История чисел и счисления

Введение

С небольшими числами иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко узнать Влв лицоВ», так что считать их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек тАУ один объект, в данном случае овца.

Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно не набрать, и поднять такой мешок не каждому под силу. В некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20тАж [№3.1, стр. 343]

Значение цифр и чисел в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что в составе человеческого мозга есть структуры (кора левого полушария у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких структур нет ни у одного другого животного. Благодаря им человек может писать, читать, говорить, произносить самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного мозга человек смог в первый раз произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни без алфавита и слов.

В математике таким алфавитом являются цифры, а словами тАУ числа. Есть много общего: своеобразными языками в математике являются системы счисления. В таких алфавитах буквы тАУ цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ.

Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще.

Глава 1. История цифр. Числа и счисление.

Вз 1 На заре появления цифр.

Давно, очень давно это было. Человек сидел у водопоя, спряВнтавшись в кустах, и ждал зверя. К воде подошел олень с большими ветвистыми рогами. Охотник загВннул на руке палец. Затем к водоВнпою вышел безрогий олень. ОхотВнник загнул еще один палец. Всю ночь просидел в засаде охотник, но больше ни одного зверя не увиВндел. Утром он рассказывал старВншему соплеменнику о своих набВнлюдениях:

тАФ Сижу, смотрю, вышел к воВндопою рогатый олень (охотник для подтверждения положил на ладонь угловатый камешек), а заВнтем вышел безрогий олень (полоВнжил рядом с первым овальный каВнмешек). Больше зверей не было до утра.

тАФ Так к водопою сначала поВндошел один олень, а затем еще один? тАФ переспросил родич и поВнднял два пальца.

тАФ Да, тАФ ответил охотник.

К следующей ночи старший соВнбрал большую группу мужчин с копьями. Он тщательно продуВнмал, куда посадить одного охотВнника, куда тАФ двух, а куда и трех. Все были размещены у водопоя так, чтобы подошедший олень поВнпал в окружение. Охота была удачной.

Этот случай показывает, что уже на заре развития человечеВнского общества люди замечаВнли, что различные группы предмеВнтов тАФ звери, охотники, камни тАФ могут иметь одно и то же число: два пальца, два зверя, два камня и т. д. В наши дни об этом знает люВнбой первоклассник. Если разлоВнжить напротив друг друга, наприВнмер, кружки и палочки, нетрудно убедиться, что кружков окажется столько же, сколько палочек. Этим мы устанавливаем взаимВнно-однозначное соответствие. Так и первобытные люди, сопоВнставляя одну группу (множество) предметов с другой (другим мноВнжеством), видели сходство и разВнличие обеих групп (множеств).

В то далекое время понимание того, что одна группа (множество) может быть похожа на другую (множество), стало для человека громадным продвижением в его развитии. Это было величайшим открытием. Оно помогло людям научиться видеть взаимно-одноВнзначное соответствие предметов двух множеств, а затем и считать эти предметы.

Постепенное совершенствоваВнние жизненного уклада первобытВнных людей способствовало возВнникновению у них потребности считать, но прошли десятки стоВнлетий, прежде чем люди приобреВнли это умение.

Вначале человек научился выВнделять единичные предметы. НаВнпример, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожаВнка, из выводка птенцов тАФ одного птенца и т. д Научившись выдеВнлять один предмет из множества других, говорили: ВлодинВ», а если их было больше тАФ ВлмногоВ» Даже для названия числа ВлодинВ» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: ВллунаВ», ВлсолнцеВ». ТаВнкое совпадение названия предмеВнта и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привеВнли человека к представлению о числе два. До сих пор слово ВлдваВ» на некоторых языках звучит так же, как ВлглазаВ» или ВлкрыльяВ».

В некоторых племенах АвстраВнлии долгое время пользовались только числами ВлодинВ» и ВлдваВ», а все другие называли, повторяя эти числа или говоря ВлмногоВ».

В одном из австралийских плеВнмен считали иначе. Один называВнли ВлмалВ», два тАФ ВлбуланВ», три тАФ ВлгулибаВ», т. е. названия имели только три первых числа, а другие числа, например 4, называли ВлбуВнлан-буланВ» и т. д. Эти историчесВнкие факты показывают, как люди учились считать. Так как в далеВнкие времена общение между разВнными народами было затруднено, то способы счета и названия чиВнсел в разных местах одной страны были неодинаковы. [№2, cтр. 11-13]

С появлением городов и каменных сооружений все больше людей стали заниматься письменностью и началами математики. Самые сведущие придумали специальные знаки для записи чисел. Эти знаки, выполняющие роль цифр, были удобны для чтения, но для их записи требовалось довольно много времени.

Первый способ обозначения чисел, приходящий на ум, - палочками. Что может быть легче? Одна палочка значит один, две тАУ два и так далее. Вот одна интересная история о такой нумерации.

В марте 1917 г. жители Ленинграда (тогда тАФ ПетроВнграда) были не мало озадачены и даже встревожены таинственными знаками, появившимися, неизвестно как, у дверей многих квартир. Молва приписывала этим знаВнкам разнообразные значения. Они имели форму черточек, чередующихся с креВнстами.

Пошли зловещие слухи о грабительских шайках, помечающих квартиры будущих жертв. ВлКомиссар вреВнменного правительства по г. ПетроградуВ», успокаивая население, утверждал, что Влтаинственные знаки, которые чьей-то невидимой рукой делаются на дверях мирных обывателей в виде крестов, букв, фигур, как выяснилось по произведенному дознанию, делаются провокаторами и германскими шпионамиВ»; он приглашал жителей эти знаки стирать и уничтожать, Вла в случае обнаружения лиц, занимающихся этой работой, задерживать и напраВнвлять по назначениюВ».

Подобные знаки замечены во многих домах на черных лестницах у дверей квартир. Обычно знаки этого типа имеются у всех хводных дверей данного дома, причем в пределах одного дома двух одинаковых знаков не наблюдается. Их мрачное начертание, естественно, внушаеат тревогу жильцам. Между тем, смысл их легко раскрывается, если сопоставить их с номерами соответствующих квартир. Нетрудно теперь догадаться, что кресты означают десятки, а палочки тАУ единицы; так оказалось во всех без исключения случаях. Эта своеобразная нумерация, очевидно, принадлежит дворникам-китайцам, не понимавшим наших цифр. [№1, стр. 9-11]

Вз2 Старинные способы нумерации.

Более сложный способ обозначения чисел был придуман римлянами. Они записывали числа черточкми, и времени для этого требовалось меньше. Ученые предполагают, что римская пятерка тАУ это упрощенное изображение руки с пятью растопыренными пальцами, а десять тАУ это две сложенные вместе пятерни.

В старину на Руси цифры обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставился специальный знак Вл ~ В», называемый ВлтитлоВ» (см. рис.). Тысячи обозначались теми же буквами с ВлтитламиВ», что и первые девять цифр, но у них слева внизу ставился специальный знак. Десятки тысяч назывались ВлтьмыВ», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками . Отсюда произошло выражение ВлТьма народуВ», т.е. очень много народу. Сотни тысяч назывались ВллегионамиВ» (ВллегеонамиВ»), их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек. Миллионы назывались ВллеодрамиВ». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Десятки миллионов назывались ВлворонамиВ» или ВлвранамиВ», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками их крестиков или ставя по обе стороны буквы букву К. Сотни миллионов назывались ВлколодамиВ». ВлКолодаВ» имела специальное обозначение: над буквой и под ней ставили квадратные скобки. Остальные числа записывались буквами слева направо. При записи больших чисел, чем тысячи, в практической деятельности часто вместо кружков знак, обозначающий тысячу, ставили перед буквами, обозначавшими десятки и сотни. В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался Влмалый счетВ». В некоторых рукописях авторами рассматривался и Влвеликий счетВ», доходивший до числа 10⁵⁰. Далее говорилось: ВлИ более сего несть человеческому уму разуметиВ». [№4, стр. 135-137]

В источнике №2 сообщается, что тьмой называли 106, легеоном тАУ 10¹², леодром тАУ 10²⁴, вороном тАУ 10⁴⁸, а колодой, самым большим числом великого счета, - 10⁴⁹. В том, что дальше 10⁵⁰ счет не велся оба источника согласны.

Сходная нумерация существовала у греков.Для нумерации чисел греческие математики придумали алфавитную нумерацию. Первая буква их алфавита тАУ альфа обозначала 1, вторая тАУ бета тАУ 2 и т. д.

В дореволюционное время на вещах, купленных у офеней или в частных магазинах, особенно провинВнциальных, можно было зачастую заметить непонятные буквенные обозначения вроде

а ве в уо.

Это не что иное, как цена вещи без запроса, которую торговец обозначал на товаре, но так, однако, чтобы ее не мог разгадать покупатель. Бросив взгляд на эти буквы, торговец сразу проникал в их скрытый смысл и, сделав надбавку, называл покупателю цену с заВнпросом.

Система обозначений была весьма проста. Торговец выбирал какое-нибудь слово, составленное из 10 различВнных букв; чаще всего останавливали выбор на словах: трудолюбие, правосудие, ярославецъ, миролюбецъ, Миралюбовъ. Первая буква слова обозначалатАФ1, вторая тАФ 2, третья тАФ 3 и т д; десятою буквою обозначался ноль С поВнмощью этих условных букв-цифр торговец обозначал на товарах их цену, храня в строгом секрете ВлключВ» к своей системе прибылей.

Если например, выбрано было слово

правосудие

1234567890

то цена 4 р 75 к. обозначалась так:

в уо.

Иногда цена на товаре писалась в виде дроби, например:

ое

тро

Это значит при ключе ВлтрудолюбиеВ», что надо запросить 1 р. 25 к., себе же книга стоила 50 коп. [№1, стр. 13-14]

ВлНумерацияВ» в то время давно уже была в широком употреблении и понятна была каждому, даже неграмотному крестьянину. Восходит она, без сомнения, к глубокой древности и употребительна была не только у нас. Такая нумерация называется ВлнароднойВ».

Любопытно, что эта народная нумерация была неВнкогда у нас даже узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщиВнками податей записи в податной тетради. ВлСборщик, тАФ читаем мы в старом ВлСводе законовВ», тАФ приниВнмая от кого-либо из домохозяев вносимые к нему деньги, должен сам, или через писаря, за-писать в податВнной тетради против имени того домохозяина, которого числа сколько получено денег, выставляя количество принятой суммы цифрами и знаками. Знаки сии для сведения всех и каждого ввести повсеместно одинаковые, а именно:

В другом месте того же тома ВлСвода законовВ» нахоВндим еще раз упоминание об обязательном употреблении народных числовых обозначений. Приводятся особые знаки для тысячи рублейтАФв виде шестиконечной

звезды с крестом в ней, и для ста рублей тАФ в виде колеса с 8 спицаВнми. Но обозначения для рубля и десяти копеек здесь устанавливаются иные, чем в предыдуВнщем законе.

Вот текст закона об этих так называемых Влясачных знакахВ»:

ВлЧтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен буВндет ясак, кроме изложеВнния словами, было поВнказываемо особыми знаВнками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания *. УпотребляеВнмые в квитанции знаки означают: (звезда) тысяча рублей, (колесо) сто рублей, (квадрат) десять рублей, X один рубль, ||||| |||| десять коп., | копейку.

ВлДабы не можно было сделать здесь никаких прибавВнлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиямиВ». Например, 1232 р. 24 к. изображают так, как показано на рисунке. [№1, стр. 11-13]

Как видите, употребляемые нами арабские и римские цифры тАФ не единственный способ обозначения чисел. В старину применялись у нас, да еще и теперь кое-где по деревням применяются другие системы письменного счисления, отдаленно сходные с римскими и совсем не сходные с арабскими цифрами.

Вз3 Системы счисления.

Как уже было сказано, в некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук, однако этот способ годился только в пределах 10. Кое-где прогресс пошел дальше: к счету приобщали и пальцы ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. СистеВнма счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счеВнта. Существовало, однако, несколько отклонений от этой системы. Например, 4000 лет назад жители Древнего Вавилона использоВнвали систему счета до 60. Следы шестидесятеричной системы в наше время сохраниВнлись в делении часа и углового градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

По мере развития речи люди начали исВнпользовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предме-ш, чтобы назвать их количество. Для изоВнбражения чисел стали применяться риВнсунки, чертежи или символы. Например, для ответа на вопрос ВлСколько овец в стаВнде?В» достаточно нарисовать или начертить группу животных. Но считать можно гоВнраздо быстрее, применяя для обозначения чисел какие-либо символы. Египтяне для чисел до 9 использовали последовательноВнсти простых штрихов и специальный симВнвол - для 10. Вавилоняне имели аналогичВнную систему, а римляне ввели новый симВнвол при достижении 5. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10. [№3.1, стр. 343-344]

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических изображений для цифр, разумеется, не принципиален. Современные изображения цифр тАУ простая стилизация древних арабских цифр. Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

В десятичной системе каждая цифра несет двойную информацию: свое собственное значение и место, которое она занимает в записи числа (разряд). Такие системы счисления называются позиционными. Римскую систему счисления можно скорее назвать аддитивной, поскольку чосло образуется при сложении и вычитании значений специальных значков. В аддитивных системах счисления выполнять арифметические действия безнадежно тАУ неудивительно, что такие системы не прижились. [№5, стр.33-34]

Вот запись из дневника одного математика:

ВлЯ окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте тАУ всего 11 лет тАУ способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 мне приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяцВ» и т. д.

На первый взгляд странная биография, но только на первый. Разберемся в чем тут дело.

А все дело в том, что отрывок написан с использованием недесятеричной системы счисления, такой привычной для большинства людей. Можно легко догадаться, какую именно систему использовал автор. Секрет выдается фразой: ВлСпустя год (полсе 44 лет), 100-летним молодым человекомтАжВ» Если в от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, значит цифра 4 тАУ наибольшая в этой системе счисления, т. е. основанием системы является 5. Немного сложнее перевести остальные числа в ВлроднуюВ» десятичную. Например, несложно догадаться, что одна единица третьего разряда равна 5 во второй степени, т. е. 25 (так же в десятичной системе одна единица третьего разряда равна 100, т. е. 10²). А единица второго разряда равна 5¹, третьего тАУ 5⁰. Теперь несложно восстановить реальную биографию чудака-автора.

При желании можно создать собственную биографию в таком же роде. Скажем, вам 17 лет. Воспользуемся для записи возраста четвертичной системой счисления. Разделим 17 на 4:

17 : 4 = 4, остаток 1

Остаток тАУ это и есть число единиц первого разряда. Результат целочисленного деления снова поделим на 4:

4 : 4 =1, остаток 0

Теперь остаток тАУ число единиц второго разряда. Ну а последнее частное тАУ единицы третьего разряда. Теперь составим из наших ответов число. Получили 101, т. е. 17₁₀=101₄.

Помеха может возникнуть вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать обозначений цифр. При изображении чисел в системах с основаниями больше 10 может явиться надобность в цифрах ВлдесятьВ», ВлодиннадцатьВ» и т. д. [№1, стр. 56-57]

Обычно для обозначения их применяют латинский алфавит: ВлдесятьВ» обозначают буквой ВлАВ», ВлодиннадцатьВ» - буквой ВлВВ». Когда буквы заканчиваются, ничего не поделаешь тАУ придется обозначать двумя, тремя буквами сразу, да еще и обводить, скажем, кружочком, чтобы было видно, что это цифра, а не двузначное число.

Нетрудно производить арифметические действия в разных системах счисления. Только надо помнить, что переходить через разряд надо, когда цифра превышает максимально допустимую в данной системе. Легко догадаться, что для любой системы такая цифра на единицу меньше основания. Заметим, что в самой ВлмаленькойВ» из систем тАУ двоичной тАУ выполнять разнообразные арифметические действия с точки зрения умственной нагрузки легче всего, хотя для этого понадобится много времени и бумаги (если считать столбиком). Ну а в целом это дело привычки.

Легко доказать, что в любой системе счисления выполняются такие положения (если в системе имеются соответствующие цифры):

121 : 11 = 11

144 : 12 = 12

21 тАв 21 = 441. [№1, стр. 67]

Глава 2. Способы запоминания чисел.

Вз 1 Различные приспособления для запоминания чисел.

Вероятно, самый древний способ запоминания чисел тАУ камешками. Сколько камешков тАУ столько предметов надо запомнить. Когда камешков не стало хватать, человек придумал разрядность (системы счисления). Число в таком виде записать легче, например, при помощи узелков. Так делали древние перуанцы, завязывая узелки на нескольких сплетенных вместе веревках. Такой ВлприборВ» назывался ВлквипосВ». Он был в принципе эквивалентен нашим счетам и ,без сомнения, связанный с ними общностью происхождения. На таких счетах однократно завязанный узел означал 10, двукратно тАУ 100 и т. д. Однако пользоваться таким прибором нелегко: на завязывание тАУ перевязывание узелков уходит много времени. Выход нашелся тАУ сделать систему подвижной.

Древние народы тАФ египтяне, греки, римляне тАФ упоВнтребляли при вычислениях счетный прибор ВлабакВ». Это была доска (стол), разграфленная на полосы, по котоВнрым передвигали особые шашки, игравшие роль костоВнчек наших счетов Такой вид имел греческий абак Абак римский имел форму медной доски с желобами (прореВнзами), в которых передвигались кнопки. Родственен абаку перуанский ВлквипосВ» тАФ ряд ремней или бечевок с завязанными на них узлами этот счетный прибор поВнлучит особенное распространение среди первых обитатеВнлей Южной Америки, но, без сомнения, был в употреВнблении также и в Европе. В средине века, вплоть до XVI века, подобные приспособления были широко распространены в Европе. Но теперь видоизмененный абак тАФ счеты тАФ сохранился, кажется, только у нас, да в Китае (семикосгочковые счеты тАФ Влсуан-панВ» *) и Японии (тоже семикосточковые счеты тАФ ВлсоробанВ»). Каждый грамотный человек умеет там выполнять на таких счетах четыре арифметических действия Между тем Запад почти не знает счетов, тАФ вы не найдете их ни в одном магазине ЕвВнропы, и только в начальных школах имеются огромные счеты тАФ наглядное классное пособие при обучении нумеВнрации. Быть может, потому-то мы и не ценим этого счетВнного прибора так высоко, как он заВнслуживает, а смоВнтрим на него как на наивную кустарную самодельщину в обВнласти счетных приВнборов Японцы цеВннят свои счеты выВнсоко. Вот как отзыВнвается о соробане один японский учеВнный ВлНесмотря на свою древность, соВнробан превосходит все современные счетные приборы легкостью обращения с ним, простоВнтою устройства и дешевизноюВ»

Мы тоже вправе были бы гордиться нашими конторВнскими счетами, так как при изумительной простоте устройства они по достигаемым на них результатам могут соперничать в некоторых отношениях даже со сложными, дорого стоящими счетными машинами. [№1, стр.34-36, 39-40]

Об арифметических действиях на счетах будет написано в главе 3.

Вз2 Современные способы запоминания чисел.

Самая простая система счисления тАУ двоичная, так как она использует только две цифры: ноль и один. Именно такую систему счисления используют современные компьютеры. В основном из-за того, что такой ВлязыкВ» легок для ВлпониманияВ» электронных устройств: наличие электрического сигнала означает единицу, его отсутствие тАУ ноль. А дальше открываются поистине безграничные возможности для запоминания самой разной информации тАУ ведь любой ее вид, будь то текст, изображение, звук или видео, можно представить в виде набора чисел. Ввели даже единицу информации: информация, говорящая об одном из 256 равновероятных событий, имеет объем в один байт.

Информацию в виде двоичного кода можно размещать на разнообразных носителях. Например, на гибких магнитных лентах тАУ в виде намагниченных и ненамагниченных областей, на поверхности лазерного диска тАУ в виде углублений (питов) и выступов, в интегральных микросхемах тАУ сложным сочетанием полупроводниковых приборов, выполненным на единой подложке из диэлектрика.

В настоящее время разобрав калькулятор, не увидите там ничего из электроники, кроме маленькой интегральной микросхемы, залитой небольшой каплей эпоксидной смолы. Это наглядно иллюстрирует тот факт, что будущее современной техники в ее миниатюрности. Такой прибор починить не представляется возможным:узор из тысяч плоских транзисторов величиной в доли микрона невозможно изменить лучшему специалисту. Так и делают современные микросхемы, защищая их раз и навсегда прочной оболочкой.

Такая сложность вычислительной техники является результатом многовекового развития. Перфокарты (картонные карточки в отверстиями) впервые были применены в 1787 г., когда французский ткач Робер Фалькон использовал их для управления механическим ткацким станком. Позже эта система была усовершенствована другим ткачем, Жозефом Жаккаром. Ряды отверстий (перфорация) в наборе карт использовались для хранения деталей узора. При замене карточек ткацкий станок ткал другой узор.

ВлЖаккардовый станок выполнит любой узор, который в состоянии представить себе воображениеВ», - говорил англицский математик Чарльз Бэббидж. Его настолько потрясло разнообразие, которое давали перфокарты, что в 1832 г. он начал проектировать то, что назвал Вланалитической машинойВ», однако, в то время построить такой механизм было невозможно из-за его сложности. Но с этого началась эра электронной информации. [№3.2, стр. 99-100]

Принцип работы перфокарт весьма прост: в том месте, где в карте проделано отверстие, могут соприкасаться два электрода, и через них потечет ток. Понятно, что ток при относительно малом напряжении не сможет пробить картонную карту тАУ сигнала не будет. Получается, что перфокарта тоже использовала двоичный код для записи информации в позиционной системе счисления тАУ каждое отверстие или его отсутствие несут двоякую информацию тАУ о своем местоположении и об одном из двух фактов тАУ есть дырка или же ее нет.

Вз3 Память на числа.

Поразительная сила образов (или эйдосов, как их называли древние греки) была известна человечеству с древнейших времен. В настоящее время эйдетизм рассматривается как разновидность образной памяти, выраженной в сохранении ярких, наглядных образов предметов. Обладающий эйдетизмом человек не воспроизводит в памяти воспринимавшиеся им предметы, а продолжает как бы видеть их.

У разных лиц бывает и различная память по отношению к числам, годам, ценам; различие это зависит от неодинаковой степени развития математических способностей. Лицо, широко развившее эти способности, будет неизменно сохранять ясное и прямое впечатление о числах и обо всем, связанном с ними, тогда как лицо со слабо развитыми способностями найдет затруднительным помнить что-либо подобное, даже усиленно занимаясь умственными вычислениями, но последние, однако, могут развить эту способность. [№6, В.В.Аткинсон]

Есть, по моему мнению, различие между запоминанием, скажем, дат, цен и формул, получившихся при решении арифметических задач. Несмотря на то, что во всех трех случаях объектом запоминания служит число, некоторым людям довольно сложно сопоставить несколько запомненных дат или цен с определенными событиями или товарами. В то же время этот человек может безошибочно рассказать все подробности своих вычислений на недавней контрольной работе по математике. Здесь, на мой взгляд, весьма существенным фактором является заинтересованность лица в запоминании числа. Если историю учить неинтересно, то и даты не смогут уложиться в мозгу. Хотя я соглашаюсь с В. Аткинсоном в том, что память можно развивать, считаю, что при крайней незаинтересованностью предметом это сделать весьма сложно.

Числа моВнгут объединяться со всяким предметом, с которым они естественно связаны. Но если такой подходящий предмет, с которым можно было бы связать число, отсутствует, то нужно ограничиться лишь способом "простого созерцания". Этот способ состоит в том, что данное число фотографируется в уме, пока посВнледний не воспроизведет все детали и вид числа, как детали и общий вид какой-нибудь картины. Вам слеВндует представить себе числа, написанные жирным белым шрифтом на черном поле. Не упускайте умВнственной картины, пока вы не будете полностью виВндеть ее своим мысленным взором. Искусство это возВнрастает с практикой. Но, однако, было бы лучше свяВнзывать числа с какими-нибудь подходящими предмеВнтами. Теория такого "созерцательного" способа со связыванием или без него основана на том факте, во-первых, что многие умы воспринимают и удерживают зрительные впечатления гораздо скорее и лучше, чем простую абстрактную идею без конкретного изобраВнжения, и, во-вторых, что закон ассоциации дает умВнственной картине с большим числом возможностей легко возвращаться в поле сознания, когда эту карВнтину затребует мысль о предмете. . [№6, В.В.Аткинсон, стр. 436]

Глава 3. Счисление.

Вз 1 Умножение и деление на счетах.

Есть много полезных вещей, которые мы не ценим только потому, что, находясь постоянно у нас под руВнками, они превратились в слишком обыденный предмет домашнего обихода. К числу таких недостаточно цениВнмых вещей принадлежат и наши конторские счеты тАФ русВнская народная счетная машина, представляющая собою видоизменение знаменитого ВлабакаВ» или Влсчетной доскиВ» наших отдаленных предков.

Наверное, очень многие умеют складывать, вычитать и делить на два на счетах.

Вот несколько приемов, (пользуясь которыми, всякий умеющий быстро складывать на счетах сможет проВнворно выполнять встречающиеся на практике примеры умножения.

Умножение на 2 и на 3 заменяется двукратным и троекратным сложением.

При умножении на 4 умножают сначала на 2 и склаВндывают этот результат с самим собой.

Умножение числа на 5 выполняется на счетах так: переносят все число одной проволокой выше, то есть умножают его на 10, а затем делят это 10-кратное число пополам (как делить на 2 помощью счетов тАФ мы уже объяснили выше, на стр. 33).

Вместо умножения на 6 умножают на 5 и прибавляют умножаемое. Вместо умножения на 7, множат на 10 и отнимают умножаемое три раза.

Умножение Вла 8 заменяют умножением на 10 минус два.

Точно так же множат на 9: заменяют умножением на 10 минус один.

При умножении на 10 переносят, как мы уже сказали, все число одной проволокой выше.

Читатель, вероятно, уже сам сообразит, как надо поВнступать при умножении на числа, больше 10, и какого рода замены тут окажутся наиболее удобными. МножиВнтель 11 надо, конечно, заменить 10 + 1. Множитель 12 заменяют 10 + 2, или практически 2+10, т. е. снаВнчала откладывают удвоенное число, а затем прибавляют удесятеренное. Множитель 13 заменяется 10 + 3 и т. д.

Легко видеть, между прочим, что с помощью счетов очень удобно умножать на такие числа, как на 22, 33, 44, 55 и т. п.; поэтому надо стремиться при разбивке множителей пользоваться подобными числами с одинаВнковыми цифрами.

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, больше 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умноВнжить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произВнведения тАФ это все же дает некоторое сокращение вреВнмени,

Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножать: для этого нужно запомВннить целый ряд особых приемов, подчас довольно заВнмысловатых.

Делить на 2 очень просто.

Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в заВнмене деления умножением на бесконечную периодичеВнскую дробь 0,333.. (известно, что 0,333. = ) УмноВнжать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшить в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После недолгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике.

Деление на 4, конечно, заменяется двукратным делеВннием на 2.

Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.

На 6 делят в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.

Деление на 7 выполняется с поВнмощью счетов чересчур сложно, и потому здесь излаВнгать его не буду.

На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полуВнченное вновь на 2 и затем еще раз на 2.

Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что = 0,1111 .. Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,01 его и т. д.

Всего проще, как видим, делить на 2, 10 и 5 и, коВннечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика. [№1, стр.36-38]

Попробовав на своем опыте нехитрые вычисления на счетах, я осознал всю легкость такого счета. Конечно, мне не хватало долговременной практики, но я уверен, что у опытного мастера счеты в руках тАУ отличная замена карманному калькулятору. Понаблюдать за работой опытного ВлсчетчикаВ» я пошел в ближайший овощной магазин. Там работает продавец, которого я помнил с тех пор, как переехал на свою последнюю квартиру. Уже пожилой торговец, как часто бывает, не мог бросить старый метод и в начале 21-го века все считал на счетах. Да не просто считал, а считал чуть ли не быстрее ВлпродвинутыхВ» с электронными калькуляторами. Это ли не доказательство того, что счеты тАУ изобретение на века?

Вз2 Умножение и деление без приборов.

Длительное время счет чисел выполняли только устно с помощью каких-либо предметов тАУ пальцев, камешков, ракушек и др., а позже на специальных приборах тАУ абаке, счетах. Только после того, как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислеВнниях они записывали числа паВнпочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную досВнку. Цифры, изображенные на песВнке, легко было стирать, а на их меВнсте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято записывать слагаемые в столВнбик тАФ одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, слоВнжение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее заВнписанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

С XV века способ письменного сложения чисел принял современный вид. [№2, стр. 81-82]

Привожу краткую справку о том, когда впервые появились общеупотребительные теперь знаки арифметических действий и другие математические операторы:

+ и - в рукописях Леонардо-да-Винчи (1452-1519). В начале XV века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова ВлплюсВ» (по латыни Р), что означало ВлсложитьВ». До этого долгое время слагаемые просто записывали друг против друга без всякого знака. Древние египтяне обозначали сложение особым знаком тАУ рисунком шагающих ног. Название ВлслагаемоеВ» впервые встречается в работах математиков XIII в., а понятие ВлсуммаВ» до XV века означало результат любого из четырех арифметических действий. Для обозначения вычитания в III в. до Н. э. В Греции использовали перевернутую букву пси (Ψ). Итальянские математики пользвались для обозначения вычитания буквой μ, начальной в слове ВлминусВ». Торговцы XVI в., отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного вина (вероятно, так произошел знак -). Чтобы отличить знак минус от тире, Л.Ф.Магницкий обозначал вычитание знаком ÷.

Х в сочинении Утреда (1631). Для обозначения действия умножения в XVI в. в Европе употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение тАУ ВлмультипликацияВ». В конце XVIII в. большинство математиков стали употреблять для обозначения умножения точку, но допускали и употребление косого креста.

. и : в сочинении Лейбница (1646-1716). На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком тАУ его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление первой буквой этого слова. До знака : у некоторых математиков встречался знак ÷ для обозначения деления.

в сочинении Фибоначчи (1202). Арабы ввели для обозначения деления черту. От арабов этот знак перенял итальянский математик Фибоначчи.

аⁿв сочинении Шюке (1484)

= в сочинении Р. Рекорда (Риккорда) (1557). Сам Риккорд объяснял этот знак так: ВлНикакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линииВ». Знак = стал общепризнанным благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница.

( ) и [ ] в сочинении Жирара. [№1, стр. 54; №2, стр. 80-87]

Предки наши пользовались гораздо более громоздВнкими и медленными приемами счисления. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочВнностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетВнного дела.

Принято думать, что арифметические знаки до изВнвестной степени интернациональны, что они одинаковы у всех народов европейской культуры. Это верно лишь по отношению к большинству знаков, но не ко всем. Знаки + и -, знаки х и : употребляются в одинаковом смысле и немцами, и французами, и англичанами. Но точка, как знак умножения, применяется не вполне тожВндественно разными народами Одни пишут 7 . 8, другие тАФ 7 тАв 8, поднимая точку на середину высоты цифры. То же приходится сказать о знаке дробности, т. е. о знаке, отВнделяющем десятичную дробь от целого числа. Одни пиВншут как мы, 4,5, другие 4.5, третьи 4^В·5, помещая точку выше середины. Англичане и американцы совсем опуВнскают ноль перед десятичной дробью, чего на контиВнненте Европы никто не делает. В американской книге вы встречаете такие обозначения, как .725 или тАв725, или даже ,725 тАФ вмес

Вместе с этим смотрят:

10 способов решения квадратных уравнений

РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора

РЖнженерна графiка

РЖнтегральнi характеристики векторних полiв

РЖнтерполювання функцiй