Понятие многомерной случайной величины
Понятие многомерной случайной величины
Основные вопросы лекции: математическое ожидание случайной величины, свойства математического ожидания, дисперсия случайной величины, дисперсия суммы случайных величин, функция от случайных величин, математическое ожидание функций от случайных величин, коэффициент корреляции, моменты, корреляционный момент, виды сходимости последовательности случайных величин, неравенства Чебышева, график функции распределения для непрерывной случайной величины, различные формы закона больших чисел, теорема Чебышева, теорема Бернулли, теорема Маркова, центральная предельная теорема теории вероятностей, применение центральнойпредельной теоремы, обоснование роли нормального закона распределения, вывод приближенной формулы Лапласа.
Гипергеометрическое распределение
Выше мы рассмотрели способы вычисления вероятностей появления события ровно т раз в n независимых повторных испытаниях (по формулам Бернулли и Пуассона). Теперь познакомимся с вычислением вероятности появления события ровно т раз в n зависимых повторных испытаниях. Случайная величина, определяющая число успехов в n повторных зависимых испытаниях, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.
Пример. В урне N шаров, среди которых К белых и (NтАУK) черных. Без возвращения извлечены n шаров. Определим вероятность того, что в выборке из n шаров окажется т белых (и соответственно nтАУm черных) шаров. Изобразим ситуацию на схеме:
Случайная величина, интересующая нас, X = т тАУ число белых шаров в выборке объемом в n шаров. Число всех возможных случаев отбора n шаров из N равно числу сочетаний из N по n (CNn), а число случаев отбора т белых шаров из имеющихся К белых шаров (и значит, nтАУm черных шаров из NтАУK имеющихся черных) равно произведению CKmCNтАУKnтАУm (отбор каждого из т белых шаров может сочетаться с отбором любого из n-т черных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n шаров окажется ровно т белых шаров. По формуле для вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке т белых шаров (т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение т) равна
, (1)
где CNn тАУ общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, CKmCNтАУKnтАУm тАУ число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.
Итак, вероятность появления интересующего нас события ровно т раз в n зависимых испытаниях вычисляется по формуле (1), которая задает значения гипергеометрического закона распределения для т = 0, 1, 2,тАж, n (табл. 1).
Таблица 1. Гипергеометрический закон распределения
| т | 0 | 1 | 2 | тАж | n |
| Р (X=m) | CK0CNтАУk n/ CNn | CK1CNтАУKnтАУ1/ CNn | CK2CNтАУKnтАУ2/ CNn | тАж | CKmCNтАУK0/ CNn |
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Аксонометричнi проекцii