що $A$\,-- лiнiйний i неперервний оператор. Оператор $A$ називатимемо псевдо-Бесселевим оператором.

Розглянемо еволюцiйне рiвняння з оператором $A$ вигляду $$\frac{\partial u}{\partial t} + Au = 0, \quad (t, x) \in (0, T]\times (0, \infty) \equiv \Omega_+. \eqno(2)$$

Пiд розв'язком рiвняння (2) розумiтимемо функцiю $u \in C^1((0,T], {\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})$, яка задовольняi рiвняння (2).

Символом $G(t, \sigma)$, $t \in (0, T]$, $\sigma \in \R$, позначимо обернене перетворення Бесселя функцii $\exp\{-ta(x)\}$, $t \in (0, T]$, $x \in \R$, тобто $$ G(t, \sigma) = c_{\nu} \intl_{0}^{\infty} e^{-ta(x)} j_{\nu}(\sigma x) x^{2\nu+1} dx, \quad \sigma \in \R,\ \ t \in (0, T]. $$

Зазначимо, що $G$\,-- парна функцiя аргументу $\sigma$ при фiксованому $t \in (0,T]$ i нескiнченно диференцiйовна по $\sigma$. Основнi властивостi функцii $G$ описують наступнi твердження.

Теорема 3.1.При кожному $t > 0$ $G(t, \sigma)$, як функцiя аргументу $\sigma$, i елементом простору ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$. Для функцii $G$ та ii похiдних правильними i оцiнки: $$|D_{\sigma}^{m} G(t, \sigma)| \leq \alpha_mt^ {[\gamma] /\gamma} (t^{1/\gamma} + |\sigma|)^{ -(m+1+\tilde \gamma_0)}, \quad m \in \Z_+, \tilde \gamma_0 = [\gamma] + p_0,$$ де стала $\alpha_m$ не залежить вiд $t$.}

Теорема 3.2. $G(t, \cdot) \to \delta$ при $t \to +0$ у просторi $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$.

Символом $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$ позначимо сукупнiсть усiх узагальнених функцiй з простору $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, якi i згортувачами у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Лема 3.1.Нехай $f \in({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$, $\omega(t, x) = (f*G)(t, x)$, $(t, x) \in (0, T] \times \R.$ Тодi граничне спiввiдношення $\omega(t,\cdot) \to f$, $t \to +0$, виконуiться у просторi $({\mathop{\Phi} \limits^{\circ}})'$.

Зауваження 3.1.Надалi функцiю $G(t, \cdot)$ називатимемо фундаментальним розв'язком задачi Кошi (ФРЗК) для рiвняння (2).

Теорема 3.3.Функцiя $G(t, \cdot)$, $t \in (0, T]$, як абстрактна функцiя параметра $t$ iз значеннями у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$, диференцiйовна по $t$.

У пiдроздiлi 3.2 дослiджуiться коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцiй $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$.

Лема 3.1 дозволяi поставити задачу Кошi для рiвняння (2) так. Для (2) задамо початкову умову $$u(t, \cdot)|_{t = 0} = f, \eqno(3) $$ де $f\in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$. Пiд розв'язком задачi Кошi (2), (3) розумiтимемо розв'язок рiвняння (2), який задовольняi початкову умову (3) у тому сенсi, що $u(t, \cdot) \to f$ при $t \to +0$ у просторi $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$. Правильним i наступне твердження.

Теорема 3.4.Задача Кошi (2), (3) коректно рзв'язна вкласi узагальнених функцiй $({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$. Розв'язок подаiться у виглядi згортки $$u(t, x) = (f*G)(t, x), \quad f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)',\ \ (t, x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРЗК для рiвняння (2).

Для розв'язку задачi Кошi (2), (3) справедливий принцип локалiзацii (властивiсть локального посилення збiжностi).

Теорема 3.5.Нехай $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}})'$, $\omega(t, x) = (f*G)(t, x)$, $(t, x) \in (0, T] \times \R. $ Якщо $f = 0$ на iнтервалi $(a, b) \subset \R$, який мiстить точку 0, то $\omega(t, x) \to 0$ при $t \to +0$ рiвномiрно на довiльному вiдрiзку $[-c, c] \subset (a, b).$

Символом ${\mathop{M}\limits^{\circ}}_{\Phi}$ позначимо клас усiх мультиплiкаторiв у просторi ${\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}$.

Теорема 3.6.Нехай $f \in ({\mathop{\Phi}\limits^{\circ}}_*)'$, $u(t, x)$\,-- розв'язок задачi Кошi (2), (3), побудований за функцiiю $f$. Якщо узагальнена функцiя $f$ збiгаiться на iнтервалi $(a, b) \subset \R$, який мiстить точку 0, з функцiiю $g \in {\mathop{M}\limits^{\circ}}_{\Phi}$, то $u(t, x) \to g(x)$ при $t \to +0$ на довiльному вiдрiзку $[-c, c] \subset (a, b)$.

У пiдроздiлi 3.3 аналогiчнi результати одержанi у випадку, коли оператор $A$ дii по $n$ змiнних як псевдо диференцiальний оператор, а по $(n+1)$-iй змiннiй як псевдо-Бесселевий оператор.

У роздiлi 4 дослiджуiться коректна розв'язнiсть доточковоi задачi в класi крайових умов, якi i узагальненими функцiями типу розподiлiв. Вивчаiться властивiсть локалiзацii розв'язкiв.

У пiдроздiлi 4.1 вивчаються властивостi фундаментального розв'язку двоточковоi задачi.

Нехай $x = (x', x_{n+1})$, $x' = (x_1, \dots, x_n) \in \R^n$, $x_{n+1} \in \R_+$, $\Omega_+ = (0, T] \times \R_+^{n+1}$, $T$ -- фiксоване додатне число, $\R_+^{n+1} = \R^n \times \R_+$, $k =(k', k_{n+1}) \in \Z_+^{n+1}$, $k' = (k_1, \dots, k_n) \in\Z_+^{n}$, $|k| = |k'| + k_{n+1}$, $|k'| = k_1 + \dots + k_n$, $D_x^{k} = D_{x'}^{k'} D_{x_{n+1}}^{k_{n+1}}$, $D_{x'}^{k'} = D_{x_1}^{k_1} \dots D_{x_n}^{k_n}$, $\gamma$\,-- фiксоване число з множини $(1, +\infty) \setminus \{2, 3, 4, \dots\}$, $\gamma'_0 = n + [\gamma]$, $\gamma_0 = 1 + [\gamma] + p_0$, $p_0 = 2\nu + 1 \in \N$, $\nu$\,-- фiксоване число з множини $\{3/2;5/2;7/2;\dots\}$, $M(x') = (1 + \|x'\|)$, $\tilde M(x_{n+1}) = 1 + |x_{n+1}|$.

Символом $\Phi\equiv\Phi(\R_+^{n+1})$ позначимо сукупнiсть функцiй $\varphi \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n+1})$, парних по змiннiй $x_{n+1}$, якi задовольняють нерiвностi $$ |D_x^k \varphi(x)| \equiv \left|\frac{\partial^{|k|} \varphi(x_1, \dots, x_{n+1})}{\partial x_1^{k_1} \partial x_2^{k_2} \dots \partial x_{n+1}^{k_{n+1}}}\right| \leq \frac{c_k}{M(x')^{\gamma'_0 + |k'|} \cdot \tilde M(x_{n+1})^{\gamma_0+k_{n+1}}},\ \ k \in \Z_+^{n+1}. $$

На елементах простору $\Phi$ визначена, i лiнiйною i неперервною операцiя перетворення Фур'i-Бесселя, яку позначатимемо символом $F_{D, B}$: $$ F_{D, B}[\varphi](\sigma): = \intl_{\R_+^{n+1}}\varphi(x',x_{n+1}) e^{-i(x', \sigma')} j_{\nu}(\sigma_{n+1} x_{n+1}) x_{n+1}^{2\nu+1} dx' dx_{n+1}, \ \ \varphi \in \Phi.$$

Нехай $A = F_{D, B}^{-1}[a \cdot F_{D, B}]$, де функцiя (символ) $a$ задовольняi умови вигляду 1)--3), сформульованi у пiдроздiлi 3.1. РЖз властивостей перетворення Фур'i-Бесселя (прямого й оберненого) випливаi, що $A$\,-- лiнiйний i неперервний оператор у просторi $\Phi$.

Розглянемо двоточкову задачу $$ \frac{\partial u}{\partialt}+Au=0, \hspace{0.3cm} (t,x)\in(0,T)\times\mathbb{R}_+^{n+1}\equiv \Omega_+, \eqno(4) $$ $$ \mu_1u(t,\cdot)|_{t=0}-\mu_2u(t,\cdot)|_{t=T}=\varphi,\ \ \mu_1>\mu_2>0. \eqno(5) $$

Введемо позначення $$ G(t,T,x)\equiv F_{D,B}^{-1}\left[\frac{\exp\{-ta(\sigma)\}} {\mu_1-\mu_2\exp\{-Ta(\sigma)\}}\right](x)= $$ $$ =(2\pi)^{-n}c_{\nu}\cdot\int\limits_{\mathbb{R}_+^{n+1}} \frac{\exp\{-ta(\sigma)\}}{\mu_1 -\mu_2 \exp\{-Ta(\sigma)\}} e^{-i(x^{\prime},\sigma^{\prime})} j_{\nu}(x_{n+1} \sigma_{n+1})\sigma_{n+1}^{2\nu+1}d\sigma^{\prime}d\sigma_{n+1}.$$

Для похiдних функцii $G(t,T,x)$ справджуються оцiнки: $$ \left|D_x^mG(t,T,x)\right| \le \mu_2^{-1}c_m\cdot\sum\limits_{k=0}^{\infty} \mu^{-k-1}\times $$ $$ \times \frac{(t+kT)^{1+[\gamma]/\gamma}} {\left[(t+kT) ^{1/\gamma}+||x^{\prime}||\right]^{|m^{\prime}|+\gamma_0^{\prime}}\cdot\left[(t+kT)^{1/\gamma}+|x_{n+1}|\right]^{m_{n+1}+\gamma_0}},\m\in\Z_+^{n+1}. \eqno(6) $$

Зауваження 4.1. Iз оцiнок (6) похiдних функцi\"\i{} $G$ випливаi, що при кожному $t\in(0,T)$ функцiя $G$, як функцiя аргументу $x$, i елементом простору $\Phi$.

Лема 4.1. Функцiя $G(t,T,\cdot)$, $t\in (0,T)$, як абстрактна функцiя параметра $t$ iз значенням у просторi $\Phi$, диференцiйовна по $t$.

Лема 4.2. ${G(t,T,\cdot)\longrightarrow\frac{\delta}{\mu_1-\mu_2}}$ {\it при$t\to +0$ у просторi} $\Phi^{\prime}$.

Лема 4.3. ${G(t,T,\cdot)\longrightarrow\frac{\delta}{\mu_1-\mu_2}}$ {\it при$t\to T-0$ у просторi} $\Phi^{\prime}$.

Надалi функцiю $G(t,T,x)$ називатимемо фундаментальнимрозв'язком двоточковоi задачi (ФРДЗ) для рiвняння (4).

У пiдроздiлi 4.2 дослiджуiться коректна розв'язнiсть двоточковоi задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторах узагальнених функцiй $\Phi'$.

Основний результат цього пiдроздiлу складаi наступне твердження.

Теорема 4.1.Задача (4), (5) коректно розв'язна в класi узагальнених функцiй $\Phi_*^{\prime}$. Розв'язок подаiться у виглядi згортки: $$ u(t,x)=(\varphi*G)(t,x), \hspace{0.3cm} \varphi\in\Phi_*^{\prime},\, (t,x)\in \Omega_+, $$ де $G$\,-- ФРДЗ для рiвняння (4).

Для розв'язку двоточковоi задачi справедливий принцип локалiзацii, аналогiчний теоремам 3.5, 3.6.

У роздiлi 5 наведено основнi означення та твердження, що стосуються топологiчноi структури просторiв типу $S$ та основних операцiй у цих просторах. Дослiджуiться коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання та початковими умовами, якi i узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв.

У пiдроздiлi 5.1 наведено основнi означення та твердження, що стосуються топологiчноi структури просторiв типу $S$ нескiнченно диференцiйовних на $\R$ функцiй, що задовольняють нерiвностi $ \left| x^k\varphi^{(m)}(x)\right|\le c_{km}$, $x\in\mathbb{R}$, $\{k,m\}\subset \mathbb{Z}_+$, де $\{c_{km}\}$\,-- деяка подвiйна послiдовнiсть додатних чисел, а також спряжених просторiв типу $S^{\prime}$.

У пiдроздiлi 5.2 дослiджуiться коректна розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з оператором Бесселя дробового диференцiювання $(I-\Delta)^{\omega/2}$, $\omega>0$, $\omega\ne 2,4,6,..$, у випадку, коли початкова умова i узагальненою функцiiю iз простору типу $ S^{\prime}$; при цьому знайдено оцiнки ФРЗК, доведено, що розв'язок володii властивiстю локалiзацii.

ОСНОВНРЖ РЕЗУЛЬТАТИ РЖ ВИСНОВКИ

Дисертацiя присвячена розвитку теорii задачi Кошi та доточковоi задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi i узагальненими функцiями типу розподiлiв. Такi рiвняння утворюють новий клас псевдодиференцiальних рiвнянь i i важливими з точки зору застосувань у теорii параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь та рiвнянь з частинними похiдними, теорii перетворення Фур'i-Бесселя.

У дисертацiйнiй роботi вперше одержано такi результати:

- доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}\Phi$, описана топологiчна структура простору, який i образом простору основних функцiй при перетвореннi Бесселя;

- доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу диференцiйовна (нескiнченно диференцiйовна) у просторi основних функцiй $\stackrel{o}\Phi$;

- дослiдженi властивостi перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$, згорток узагальнених функцiй з основними; знайдено умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$ та мультиплiкаторiв;

- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактноi функцii часового параметра $t$ iз значеннями у просторi $\stackrel{o}\Phi$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiiю з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$;

- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у класi згортувачiв $(\stackrel{o}\Phi_*)^{\prime}$ -- узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; при цьому розв'язок маi вигляд $u(t,x)= (f*G)(t,x)$, $f\in(\stackrel{o}{\Phi}_*)^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T]$ належить до простору основних функцiй $\stackrel{o}\Phi$, граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to +0$ iснуi в просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}\Phi)^{\prime}$; доведено, що розв'язок задачi Кошi володii властивiстю локалiзацii;

- дослiдженi властивостi фундаментального розв'язку доточковоi задачi для еволюцiйного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором як абстрактноi функцii часового параметра, вивчена поведiнка ФРДЗ при наближеннi до гiперплощин $t=0$, $t=T$; встановлено коректну розв'язнiсть двоточковоi задачi у випадку, коли гранична функцiя i узагальненою функцiiю типу розподiлiв; доведено, що розв'язок двоточковоi задачi володii властивiстю локалiзацii.

- встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв; доведено, що розв'язок володii властивiстю локалiзацii.

Одержанi результати мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування i подальший розвиток у теорii параболiчних псевдодиференцiаль-них рiвнянь, теорii перетворення Фур'i-Бесселя, теорii узагальнених функцiй.

СПИСОК ОПУБЛРЖКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Городецький В.В., Ленюк О.М. Про дробове диференцiювання у просторах типу $S'$ // Доп. НАН Украiни. тАУ 1998. тАУ № 11. тАУ С. 20-24.

2. Городецький В.В., Ленюк О.М. Еволюцiйнi рiвняння з псевдо-Бесселевими операторами // Доп. НАН Украiни. тАУ 2007. тАУ № 8. тАУ С. 11-15.

3. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для одного класу еволюцiйних рiвнянь // Математичнi студii. тАУ 2007. тАУ Т.28, № 2. тАУ С. 175-182.

4. Ленюк О.М. Перетворення Бесселя одного класу узагальнених функцiй типу розподiлiв // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 336-337. Математика. тАУ Чернiвцi: Рута, 2007. тАУ С. 95-102.

5. Ленюк О.М. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. тАУ Чернiвцi: Рута, 2007. тАУ С. 55-65.

6. Городецький В.В., Ленюк О.М. Перетворення Фур'i-Бесселя одного класу нескiнченно-диференцiйовних функцiй // Крайовi задачi для диферен-цiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. тАУ Чернiвцi: Прут, 2007. тАУ Вип. 15. тАУ С. 51-66.

7. Городецький В., Ленюк О. Задача Кошi для одного класу параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь // VII Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (14-16 травня 1998 р., Киiв). Матерiали конференцii. тАУ С. 121.

8. Lenyuk O. Boundary Properties of Smooth Solutions of One Parabolic Pseudodifferential Equation // International Conference Dedicated to J.P. Schauder. Book of Abstracts. тАУ Lviv, 1999 (August 23-29). тАУ P. 127.

9. Ленюк О.М. Граничнi властивостi гладких розв'язкiв для параболiчних рiвнянь з оператором Бесселя дробового диференцiювання // Мiжнародна конференцiя "Диференцiальнi рiвняння та iх застосування", присвячена 60-рiччю кафедри iнтегральних i диференцiальних рiвнянь Киiвського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (6-9 червня 2005 р., м. Киiв). Тези доповiдей. тАУ Киiв, 2005. тАУ С. 54.

10. Городецький В., Ленюк О. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Мiжнародна математична конференцiя iм. В.Я. Скоробагатька (24-28 вересня 2007 р., Дрогобич, Украiна). Тези доповiдей. тАУ Львiв, 2007. тАУ С. 74.

11. Городецький В.В., Ленюк О.М. Двоточкова задача для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами // Materialy szwartej Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji "Nauka: teoria i praktyka тАУ 2007". Tym 6. Matematyka. Fizuka. Nowoczesne informacijne technologie: Przemysl. Nauka i studia. тАУ С. 7-11.

12. Ленюк О.М. Властивостi розв'язкiв еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами // XIV Всеукраiнська наукова конференцiя "Сучаснi проблеми прикладноi математики та iнформатики", присвячена 90-рiччю з дня народження проф. О.М. Костовського (2-4 жовтня 2007 р.). Матерiали конференцii. тАУ Львiв: Видавничий центр ЛНУ iменi РЖвана Франка, 2007. тАУ С. 90-91.

Вместе с этим смотрят:

10 способов решения квадратных уравнений

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнженерна графiка

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй