Роль умственного приема классификации в формировании математических понятий у младших школьников

Проводимые в нашей стране преобразования ставят перед школой задачу не только вооружить школьников знаниями, но и научить их применять на практике, проявлять познавательный интерес и пытливость ума. Характерным признаком развития дидактики конца ХХ столетия является направленность на развитие личности. Умственное развитие личности, которое в государственной национальной программе ВлОсвiта. Украiна ХХРЖ столiттяВ» определено как приоритетное направление реформирования образования, требует не только определенного количества знаний, но и сформированности математических понятий, умственных действий и приемов. В Государственном стандарте общего среднего образования указано, что: ВлОзнакомление школьников с математикой должно рассматриваться, как особый метод миропонимания, познания ими диалектической связи математики с действительностью и математического моделирования сопутствующего развитию их научного мировоззренияВ».

Решающее значение для системы школьного математического образования имеет формирующий аспект предмета математики, широкие возможности для умственного развития личности.

В последние годы одним из основных образовательных заданий начальной школы является усвоение учениками математических понятий и формирование у них общих и специфических умственных действий.

С точки зрения современной психологии и дидактики ошибочным является утверждение о том, что овладение самим содержанием курса математики автоматически формирует мышление школьников. Необходимо специально учить умению мыслить, давать учащимся знания о содержании и последовательности умственных действий, обеспечивающих усвоение курса математики. Однако конкретной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформированы при изучении данного предмета, пока нет. В результате работа над развитием логического мышления школьников идет без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания последовательности формирования. Это приводит к тому, что большинство учащихся не овладевают основными приемами мышления даже в старших классах школы, а эти приемы необходимы уже младшим школьникам: без них не происходит полноценного усвоения материала.

Образование и становление понятий, переход к ним от чувственных форм отражения тАУ сложный процесс, в котором применяются такие приемы умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Понятие тАУ Влэто мысль, в которой отражаются общие, и притом существенные свойства предметов. Вместе с тем понятие не только отражают общее, но и расчленяют вещи, группируют их, классифицируют в соответствии с их различиямиВ» [40 с.27] Таким образом, умственные действия (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, аналогия) составляют внутреннюю структуру понятия, его механизм.

Следовательно, не овладев основными приемами мышления, учащиеся испытывают трудности в усвоении системы понятий, в том числе и математических, которые в свою очередь служат опорным моментом в познании действительности и являются своеобразным итогом познания. Поэтому понятия являются одной из главных составляющих в соВндержании любого учебного предмета начальной школы, в том числе - и математики. Понятийное мышление формируется в начальных классах и раскрывается, совершенствуется в течение всей жизни.

Изложенное выше обусловило выбор темы исследования ВлРоль умственного приема классификации в формировании математических понятий у младших школьниковВ».

К числу фактов, определивших выбор темы нашего исследования, относится также недостаточная научная разработанность данной проблемы. Анализируя подходы и концепции, сложившиеся в теории и практике умственного развития, следует отметить исследования, посвященные формированию математических понятий у детей (Л. С. Выготский, Ж. Пиаже, Д.Б.Эльконин, В.В. Давыдов, П.Я.Гальперин, Л.И. Айдарова), развитию компонентов мышления, методикам формирования приемов умственной деятельности у школьников (Н.Ф. Талызиной, Н.Б. Истоминой, Е.Н. Кабановой-Меллер, В.Н. Осинской, В. Ф. Паламарчук, Н.А. Менчинской, З.И. Слепкань, К.А. Степановой, Н.Г. Салминой, В.П. Сохиной, В.И. Зыковой, М.Б. Волович), формированию алгоритмов, способов и приемов мышления учащихся средней школы (В.М. Косатая, Л.Н. Ланда, И.С. Якиманская), но развитие и формирование отдельных умственных приемов, их значение в формировании математических понятий в условиях обучения младших школьников еще не нашла своего места в содержании математики начальных классов.

Объектом исследования является процесс формирования математических понятий у учащихся начальных классов.

Предмет исследования тАУ организация учебной деятельности по формированию математических понятий с использованием умственного приема классификации у младших школьников.

Гипотеза исследования базируется на предположении о том, что систематическое и целенаправленное формирование и использование приема умственной деятельности классификации будет способствовать более глубокому и сознательному усвоению математических понятий младшими школьниками.

Цель исследования тАУ заключается в обосновании и реализации методики формирования системы математических понятий у младших школьников с использованием приема классификации.

Цель работы и выдвинутая гипотеза позволили определить следующие основные задачи исследования:

- исследовать состояние проблемы в психолого-педагогической теории и практике школьного обучения;

- установить место и роль математических понятий в процессе обучения математики;

- определить методические требования к формированию математических понятий;

- обобщить опыт работы учителей, личный опыт по работе над математическими понятиями при обучении математике;

- проверить сформированность математических понятий у учащихся процессе опытно-экспериментальной работы.

Методы исследования:

- анализ отобранного программного материала, на котором можно реализовать проблему формирования математических понятий у младших школьников;

- анализ методов, средств, форм организации по формированию математических понятий у младших школьников;

- изучение психолого-педагогической, методической, философской литературы по проблеме формирования математических понятий в начальной школе.

тАУ изучение результатов деятельности младших школьников (проверка контрольных, самостоятельных работ и устного опроса) с целью определения уровня знаний и умений младших школьников при изучении отдельных тем.

Теоретическая значимость состоит в теоретическом обосновании идеи формирования математических понятий с использованием приема умственной деятельности классификации у учеников начальных классов. Разработке теоретической модели системы работы над математическими понятиями, что обеспечивает высокий уровень осмысления хода решения математического задания, а также способствуют развитию элементов творческого мышления у младших школьников.

Практическая значимость полученных результатов исследования состоит в апробации тестов и разработке комплекса тестовых заданий для определения сформированности понятий учеников в процессе изучения курса математики, в подготовке методических разработок, а также программ для статистической обработки результатов экспериментальной работы.

Дипломная работа состоит из введения, 2 глав, заключения, выводов, списка использованной литературы, приложений. Общий объем работы - 96.

Базой проведения экспериментального исследования был учебно-воспитательный комплекс Влсредняя общеобразовательная физико-математическая школа I тАУ III ступеней № 6 тАУ дошкольное учебное учреждение № 31.

РАЗДЕЛ 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

1.1. Понятие в психолого-педагогической, философской, учебно-методической литературе

В педагогической, психологической, методической литературе указано, что мышление лежит в основе познания. Одна из характерных особенностей детского мышления тАУ его наглядность, чувственно-практическая направленность.

В процессе отражения окружающей действительности различают познание чувственное и логическое. У младших школьников познание окружающей действительности осуществляется через формирование у них ощущений на основе деятельности органов чувств. В головном мозге идет отражение отдельных, изолированных свойств, внешних сторон предметов, явлений, которые непосредственно действуют на органы чувств. Но отдельных, изолированных свойств от предметов, явлений материального мира не существует. Поэтому отражение отдельных свойств предметов неизбежно приводит к отражению в сознании предмета в целом, таким образом, из ощущений возникает восприятие, в котором ученик отражает уже совокупность свойств, характерных для данного объекта, ВлстроитВ» чувственно-наглядный образ, отражая уже объект в целом, во взаимосвязи его особенностей.

Чувственно-наглядный образ предметов и явлений действительности, сохраненный в сознании и без непосредственного воздействия самих предметов и явлений действительности на органы чувств называется представлением. Они возникают не мгновенно и не в законченном виде, а формируются, постепенно совершенствуются, изменяются под влиянием новых, целенаправленных актов восприятия. Представления возникают в сознании детей в виде наглядных образов, носят конкретный характер, тем не менее, эти образы могут отражать несущественные признаки, так как часть ощущений упускается.

Возникнув на основе ощущений и восприятия, являясь формой более обобщенного, но вместе с тем наглядно-чувственного отражения окружающей действительности, представления служат переходной ступенью к высшей форме познания тАУ логическому, которое опирается на систему взаимосвязанных понятий. Формирование понятий невозможно без мыслительной деятельности школьников.

В педагогике понятие тАУ это Влформа научного знания, отражающая объективно существенное в вещах и явлениях и закрепляемая специальными терминами или обозначениями. В отличие от чувственных образов понятие тАУ это нечто непосредственное, взятое во всем многообразии его качественных его особенностей. Из всего этого многообразия понятие отвлекает существенное и тем самым получает знание всеобщности, в чем и состоит его главная отличительная чертаВ» [52, с.156].

Понятие тАУ Влодна из форм мышления, высший уровень обобщения, характерный для мышления словесно-логическогоВ» [38, С.123].

Понятием называют также Влмысль, представляющую собой обобщение (и мысленное выделение) предметов некоторого класса по их специфическим (в совокупности отличительным) признакамВ» [63, с. 134].

В системе знаний об объектах и предметах окружающей действительности понятия служат опорным моментов в познании ее и являются своеобразным итогом познания. Поэтому понятия являются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе - и предметов начальной школы.

Проблема формирования понятий давно привлекает внимание психологов и педагогов (Л. С. Выготский, Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Н. А. Менчинская, Ж. Пиаже, П. Я.Гальперин, Л. И. Айдарова, Н. Г. Салмина, К. А. Степанова, В. И. Зыкова). В исследованиях, касающихся формирования понятий авторы часто обращаются к математике.

Л. С. Выготский впервые ввел в психологию деление поВннятий на научные и ненаучные - ВлжитейскиеВ», при этом он имел в виду не содержание усваиваемых понятий, а путь их усвоения. Ребенок застает сложившуюся в обществе систему понятий. Усвоение этой системы всегда происходит с помощью взрослых. До систематического обучения в школе взрослые не веВндут специальной работы по формированию понятий у детей. Они обычно ограничиваются лишь указанием на то, верно или неверно ребенок отнес предмет к соответствующему понятию. Вследствие этого ребенок усваивает понятия путем Влпроб и ошибокВ». При этом в одних случаях ориентировка фактически происходит по несущественным признакам, но в силу сочетания их в предметах с существенными в определенных пределах оказывается верной. В других - ориентировка происходит на существенные признаки, но они остаются неосознанными. Именно в этой неосознанности существенных признаков Л.С. Выготский и видел специфику так называемых житейских понятий. Такое усвоение понятий не отражает всех сторон специфически человеческого способа приобретения новых знаний.

Совсем другое дело, считал Л. С. Выготский, когда ребенок попадает в школу. Процесс обучения предполагает переход от стихийного хода деятельности ребенка к деятельности целенаправленной, организованной. Понятия, которые формируются у ребенка в школе, характеризуются тем, что их усвоение начинается с осознания существенных признаков понятия, что достигается введением определения.

Именно в этой осознанности существенных признаков Л. С. Выготский и видел специфику научных понятий. Этот путь, по его мнению, дает возможность ребенку в дальнейшем произвольно и сознательно действовать с понятием.

Исследования, проведенные впоследствии Н. А. Менчинской, показали, что предположение Л. С. Выготского не подтверждается.

Большинство учащихся безошибочно воспроизводят определение понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но при встрече с реальными объектами опираются на случайные признаки, установленные в непосредственном опыте. И только постепенно, через ряд переходных этапов, в результате своей собственной практики учащиеся научаются ориентироваться на существенные признаки предметов.

Таким образом, словесное знание определения понятия не меняет, по существу, хода процесса усвоения этого понятия, что убедительно доказывает невозможность передачи понятия в готовом виде. Ребенок может получить его лишь в результате своей собственной деятельности, направленной не на слова, а на те предметы, понятие о которых мы хотим у него сформировать.

Н. Ф. Талызина говорит о том, что знание существенных признаков понятия может изменить ход и характер познавательной деятельности только в том случае, когда эти признаки войдут в нее в качестве ориентиров, то есть будут реально участвовать в процессе решения задач, поставленных перед ребенком. Поскольку при обычной организации учебного процесса это не обеспечивается, то со стороны познавательной деятельности учащихся усвоение житейских и научных понятий у значительной части обучаемых идет весьма сходным путем.

Н. Ф. Талызина, М. Б. Волович указывают, что для усвоения понятий обязательны такие действия:

1) подведение под понятие;

2) выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта;

3) выведение следствий о принадлежности и не принадлежности объекта к понятию.

Эти действия необходимы при усвоении любых понятий.

В.Н. Осинская считает, что для овладения понятиями необходимы следующие существенные компоненты:

1) усвоение определенной системы знаний о понятии;

2) овладение специальной операционной системой действий (подведение под понятие, выбор необходимых и достаточных признаков для распознавания объекта, выведение следствий);

3) установление системы понятий и их родовидовых отношений внутри системы, взаимосвязи их признаков;

4) раскрытие генезиса понятий.

Понятия должны формироваться не изолированно друг от друга, а выступать как элементы системы, находящиеся друг с другом в определенных отношениях.

Исследования К. А. Степановой показывают, что среднеуспевающие учащиеся шестого класса при решении задач на подведение под начальВнные геометрические понятия дали 72,5% правильных ответов. Однако обоснование правильности ответа имело место только в 27,5% случаев. В исследовании В. И. Зыковой отмечается, что такой уровень усвоения понятий наблюдается вплоть до восьмого-девятого классов. К. А. Степанова и В. И. Зыкова отмечают, что знание существенных признаков не обеспечивает сознательного использования их при ориентировке в соответствующей действительности.

Ж. Пиаже считал, что дети до подросткового возраста не способны к понятийному мышлению. До этого возраста ребенок использует различные интеллектуальные образования, функционально заменяющие понятия.

В.В. Давыдов и Д.Б. Эльконин указывали на возможность более раннего формирования понятийных структур у ребенка в условиях специального обучения по сравнению с их стихийным формированием.

В.В. Давыдов считает, что Вловладеть понятием тАУ это значит не только знать признаки предметов и явлений, охватываемых данным понятием, но и уметь применять понятие на практике, уметь оперировать имВ» [50, с. 81].

П.Я. Гальперин выдвинул теорию о поэтапном формировании математических понятий. В соответствии с этой теорией формирования математических понятий осуществляется через шесть этапов:

1. Первый этап тАУ создание мотивации;

2. Второй этап - формирование схемы ориентировочной основы деятельности. Выделяют три типа построения структуры обучения, которые зависят от полноты ориентирования учеников:

- Ученикам дается образец действия и его результат. В полном объеме им не дают сведений о способе выполнения задача, поэтому ученики действуют путем попыток и ошибок. При таком типе обучения учителю приходится больше заниматься устранением ошибок, переучиванием, чем правильным обучением.

- При втором типе ориентирования ученикам дается алгоритм выполнения задача. При строгом выполнении указаний алгоритма обучение идет без ошибок и более скорое, чем при первом типе. Новая задача ученик сначала сравнивает с задачей, которую он уже решил, и если они одного типа, данный учителем алгоритм переносится на новую задачу. Недостатками такого обучения есть то, что ученику дается полный перечень операций для выполнения задачи, при этом слабо развивается эвристическая деятельность. Если ученику всегда давать готовые алгоритмы, схемы, он мало продвинется в умственном развитии, не смотрясь на то, что предметными привычками и умениями он будет владеть успешно.

- Третий тип: ученики не столько учатся способа выполнения действия при решении конкретной задачи, сколько учатся анализировать задачи и самостоятельно составлять схему действия. Ориентировочная основа действия может даваться учителем только в обобщенном виде, а ученики самостоятельно дополняют ее при выполнении конкретной задачи. Такой способ обучения оказывает содействие созданию у учеников фундамента знаний, умений и привычек, благодаря чему ученик быстро ориентируется в новых обстоятельствах и может овладевать новыми знаниями, привычками самостоятельно. Работа по третьему типу ориентирования отвечает закономерностям формирования содержательных обобщений, оказывает содействие развитию творческого теоретического мышления.

3. Третий этап обучения сводится к выполнению действия в материальной или материализованной форме.

4. На четвертом этапе происходит формирование действия с помощью устной речи без опоры на материальные или материализованные средства (все операции алгоритма, предписания проговариваются вслух по мере их выполнения). Такая система обучения разрешает ученику следить за ходом выполнения действия, обеспечивает единство предметной (внешней) и умственной (внутренней) деятельности. Со временем громкое произношение начинает снижать производительность обучения, поэтому она должна постепенно переходить в произношение Влпро себяВ».

5. Пятый этап тАУ формирование действия с помощью внутренней речи (операции проговариваются про себя, действие начинает сокращаться и автоматизироваться).

6. Шестой этап - этап интериоризации действия, то есть формирование действия во внутренней речи. Действие становится внутренним процессом, максимально автоматизируется, становится актом мышления.

Обучение, проведенное на основе этой теории, показало, что дети способны усваивать абстрактные понятия, обобщенные знания уже в первом классе начальной школы, причем в условиях массового обучения (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов, Л. И. Айдарова, Н. Г. Салмина, В. П. Сохина).

Образования понятий, переход к ним от чувственных форм отражения тАУ сложный процесс, в котором применяются такие приемы умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Понятие тАУ Влэто мысль, в которой отражаются общие, и притом существенные свойства предметов. Вместе с тем понятие не только отражают общее, но и расчленяют вещи, группируют их, классифицируют в соответствии с их различиямиВ» [41, с.27].

Классификация является частным случаем деления тАУ логической операции над понятиями. Деление тАУ это распределение на группы тех предметов, которые мыслятся в исходном понятии. Классификация представляет собой многоступенчатое, разветвленное деление [51, с.137].

С. Л. Рубинштейн дал такое определение классификации: ВлВыявляя тождество одних и различие других вещей, сравнение приводит к классификации. Тождество и различие, основные категории рассудочного познания выступает сначала как внешнее отношение. Более глубокое познание требует раскрытия внутренних связей, закономерностей и существенных свойств. Это осуществляется всеми видами мыслительных операций тАУ анализа, синтеза, обобщения, абстракцииВ»[54, с 87].

С. Д. Максименко обосновал свое видение классификации не через сравнение, а через обобщение. Он пишет: ВлОбобщение выделенных черт предметов и явлений дает возможность группировать объекты по видовым, родовым и другим признакамВ» [44, с. 98].

Чтобы осуществить классификацию, необходимо четко определить ее цель, признаки объектов, которые подлежат классификации, сравнивать их по существенным признакам, определить общие основания классификации, сгруппировать объекты по определенному признаку.

Р. С. Немов говорит о том, что ВлСравнение вскрывает тождество и различие вещей. Результатом сравнения может являться классификация. Она выступает как первичная форма теоретического и практического познанияВ».[42, с. 125]

Ю. Л. Трофимова определяла классификацию как: ВлМысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакамВ».

К определению приема умственной деятельности классификации через сравнение подходила Д. М. Дубравская. ВлСравнивая предметы и явления, мы выделяем наиболее общие их признаки и на этой основе осуществляем классификациюВ».

Как видно из определений классификация связана в учебном познании со всеми основными приемами умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, обобщение).Учитель должен обратить особое внимание на формирование специальных умений и навыков, овладение приемами мышления, понятий, познавательного интереса, которые формируются и развиваются в начальных классах. Недостаточное внимание учителя начальных классов к этим вопросам приводит к большим трудностям при последующем изучении не только математики, но и других учебных предметов.

1.2. Виды и определения математических понятий в начальной математике

При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.

Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.).

Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс.

Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. До тех пор, пока не установлены содержание и признаки, не ясна сущность предмета, отражаемого этим понятием, невозможно точно и четко отграничить этот предмет от смежных с ним, происходит путаница мышления.

Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие.

Совокупность данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов.

Логический класс объектов тАУ это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают.

Понятия делятся на виды по содержанию и объему в зависимости от характера и количества объектов, на которые они распространяются.

По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

Примеры единичных понятий: Влнаименьшее двузначное числоВ», Влцифра 5В», Влквадрат, длина стороны которого 10 смВ», Влкруг радиусом 5 смВ».

Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента.

Примеры общих понятий: Влмножество двузначных чиселВ», ВлтреугольникиВ», ВлуравненияВ», ВлнеравенстваВ», Влчисла кратные 5В», Влучебники математики для начальной школыВ».

По содержанию различают понятия конъюнктивные и дизъюнктивные, абсолютные и конкретные, безотносительные и относительные.

Понятия называются конъюнктивными, если их признаки взаимосвязаны и по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса, признаки связаны союзом ВлиВ». Например, объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми.

В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д.

В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий; здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных: каждый из них эквивалентен любому из остальных. В силу этого признаки связаны союзом ВлилиВ». Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными.

Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные.

Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.

Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона.

Относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школьВнники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.

Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.

Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы.

Между содержанием и объемом понятия существует зависимость: чем меньший объем понятия, тем больше его содержание.

Например, понятие ВлквадратВ» имеет меньший объем, чем объем понятия ВлпрямоугольникВ» так как любой квадрат - это прямоугольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат. Поэтому понятие ВлквадратВ» имеет большее содержание, чем понятие ВлпрямоугольникВ»: квадрат имеет все свойства прямоугольника и некоторые другие (у квадрата все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны).

В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость.

Например, рассмотрим понятия ВлквадратВ» и ВлпрямоугольникВ». Объем понятия ВлквадратВ» есть частью объема понятия ВлпрямоугольникВ». Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым. В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени.

Например, для вида ВлквадратВ» ближайшим родом будет род ВлпрямоугольникВ», для прямоугольника ближайшим родом будет род ВлпараллелограммВ», для ВлпараллелограммаВ» - ВлчетырехугольникВ», для ВлчетырехугольникаВ» - ВлмногоугольникВ», а для ВлмногоугольникаВ»- Влплоская фигураВ».

В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа.

Такая методика работы над математическими понятиями в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений.

Определить понятие - это перечислить все существенные признаки объектов, которые входят в данное понятие. Словесное определение понятия называется термином.

Например, ВлчислоВ», ВлтреугольникВ», ВлкругВ», ВлуравнениеВ» - термины.

Определение решает две задачи: выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки.

Определение может быть более или менее глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается. Чем лучшее мы его знаем, тем большая вероятность, что мы сможем дать для него лучшее определение.

В практике обучения младших школьников применяются явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства или совпадения двух понятий.

Например: ВлПропедевтика есть вступление в любую наукуВ». Здесь приравнивают один к одному два понятия тАУ ВлпропедевтикаВ» и Влвступление в любую наукуВ».

В определении ВлКвадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равныВ» имеем совпадение понятий.

В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения.

Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.

Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как Влнайти значения выраженияВ», Влсравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) × 2, если а = 7В», Влпрочитать выражения, которые являются суммамиВ», Влпрочитать выражения, и потом прочитать уравненияВ», мы раскрываем понятие Влматематическое выражениеВ» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как Влбольшой тАФ маленькийВ», Влкакой-нибудьВ», ВллюбойВ», ВлодинВ», ВлмногоВ», ВлчислоВ», Вларифметическое действиеВ», ВлуравнениеВ», ВлзадачаВ» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определния - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.

Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит ВлСмотрите - это квадратВ». Это типичное остенсивное определение.

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как Влкрасный (белый, черный и т.д.) цветВ», Вллевый - правыйВ», Влслева направоВ», ВлцифраВ», Влпредшествующее и следующее числоВ», Влзнаки арифметических действийВ», Влзнаки сравненияВ», ВлтреугольникВ», ВлчетырехугольникВ», ВлкубВ» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие ВлСловом ВлпятиугольникВ» мы будем называть многоугольник с пятью сторонамиВ». Это так называемое Влноминальное определениеВ».

В математике используются разные явные определения. Наиболее распространенное из них - определение через ближайший род и видовой признак. Родовидовое определение еще называют классическим.

Примеры определений через род и видовой признак: ВлПараллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельныеВ», ВлРомбом называется параллелограмм, стороны которого равныВ», ВлПрямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямыеВ», ВлКвадратом называется прямоугольник, в которым стороны равныВ», Вл Квадратом называется ромб, у которого прямые углыВ».

Рассмотрим определения квадрата. В первом определении ближайшим родом будет ВлпрямоугольникВ», а видовым признаком тАУ Влвсе стороны равныВ». В втором определении ближайший род ВлромбВ», а видовой признак тАУ Влпрямые углыВ».

Если же взять не ближайший род (ВлпараллелограммВ»), то видовых признаков квадрата будет два ВлКвадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямыеВ».

В родовидовом отношении находятся понятия Влсложение (вычитание, умножение, деление)В» и Вларифметическое действиеВ», понятие Влострый (прямой, тупой) уголВ» и ВлуголВ».

Примеров явных родовидовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности

Вместе с этим смотрят:

WEB-дизайн: Flash технологии

РЖiрархiчна структура управлiння фiзичною культурою i спортом в Хмельницькiй областi у м. КамтАЩянець-Подiльському

РЖгрова дiяльнiсть в групi продовженого дня

РЖнновацiйнi методи навчання на уроках зарубiжноi лiтератури

РЖнтенсифiкацiя навчального процесу у вищiй школi