История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

РЕФЕРАТ

для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки

(История математики)

Тема: ВлИстория возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному рядуВ»

СОДЕРЖАНИЕ

ВведениетАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж....3

Вз 1. Возникновение и развитие теории динамических системтАжтАжтАжтАжтАжтАж..5

Вз 2. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических системтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.15

ЗаключениетАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.23

Список литературытАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж24

Введение

В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Современное развитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких тАУ лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Математическое моделирование по временным рядам тАУ бурно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящее время эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.

Использование современных компьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки данных и современными математическими пакетами в значительной степени облегчает получение модельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения эмпирических моделей весьма разнообразны тАУ от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно сложно[4].

В реферате предпринята попытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем. В первом параграфе рассмотрено возникновение теории динамических систем, понятий динамическая систем, вычислительный эксперимент, математическая модель и хаос. Во втором параграфе рассматривается развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем, применения компьютеров для проведения вычислительных экспериментов.

Вз 1.Возникновение и развитие теории динамических систем

Первая линия развития, которая вела к появлению теории динамических систем, связана с небесной механикой. Основоположниками классической механики принято считать Исаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа, Уильяма Гамильтона. Результатом их деятельности стало формирование представления о том, что сейчас называют гамильтоновой или консервативной динамической системой. Проблема трёх тел в небесной динамике, тАУ первая задача, анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. Впервые об этом написал Анри Пуанкаре. Результатом изучения системы трёх тел стало развитие теории возмущений.

С развитием компьютеров возможности изучения и наглядного представления сложной динамики расширились. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики стала работа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения звезды через галактический диск.

Значительный прогресс в понимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом связан с теорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольд, а также американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое значение получили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.

Вторая линия развития связана со статической физикой и формированием эргодической теории. Как известно, состоятельное описание в статической физике достигается только в рамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении, что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены физические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике. Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривали фазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большого числа микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себе система должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этом пространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёл эргодическую гипотезу тАУ предположение о том, что имеется по существу только одна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В 1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П. Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должна проходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности. Результатом стало формирование отдельной математической дисциплины тАУ эргодической теории или метрической теории динамических систем.

Появление компьютеров позволило в начале 50-х годов Ферми, Паста и Уламу предпринять попытку пронаблюдать в вычислительном эксперименте процесс установления термодинамического равновесия в цепочке связанных нелинейных осцилляторов. Результат оказался совершенно неожиданным: вместо релаксации к равновесию наблюдался квазипериодический процесс. Эта работа показала, что проблема значительно сложнее, чем виделась раньше и дала тем самым толчок исследованиям, приведшим впоследствии к представлению о распределённых системах, а также к понятию солитона. Как выяснилось, свойство эргодичности само по себе не является ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснования статистической физики. По настоящему существенным является неустойчивость фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий и связанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Одним из первых эту идею разработал Н. С. Крылов (1917-1947).

Количественная характеристика неустойчивости траекторий известна как ляпуновский характеристический показатель тАУ величина, введённая русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). В 1968 г. советский математик В.И. Оселедец опубликовал важнейший результат тАУ так называемую мультипликативную эргодическую теорему, которая позволяет говорить о ляпуновских показателях, определённых не для одной фазовой траектории, а для множества траекторий.

Были введены и другие характеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, тАУ динамическая энтропия, известная как энтропия КолмогороватАУСиная (1959) и топологическая энтропия (1965).

(1917{1947)

Третья линия развития связана с радиотехникой, электроникой, теорией автоматического регулирования. Основоположником этого направления развития теории динамических систем был Б. Ван-дер-Поль. С этим именем связан генератор и осциллятор Ван-дер-Поля тАУ классическая модель нелинейной системы, демонстрирующей периодические автоколебания. Около 1927 г. Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк исследовали динамику такого генератора под периодическим внешним воздействием. Режим работы устройства контролировался по звуку работы в наушниках. ИсследоваВнтели отметили явление синхронизации при определенных рациВнональных соотношениях частоты воздействия и собственной чаВнстоты и шумоподобные колебания при переходах между областями захвата. Возможно, это первое документально зарегистрированное экспериментальное наблюдение хаоса.

Работа Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка повлияла на работу Картрайт и Литтлвуда (1945). В этой работе, посвященной математическому исследованию уравнения автогеВннератора под периодическим внешним воздействием, была обнаВнружена необычайная сложность динамики, в частности, наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодических орбит. Эта раВнбота впоследствии оказала влияние на математиков, создававших основы математической теории сложной динамики и хаоса.

В России в 20-е годы в Московском университете сформироВнвалась сильная научная школа Л.И.Мандельштама (1879-1944). Интересы этой школы охватывали, в частности, радиофизику, опВнтику, колебательные процессы в системах различной природы. Мандельштам первым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейных колебаний, тАФ до этого поВнлагали, что нелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик МанВндельштама А.А. Андронов (1901-1952) установил, что адекватным математическим образом периодических автоколебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной теоВнрии дифференциальных уравнений. Мандельштам сразу понял важность этого достижения и настоял на немедленной публикации результата. Андронов привлек также для анализа автоколебательВнных систем созданный А.М.Ляпуновым аппарат теории устойВнчивости. Одно из важных достижений тАФ исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситуВнации, которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде (Горьком), где вокруг него формируется крупная научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходит классическая книга А. А. Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина ВлТеория колебанийВ». Один из соавтоВнров книги тАУ Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено и восстановлено только в последующих изданиях.

Одним из важных достижений развивающейся теории нелиВннейных колебаний стало формирование Андроновым и Понтрягиным представления о грубых или структурно-устойчивых систеВнмах. Представим себе пространство, точки которого изображают динамические системы. Система грубая, если около соответствуВнющей ей точки пространства систем можно указать такую окрестВнность, что в ней будут располагаться только системы с топологиВнчески эквивалентным устройством фазового пространства. В проВнстранстве параметров грубые системы занимают целые области. Эти области разграничены поверхностями, где располагаются неВнгрубые системы коразмерности один. На этих поверхностях могут располагаться линии коразмерности два и т. д.

Исследовательская программа нелинейной теории колебаний по Андронову и Понтрягину и состоит в выделении и изучении грубых ситуаций, а затем негрубых в порядке возрастающей коВнразмерности. Что касается негрубых ситуаций, то они составляют предмет теории бифуркаций тАФ глубокой и хорошо развитой математической дисциплины, одного из краеугольных камней нелиВннейной динамики.

С 1970 г. с интервалом в 2 года в Горьком организуются школы-семинары по нелинейным колебаниям и волнам, в которых участВнвуют ведущие советские ученые. Этих школ состоялось 9, и они во многом определили распространение в нашей стране идей неВнлинейной динамики и динамического хаоса. Еще одна школа, восстанавливающая прерванную традицию, уже международная, состоялась в 1995 г. В формировании, распространении и популяВнризации в России представлений о хаотической динамике большую роль сыграли А. В. Гапонов-Грехов, Ю.И.Неймарк, М.И.РабиноВнвич, Л. П. Шильников. В 1979 г. Кияшко, Пиковский и Рабинович предложили, по-видимому, первый простой радиотехнический авВнтогенератор, в котором целенаправленно был реализован режим хаотических автоколебаний.

Четвертая линия развития связана с гидродинамикой и проВнблемой турбулентности. В 1883 г. была опубликована работа английского физика Осборна Рейнольдса (1842-1912) ВлЭкспериментальное исследование обВнстоятельств, которые определяют, будет ли движение воды прямоВнлинейным или волнистым, и о законе сопротивления в параллельВнных каналахВ». В зависимости от безразмерного параметра, изВнвестного теперь как число Рейнольдса), движение воды в трубке было ламинарным или турбулентным. Хотя основные уравнения, описывающие динамику вязкой жидкости тАФ уравнения Навье-Стокса, уже были известны, причины возникновения турбулентВнности оставались загадкой. С тех пор вопрос о природе турбулентВнности стоял перед наукой, приобретая со временем все большую остроту. Около 1920 г. английский физик Л.Ричардсон развил качественные представления о том, что в турбулентном течении имеется перенос энергии от крупных ко все более и более мелВнким завихрениям, пока энергия не диссипирует из-за вязкости в малых масштабах. В 1941 г. была предложена теория турбулентВнности Колмогорова-Обухова. Анализ основывался на предположеВннии, что при больших числах Рейнольдса турбулентное состояВнние можно считать локально однородным и изотропным в статиВнстическом смысле, и о том, что имеет место каскадная передача энергии от крупных пространственных масштабов к мелким в так называемом Влинерционном интервалеВ» тАФ области масштабов, где вязкость несущественна. Замечательно простая и глубокая теория приводила ко вполне определенному теоретическому предскаВнзанию тАФ распределение энергии по спектру должно быть пропорВнционально /г~⁵'³, где к тАУ волновое число (Влзакон пяти третейВ»). К настоящему времени получены экспериментальные данные, хоВнрошо согласующиеся с этим законом, но осознана также необхоВндимость внесения уточнений в теорию.

Другое направление в попытках понять природу турбулентноВнсти состояло в поисках ответа на вопрос тАФ как возникает турбуВнлентность, если постепенно увеличивать число Рейнольдса, начав от малых значений, когда течение заведомо ламинарное. В 1944 г. была опубликована статья советского физика Л.Д.Ландау (1908тАФ 1968) ВлК проблеме турбулентностиВ». В этой замечательной для своего времени статье Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате большого числа (каскада) последовательВнных бифуркаций, каждая из которых состоит в появлении коВнлебаний с новой частотой. Вновь возникающие частоты в тиВнпичном случае находятся в иррациональном соотношении с ранее возникшими частотами. Аналогичные представления развивал несколько позже немецкий математик Э.Хопф (1902-1983; работа ВлМатематический пример, демонстрирующий особенности турбуВнлентностиВ» опубликована в 1948). Поэтому данную картину возВнникновения турбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. Подчеркнем, что этим работам предшествовало формирование предВнставлений об автоколебаниях, предельных циклах и бифуркациях в радиофизике и теории колебаний.

В 1963 г. американский метеоролог Э.Лоренц опубликовал статью ВлДетерминированное непериодическое течениеВ», в которой обсуждались результаты численного интегрирования с помощью компьютера системы трех обыкновенных дифференциальных уравВннений, моделирующей динамику жидкости при конвекции в поВндогреваемом снизу слое. Будучи хорошо образованным матемаВнтически, Лоренц подверг полученные результаты тщательному и глубокому обсуждению, акцентировав внимание на взаимосвязи между наблюдаемой сложной динамикой и присущей системе неВнустойчивостью фазовых траекторий. Позднее это свойство хаотиВнческой динамики пропагандировалось им под названием Влэффект бабочкиВ»: в приложении к метеорологии взмах крыльев бабочки может через достаточное время повлечь сущеВнственное изменение погоды где-то совсем в другом месте. ПриВнмерно в то же самое время А. Н. Ораевский с соавторами также поВнлучили непериодические решения для аналогичных уравнений в теории одномодового лазера. Как работа Лоренца, опубликованная в метеорологическом журнале, так и работа Ораевского не были своевременно замечены и оценены.

В 1971 г., основываясь на достигнутом к этому времени проВндвижении в математических исследованиях, Д.Рюэль и Ф. Такенсвыступили с работой ВлО природе турбулентностиВ». Подвергнув криВнтике теорию Ландау, они аргументировали, что уже после включеВнния в игру относительно небольшого числа частот (трех или четыВнрех в зависимости от некоторых математических деталей) динаВнмика может стать турбулентной и, в частности, демонстрировать характерный для случайного процесса сплошной спектр. Это свяВнзывалось с появлением в фазовом пространстве Влстранного аттракВнтораВ» тАФ ключевой термин, введение которого определило историВнческое значение работы Рюэля и Такенса. Подчеркивалось налиВнчие неустойчивости фазовых траекторий на странном аттракторе и его нетривиальная геометрическая структура тАФ он представлял собой то, что стали называть фрактальным множеством или проВнсто фракталом.

С точки зрения интерпретации результатов, работа Рюэля и Такенса также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, которые возникают в связи с предложенной ими картиВнной перехода к турбулентности, до сих пор остаются открытыми. Надо сказать, что аргументация и в работе Ландау, и в работе Рюэля и Такенса носила столь общий характер, что имела равВнное отношение как к возникновению турбулентности, так и к возВнникновению сложной динамики в диссипативных системах другой физической природы. Дальнейшее понимание возможных типов перехода произошло благодаря еще одной линии развития.

Попытки математического описания биологических проблем динамики популяций восходят к Томасу Мальтусу (1766-1834), авВнтору нашумевшей концепции о том, что численность людей возраВнстает в геометрической прогрессии, а средства поддержания жизни лишь в арифметической. Поэтому численность населения должна регулироваться войнами, эпидемиями и пр. Марксисты, как изВнвестно, заклеймили эту теорию как человеконенавистническую. Не входя в полемику, заметим, что в отсутствие факторов, сдерВнживающих рост населения, изменение численности популяции из года в год Влпо МальтусуВ» можно описать как х_п+\ = Rx_n, где RтАФ параметр, определяющий условия жизни популяции. Ввести сдерВнживающий фактор можно, если добавить в уравнение нелинейный, например, квадратичный член: ж_п+1 = R(x_n тАФ x²_n). Полученное соотношение называют логистическим отображением и оно дейВнствительно неплохо описывает, по крайней мере, с качественной стороны, динамику некоторых биологических популяций.

Интересный результат, проливающий свет на возможность сложной динамики в логистическом отображении, был получен в конце 40-х годов в работе американских математиков Станислава Улама (1909-1984) и Джона фон Неймана. Они показали, что для случая R= 4 это отображение путем замены переменных сводится к форме, допускающей тривиальный анализ, причем оказывается, что выбором начальной точки х можно реализовать любую наВнперед заданную последовательность знаков величины х тАФ х_тах.

В 1975 г. американские математики Ли и Йорке опубликовали работу ВлПериод три означает хаосВ». Речь шла о том, что если при частном значении параметра логистическое или другое одноВнмерное отображение вида х_п+\ = f(x_n) имеет цикл периода три, то оно имеет бесконечное множество циклов всех прочих периоВндов. Эта работа привлекла большое внимание, и стоит отметить, что именно в ней в контексте нелинейной динамики впервые поВнявился термин ВлхаосВ», ставший впоследствии общепринятым обоВнзначением всей области деятельности, о которой мы ведем речь. Только через несколько лет на Западе стало широко известно, что еще в 1964 г. советский математик А. Н. Шарковский опубликовал гораздо более содержательную теорему, устанавливающую самые общие закономерности сосуществования циклов различного периВнода в одномерных непрерывных отображениях.

К середине 70-х годов было уже хорошо известно, что при увеличении параметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. СоответствуВнющие компьютерные результаты очень наглядно были предстаВнвлены, например, в работе Роберта Мэя (1976). В это время, занимаясь исследованием удвоений периода с помощью карманВнного калькулятора, американский физик Митчел Фейгенбаум, раВнботавший в Лос-Аламосской национальной лаборатории, обнаруВнжил, что точки бифуркаций удвоения периода накапливались к определенному пределу тАУ порогу возникновения хаоса по закону геометрической прогрессии с показателем 4,669.. Этот показатель оказался универсальным, т. е. возникал и в других отображениях, и, как затем выяснилось, в нелинейных диссипативных системах самого разного вида.

Используя аппарат, аналогичный развитому ранее в теории фазовых переходов, тАУ метод ренормализационной группы, Фейгенбаум построил замечательную теорию, объясняюВнщую универсальность удвоений периода (1978-1979). Теория эта выглядела слишком формально, с точки зрения физиВнков, и слишком нестрого, с точки зрения математиков, так что Фейгенбауму далеко не сразу удалось опубликовать статью с изВнложением своих результатов. Эта задержка отчасти компенсироВнвалась тем, что Фейгенбаум активно рассказывал о своей работе на конференциях и семинарах.

В дальнейшем переход к хаосу через удвоения периода, демонстрирующий обнаруженные свойВнства универсальности, наблюдался в огромном количестве нелиВннейных систем различной физической природы и в их моделях. Одна из первых очень аккуратных работ тАУ эксперимент по конВнвекции в жидком гелии (1979). Работа Фейгенбаума стимулировала также изучение и ренормгрупповое описание [10].

Вместе с этим смотрят:

10 способов решения квадратных уравнений

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнженерна графiка

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй