Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников
1. Анализ учебной и учебно-методической литературы по геометрии
1.1. Анализ учебников по геометрии основной школы
1.2. Анализ учебно-методической литературы
2. Логическое мышление: основные понятия.Анализ психолого-педагогической литературы
2.1. Природа и виды мышления
2.2. Развитие мышления ребенка
2.3. Понятие логического мышления
2.4. Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике
3. Методика решения задач на построение
3.1. Анализ
3.2. Построение
3.3. Доказательство
3.4. Исследование
3.5. Методические рекомендации по обучению решению задач на построение
4. Методы решения задач на построение
4.1. Метод геометрических мест
4.2. Методы геометрических преобразований
4.2.1. Метод центральной симметрии
4.2.2. Метод осевой симметрии
4.2.3. Метод параллельного переноса
4.2.4. Метод поворота
4.2.5. Метод подобия
4.3. Алгебраический метод
5. Опытное преподавание
Заключение
Библиографический список
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
ВведениеГеометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.
И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии. Однако, анализ содержания школьного математического образования позволил выявить ряд недостатков в обучении школьников:
1. Наметилась четкая тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе математики. Это объясняется тем, что значительно сужена роль задач на построение, которая соответствует целям обучения, таким как развитие мышления и воспитание учащихся, и проявляется в виде воздействия на мышление учеников, в первую очередь на логическое. В большинстве случаев, считается, что главная и единственная цель обучения решению таких задач тАУ это формирование практических умений и навыков построения основных геометрических фигур: треугольников, перпендикуляров, биссектрис и т. п., то есть основное внимание уделяется практическому значению задач, при этом совершенно не рассматривается вопрос развития логического мышления учеников и возможности использования задач на построение при изучении геометрии.
2. Знания учащихся по данной теме нередко носят формальный характер, наблюдается отсутствие структурности. Так, при изучении задач на построение единственное, что требует учитель тАУ это знание соответствующих алгоритмов построений. При этом не объясняется, как получен данный алгоритм. Поэтому ученик вынужден запоминать материал без понимания.
3. В настоящий момент в школе недостаточно уделяется внимания рассмотрению таких основных методов решения задач на построение как метод преобразований, алгебраический метод, метод геометрического места точек.
4. У учащихся нет четкого представления об этапах решения задач на построение: анализе, построении, доказательстве и исследовании, которые точно соответствуют этапам любого логического рассуждения. Практически не уделяется внимание одному из важных этапов тАУ исследованию, в котором учащиеся зачастую не видят смысла, несмотря на то, что он, в свою очередь, является хорошим средством развития логического мышления.
Перечисленные выше недостатки и определили проблему исследования.
Проблема исследования заключается в рассмотрении на основе психологии, педагогики и методики преподавания математики возможности развития логического мышления учащихся при решении задач на построение в курсе основной школы.
Цель исследования: разработать методические рекомендации при решении задач на построение, способствующие развитию логического мышления учащихся.
Объект исследования: процесс обучения геометрии учащихся в курсе основной школы.
Предмет исследования: процесс обучения решению задач на построение.
Гипотеза: применение разработанных методических рекомендаций при решении задач на построение будут способствовать наиболее эффективному развитию логического мышления учащихся при обучении геометрии в курсе основной школы.
Задачи:
1) провести анализ учебных программ, учебной и учебно-методической литературы;
2) рассмотреть понятие логического мышления;
3) рассмотреть основные этапы решения задач на построение;
4) разработать методические рекомендации по обучению решению задач на построение;
5) рассмотреть методы решения задач на построение;
6) осуществить опытное преподавание.
Методы исследования:
1) анализ учебной, учебно-методической, психолого-педагогической литературы;
2) наблюдение;
3) анкетирование;
4) проведение психологических методик;
5) проведение опытного преподавания.
1. Анализ учебной и учебно-методической литературыпо геометрииНами был предварительно проведен и анализ программы по математике (см. Приложение 1).
А также анализ учебников по математике для 5-6 классов.
1) Н.Я. Виленкин тАЬМатематика 5тАЭ [12]: в учебнике две главы тАЬНатуральные числатАЭ и тАЬДробные числатАЭ, каждая содержит четыре параграфа. В нем первым из построений с помощью линейки (Глава 1,Вз1) является построение отрезка (далее уже многоугольника). А также изучается сравнение отрезков с помощью циркуля. Далее идет изучение прямой и луча. Следующие построения рассматриваются в начале второй главы в пункте окружность и круг. А именно построение окружности с помощью циркуля. В конце курса школьники учатся обращаться с чертежным треугольником (построения прямого угла).
Н.Я. Виленкин тАЬМатематика 6тАЭ [13]: в этом учебнике также две главы тАЬОбыкновенные дробитАЭ и тАЬРациональные числатАЭ, каждая содержит четыре параграфа. В конце курса учащиеся знакомятся с перпендикулярными и параллельными прямыми и строят их с помощью чертежного треугольника и линейки.
2) Г.В. Дорофеев тАЬМатематика 5тАЭ [14]: в данном учебнике первым из построений с помощью линейки является построение прямой, проходящей через две данные точки, а также построение окружности с помощью циркуля. Далее следует изучение луча и сравнения отрезков с помощью циркуля. В следующей главе рассматривается понятие угла и его построение, в том числе с помощью угольника. Третья глава посвящена изучению многоугольников, в частности прямоугольников и треугольников.
Г.В. Дорофеев тАЬМатематика 6тАЭ [15]: в главе 2 тАШПрямые и окружноститАЩ знакомит учащихся с перпендикулярными и параллельными прямыми, и их построением с помощью угольника и линейки. Далее определяются касательная к окружности, концентрические окружности, и рассматриваются варианты взаимного расположения прямой и окружности, двух прямых на плоскости. Предлагаются различные задачи на построение касательной к окружности; окружности, касающейся двух параллельных прямых; двух окружностей. Одна из глав учебника посвящена изучению симметрии: осевой и центральной. Предлагаются задачи на построение симметричных фигур, а также на нахождение кратчайшего пути. Также имеется глава, посвященная фигурам на плоскости, в частности треугольникам и параллелограммам. В ней рассматривается построение треугольника по трем сторонам и предлагаются задачи на построение различных треугольников (прямоугольных, равнобедренных, остроугольных, тупоугольных).
1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]
а) 7 класс: содержит четыре главы. Тема тАЬЗадачи на построениетАЭ изучается в конце главы 2 тАЬТреугольникитАЭ. В этом параграфе содержатся пункты тАЬОкружностьтАЭ, тАЬПостроения циркулем и линейкойтАЭ и тАЬПримеры задач на построениетАЭ. Основываясь на том, что учащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, в теме рассматриваются задачи на построение такие как: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Схема, по которой решаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 тАУ отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).
В главе 3 тАЬПараллельные прямыетАЭ рассматривается построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямой и точке (в форме задачи).
В главе 4 тАЬСоотношения между сторонами и углами треугольникатАЭ рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам.
В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводится пример.
б) 8 класс: содержит пять глав. В главе 5 тАЬЧетырехугольникитАЭ после изучения многоугольника, параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма и трапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.
В главе 7 тАЬПодобные треугольникитАЭ рассматриваются задача на построение треугольника, при решении которой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качестве практического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель главы 7 тАУ сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников (см. Приложение 1).
В начале главы 8 тАЬОкружностьтАЭ в пункте тАЬКасательная к окружноститАЭ решается задача о проведении касательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержит каждый пункт главы. Основная цель главы 8 тАУ дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях (см. Приложение 1).
В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение.
в) 9 класс: содержит четыре главы. В главе 12 тАЬДлина окружности и площадь кругатАЭ в Вз1 тАЬПравильные многоугольникитАЭ рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 тАУ расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках (см. Приложение 1).
В главе 13 тАЬДвижениятАЭ изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 тАУ познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом (см. Приложение 1).
2) А.В.Погорелов [5]
а) 7 класс: содержит пять параграфов. В Вз1 тАЬОсновные свойства простейших геометрических фигуртАЭ рассматривается, как построить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В Вз2 тАЬСмежные и вертикальные углытАЭ рассматривается, как построить перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки. Вз5 тАЬГеометрические построениятАЭ содержит пункт тАЬЧто такое задачи на построениетАЭ, где рассказывается о чертежных инструментах и о том, что значит решить задачу на построение. Схема решения не вводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. Далее идут пункты тАЬГеометрическое место точектАЭ, в котором вводится определение ГМТ и Теорема о ГМТ, равноудаленных от двух данных точек; а также тАЬМетод геометрических месттАЭ, который раскрывает сущность данного метода. В конце параграфа приводится ряд задач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Основная цель Вз5 тАУ решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).
б) 8 класс: содержит пять параграфов. В конце Вз6 тАЬЧетырехугольникитАЭ содержится задача на построении четвертого пропорционального отрезка. Также содержится ряд задач на построение параллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. Основная цель Вз6 тАУ дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах (см. Приложение 1). В Вз9 тАЬДвижениетАЭ изучаются геометрические преобразования: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель Вз9 тАУ познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований (см. Приложение 1).
в) 9 класс: в Вз11 тАЬПодобие фигуртАЭ изучаются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель Вз11 тАУ усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения (см. Приложение 1). В Вз13 тАЬМногоугольникитАЭ рассматриваются построения некоторых правильных многоугольников. В конце имеется пара задач: вписать в окружность n-угольник и описать около окружности правильный -угольник. Основная цель Вз13 тАУ расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях (см. Приложение 1).
3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]
а) 7 класс: содержит три главы. В главе 1 тАЬНачала геометриитАЭ в Вз5 тАЬОкружность и кругтАЭ содержится пункт тАЬПостроения циркулем и линейкойтАЭ, в котором рассказывается о чертежных инструментах, с помощью которых выполняются задачи на построение. Тут же приводится задача на построение треугольника, стороны которого равны сторонам данного треугольника. Приводится построение, доказательство и исследование, но на общей схеме внимание не заостряется. Вз6 тАЬУглытАЭ содержит пункт тАЬПостроение угла, равного данному, циркулем и линейкойтАЭ. Для самостоятельного решения задач нет. В Вз7 тАЬДействия над угламитАЭ рассматривается задача на построение биссектрисы угла, которая решает еще две задачи: в данной точке прямой провести перпендикуляр к ней, построить прямой угол. Также параграф содержит пункт тАЬЗадача о делении угла на равные части циркулем и линейкойтАЭ, в котором рассказывается о неразрешимости задачи о трисекции угла. Основная цель главы 1 тАУ рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения (см. Приложение 1).
В главе 2 тАЬТреугольникитАЭ в Вз10 тАЬПризнаки равенства треугольниковтАЭ рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними. В Вз11 тАЬСерединный перпендикуляртАЭ первыми пунктами идут задачи о делении отрезка пополам и о построении перпендикуляра к данной прямой через данную точку, не лежащую на данной прямой. В конце параграфа содержится несколько задач на построение. Основная цель главы 2 тАУ развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур (см. Приложение 1).
В главе 3 тАЬПараллельностьтАЭ в Вз13 тАЬПараллельные прямыетАЭ изучается, как строить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В Вз14 тАЬАксиома параллельноститАЭ рассматривается задача о построении треугольника по стороне и двум прилежащем к ней углам.
б) 8 класс: содержит три главы. В главе 5 тАЬМетрические соотношения в треугольникетАЭ в Вз тАЬПрименение теоремы ПифагоратАЭ содержится пункт тАЬГеометрическое место точектАЭ, где объясняется, что значит, когда про фигуру говорят, что она является ГМТ, обладающих данным свойством. Также приводятся примеры, каким ГМТ являются биссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф содержит такие задачи как, например, найти ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; найти ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.
в) 9 класс: содержит две главы. В главе 7 тАЬМногоугольники и окружноститАЭ в задачах для самостоятельного решения к Вз31 тАЬХорды и касательныетАЭ содержатся задача на нахождение ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом; задача на построение касательной к окружности из данной точки, общей касательной к двум окружностям. Вз33 тАЬПравильные многоугольникитАЭ содержит пункт тАЬПостроение правильных многоугольниковтАЭ с помощью циркуля и линейки. Также в нем рассказывается о том, что циркулем и линейкой могут быть построены не все правильные -угольники, а только те, у которых n имеет определенное разложение. Предлагается решить задачи: вписать в окружность различные правильные -угольники. В Вз35 тАЬПлощадь кругатАЭ рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга.
В главе 8 тАЬДругие методы геометриитАЭ в Вз36 тАЬМетод координаттАЭ содержится пункт тАЬОкружность АполлониятАЭ, где решение задачи о ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина. В Вз40 тАЬВиды движенийтАЭ рассматриваются тАЬМетод параллельного переносатАЭ, тАЬМетод симметриитАЭ и тАЬМетод поворотатАЭ. Приводятся примеры задач на построение, решение которых основано на данных методах. В задачах для самостоятельного решения к Вз40 содержатся задачи на отработку изученных методов, в том числе задачи на построение трапеции и треугольника по данным элементам. В Вз42 тАЬПодобиетАЭ рассматривается тАЬМетод подобиятАЭ. В качестве примера приводится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. В задачах для самостоятельного решения к Вз42 содержатся задачи на отработку изученного метода, в том числе задачи на построение прямоугольного треугольника по отношению катетов к гипотенузе и по отношению катетов к периметру. А также задачи: построить квадрат, вписанный в треугольник, ромб, сегмент; построить сегмент, вписанный в равносторонний треугольник, квадрат, окружность. Основная цель главы 8 тАУ познакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований (см. Приложение 1).
4) А.П. Кисилев, Н.А. Рыбкин [8]
Учебник содержит пять глав и сборник задач по геометрии.
В главе 1 тАЬПрямая линиятАЭ в Вз1 тАЬУглы тАЭ рассматривается построение перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки. Вз3 тАЬТреугольникитАЭ содержит пункт тАЬГеометрическое местотАЭ, где дается определение ГМТ, и приводятся примеры: что является ГМТ серединного перпендикуляра и биссектрисы. Далее следует Вз 4 тАЬОсновные задачи на построениетАЭ, где рассматриваются задачи на построение треугольника по трем его сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикуляра к прямой из данной точки, лежащей и не лежащей на прямой; серединного перпендикуляра; задача о делении отрезка пополам; построение треугольника по основанию, углу, прилежащему к основанию, и сумме двух боковых сторон. После рассмотренных задач приводится схема решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. В конце Вз4 имеется блок задач на построение для самостоятельного решения, который содержит задачи на построение суммы, разности углов; деление угла на частей; построение различных треугольников по различным элементам; разделение данного отрезка на n равных частей; задачи на нахождение ГМТ, равноудаленных от двух данных точек, от трех вершин треугольника, от трех сторон треугольника и т.д. В Вз5 тАЬПараллельные прямыетАЭ рассматривается построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Вз6 тАЬПараллелограммы и трапециитАЭ содержит пункт тАЬЗадачи на построениетАЭ, в котором рассматриваются методы параллельного переноса, симметрии и примеры задач. Также учащимся предлагается самостоятельно решить задачи на построение трапеций, четырехугольников и треугольников по различным данным элементам, основываясь на изученных методах. В конце главы 1 имеется ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.
В главе 3 тАЬПодобные фигурытАЭ в Вз4 тАЬПодобие фигур произвольного видатАЭ имеется пункт тАЬЗадачи на построениетАЭ, в котором рассматривается метод подобия, но задач на применение метода данный пункт не содержит. В Вз5 тАЬНекоторые теоремы о пропорциональных отрезкахтАЭ рассматривается задача о построении четвертого пропорционального отрезка. В Вз6 тАЬМетрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигуртАЭ рассматривается задача о построении отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками. Вз8 тАЬТригонометрические функции острого углатАЭ содержит пункт тАЬПостроение угла по заданной величине одной из его тригонометрических функцийтАЭ. В Вз9 тАЬПонятие о приложении алгебры к геометриитАЭ рассматривается задача о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении, а затем следует пункт тАЬАлгебраический способ решения геометрических задачтАЭ, который раскрывает алгебраический метод решения задач на построение. Следующим пунктом идет тАЬПостроение простейших формултАЭ с помощью циркуля и линейки. В конце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.
В главе 4 тАЬПравильные многоугольникитАЭ в Вз1 тАЬПравильные многоугольникитАЭ рассматривается задача: вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону в зависимости от радиуса. Также далее в пункте тАЬНа сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?тАЭ, в котором дается указание, как разделить окружность на определенное равное количество частей (и вписать в окружность правильные многоугольники с таким числом сторон).
В главе 5 тАЬИзмерение площадейтАЭ в Вз1 тАЬПлощади многоугольниковтАЭ рассматриваются задачи на построение треугольника (квадрата), равновеликого данному; квадрата, площадь которого равна сумме (разности) площадей двух данных квадратов; площадь которого относится к площади данного квадрата, как m:; разделить данный треугольник на m равновеликих частей прямыми, параллельными его стороне. В Вз2 тАЬПлощадь круга и его частейтАЭ приводится пункт, в котором рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга. В конце главы 5 содержится блок задач на построение.
В сборнике задач также имеются задачи на построение.
Вывод: В учебниках для 5-6 классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построение из всех геометрических заданий: 5 класс тАУ 39%, 6 класс тАУ 34%. В целом картина кажется достаточно отрадной. Однако если учесть, что сам по себе геометрический материал в учебниках не превышает 13-16% от всего содержания учебника, то указанный процент заданий на построение падает до 4-6% [3].
Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках (кроме учебника [7]) рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа. В учебнике [5] ее нет.
В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) тАУ по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.
Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.
В таблице приведен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках:
| Учебники | Класс | Всего задач в учебнике | Из них на построение | Процент от общего числа задач |
| Александров А.Д. и др. тАЬГеометрия 7-9тАЭ | 7 | 33 | 8 | 24 |
| 8 | 643 | 95 | 15 |
| 9 | 556 | 89 | 16 |
| Атанасян Л.С. и др. тАЬГеометрия 7-9тАЭ | 7 | 362 | 90 | 25 |
| 8 | 448 | 64 | 14 |
| 9 | 321 | 36 | 11 |
| Погорелов А.В. тАЬГеометрия 7-9тАЭ | 7 | 218 | 42 | 20 |
| 8 | 298 | 35 | 12 |
| 9 | 206 | 10 | 5 |
Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Быть может ситуация обусловлена тем, что к 9 классу у всех школьников уже развито логическое и пространственное мышление, сформированы графические умения и навыки, они легко и верно читают любой чертеж, не затрудняются с его интерпретацией, легко строят любой нужный чертеж по тексту задачи? Увы, ситуация совсем не такова. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать те разделы математики, где самостоятельно сделанная и хорошо понятая графическая интерпретация является тем самым тАЬлучом света в темном царстветАЭ, которого так иногда не хватает школьнику при изучении математики.
1) И.Ф. Шарыгин тАЬЗадачи по геометрии (Планиметрия)тАЭ [28]
Книга, состоящая из двух частей, включает более 600 задач по планиметрии. Вторая часть содержит параграф, посвященный теме геометрических мест точек. Задач предлагается немного, они достаточно сложные, предназначенные по большей мере для специализированных классов, для студентов. Задачи сопровождаются указаниями и подробными решениями. В некоторых других параграфах второй части, таких как, например, тАЬТреугольниктАЭ и тАЬОкружности и касательныетАЭ, также встречаются задачи на нахождение геометрического места точек.
2) В.В. Прасолов тАЬЗадачи по планиметрии (в двух частях)тАЭ [22] [23]
В этот сборник включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными знаниями уровня. Для всех задач прилагаются решения. Книга состоит из двух частей. Первая содержит классические темы планиметрии, вторая тАУ геометрические преобразования и задачи на олимпиадную и кружковую тематику.
Всего 29 глав. За основу классификации задач приняты методы решения геометрических задач. Одна из глав посвящена методу ГМТ, которая содержит достаточное количество задач на построение разного уровня сложности, в которых применяется данный метод. Применяются как основные ГМТ, так и более сложные.
Есть глава, посвященная геометрическим построениям треугольников, четырехугольников, окружностей с помощью различных методов, включает в себя разнообразный набор задач на построение. Кроме того, в этой главе рассматриваются построения с помощью одной линейки, одной двусторонней линейки, с помощью одного прямого угла. Также здесь приводятся необычные построения (например, деление угла на равных частей).
Имеются отдельные главы, посвященные методам параллельного переноса, центральной симметрии, осевой симметрии, поворота, гомотетии, в которых также хорошо отражена суть методов и содержится хороший набор задач разного уровня на применение каждого метода. Даются основные понятия к каждой главе.
3) Я.П. Понарин тАЬЭлементарная геометрия (в двух томах)тАЭ [20] [21]
Книга предназначена для более углубленного изучения элементарной геометрии. Для учащихся школ, лицеев, гимназий с математической специализацией и студентов. Первый том посвящен планиметрии и преобразованиям плоскости, второй тАУ стереометрии и преобразованиям пространства.
В данном пособии уделено много внимания методу геометрических преобразований, в связи с тем, что чисто геометрические методы в последнее время отходят на второй план и данный метод до сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Как пишет автор, его пытались изучать с самого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу. Теперь предполагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнему ученики не владеют им даже на начальном уровне. В книге расширен материал школьных учебников, добавлены многие геометрические факты. Теория геометрических построений вынесена за рамки пособия. В систематическом виде изложен теоретический и задачный материал по методу геометрических преобразований плоскости. Он позволяет оригинально и красиво решать многие геометрические задачи. Большую часть пособия составляют задачи различной степени трудности, к большинству из них даны ответы или краткие указания.
Первый том содержит две части. Вторая часть посвящена преобразованиям плоскости. В частности две первые ее главы описывают движения плоскости и методы решения задач на построение (центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие).
Второй том также содержит две части. В первой части четвертая глава посвящена ГМТ. Здесь рассматриваются различные ГМТ плоскости, а также ГМТ пространства: разность квадратов расстояний, сумма квадратов расстояний, сфера Аполлония. Применение метода ГМТ для решения стереометрических задач. Вторая часть посвящена преобразованиям пространства аналогично второй части первого тома. Две первые ее главы описывают движения пространства и методы решения задач на построение (центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, подобие).
В книге отдельно не выделяется применение метода ГМТ для планиметрических задач, а также не рассмотрен алгебраический метод.
4) И.И. Александров тАЬСборник геометрических задач на построение с решениямитАЭ [1]
Книга насчитывает более 600 задач на построение, что представляет учащимся и преподавателям огромный выбор. В основном книга посвящена решению задач на построение при помощи циркуля и линейки, но последний раздел посвящен решению задач одним циркулем, двусторонней линейкой, прямого или острого угла, односторонней линейкой с применением вспомогательной окружности Штейнера.
Сборник можно разделить на три части, включающие: 1) основные построения; 2) задачи, приучающие к построениям; 3) задачи на различные методы решения (метод ГМТ, метод геометрических преобразований, алгебраический метод). Представлен очень хороший набор задач различной степени сложности, на применение различных методов, и приведены решения. Каждый метод подробно описан, приведены примеры. Также в книге рассмотрена тема: тАЬПрименение тригонометрии к решению геометрических задач на построениетАЭ.
Вывод: Во всех книгах достаточно хорошо рассмотрены те или иные методы решения задач на построение, приведены решения задач. В книге [28] представлены задачи только на метод ГМТ. Сборники [22], [23] содержат отдельные главы, посвященные различным методам (кроме алгебраического). Включенные в них задачи имеют несколько повышенный по сравнению со школьными знаниями уровень. Наиболее оптимальным из рассмотренных книг, по нашему мнению, является сборник [1], он содержит много задач на применение различных методов. Причем только в нем рассматривается алгебраический метод. Кроме того, достаточно хорошими книгами являются пособия [20], [21]. В них наилучшим образом представлена тема геометрических преобразований и только здесь рассматривается ГМТ пространства.
2. Логическое мышление: основные понятия.Анализ психолого-педагогической литературы Существуют различные подходы к понятию тАЬмышлениетАЭ. Приведем некоторые из них.
Мышление тАУ высшая форма активного отражения объективной реальности, состоящая в целенаправленном, опосредованном и обобщенном познании субъектом существующих связей и отношений предметов и явлений в творческом созидании новых идей, в прогнозировании событий и явлений [27].
Мышление тАУ социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы [16].
Мышление отражает бытие в его связях и отношениях, в его многообразных опосредованиях.
Мышление тАФ это обобщенное отражение объективной действительности в ее закономерных, наиболее существенных связях и отношениях. Оно характеризуется общностью и единством с речью. Другими словами, мышление есть психический процесс познания, связанный с открытием субъективно нового знания, с решением задач, с творческим преобразованием действительности.
Мышление тАУ психический процесс обобщенного и опосредованного отражения устойчивых, закономерных свойств и отношений действительности, существенных для решения познавательных проблем, схематической ориентации в конкретной ситуациях.
Выделяют следующие виды мышления [26]:
1) Наглядно-действенное мышление. Основная характеристика этого мышления: решение задачи осуществляется с помощью реального преобразования ситуации, с помощью наблюдаемого двигательного акта.
2) Образное (или наглядно-образное) мышление. Функции образного мышления связаны с представлением ситуаций и изменений в них, которые человек хочет получить в результате своей деятельности, преобразующей ситуацию; с конкретизацией общих положений. С помощью образного мышления более полно воссоздается все многообразие различных фактических характеристик предмета. В образе может быть зафиксировано одновременное видение предмета с нескольких точек зрения. Очень важная особенность образного мышления тАФ установление непривычных, тАЬневероятныхтАЭ сочетаний предметов и их свойств. В отличие от наглядно-действенного мышления при наглядно-образном мышлении ситуация преобразуется лишь в плане образа.
3) Теоретическое (или словесно-логическое) мышление. Это мышление характеризуется использованием понятий, логических конструкций, существующих, функционирующих на базе языка, языковых средств. Теоретическое мышление выявляет всеобщее отношение, исследует объект познания в системе его необходимых связей. Ег
Вместе с этим смотрят:
WEB-дизайн: Flash технологии
РЖiрархiчна структура управлiння фiзичною культурою i спортом в Хмельницькiй областi у м. КамтАЩянець-Подiльському
РЖгрова дiяльнiсть в групi продовженого дня
РЖнновацiйнi методи навчання на уроках зарубiжноi лiтератури
РЖнтенсифiкацiя навчального процесу у вищiй школi