Тригонометрические уравнения и неравенства
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Элементарные тригонометрические уравнения
Введение вспомогательного аргумента
Схема решения тригонометрических уравненийВаВаВаВаВаВа
Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений
Разложение на множители
Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму
Решение уравнений с применением формул понижения степени
Решение уравнений с применением формул тройного аргумента
Равенство одноименных тригонометрических функций
Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим
НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Использование ограниченности функций
Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений
Решение с исследованием функции
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Решение тригонометрических неравенств графическим методом
ОТБОР КОРНЕЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом <<исчисление хорд>>. Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.
Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.
Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических --- бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.
Данная дипломная работа посвящена методам решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Дипломная работа состоит из 6 разделов.
В первом разделе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; таблица значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Во втором разделе изложены основные методы решения тригонометрических уравнений. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, что может <<сбить с толку>> при решении тестов, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений.
В третьем разделе рассматриваются нестандартные тригонометрические уравнения, решения которых основано на функциональном подходе.
В четвертом разделе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов.
В пятом разделе представлены наиболее сложные задания: когда необходимо не только решить тригонометрическое уравнение, но и из найденных корней отобрать корни, удовлетворяющие какому-нибудь условию. В данном разделе приведены решения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).
В шестом разделе представлены задачи для самостоятельного решения, оформленные в виде теста. В 20 заданиях теста приведены наиболее сложные задания, которые могут встретиться на централизованном тестировании.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Элементарные тригонометрические уравнения --- это уравнения вида 
, где 
Ва--- одна из тригонометрических функций: 
, 
, 
, .
Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению 
Ваудовлетворяют следующие значения: 
, 
, 
, 
Ваи т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения 
, где 
, такова:
Здесь 
Ваможет принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) Ваназывают параметром. Записывают обычно 
, подчеркивая тем самым, что параметр Вапринимать любые целые значения.
Решения уравнения 
, где , находятся по формуле
Уравнение 
Варешается применяя формулу
а уравнение Ва--- по формуле
Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:
Теорема Если 
Ва--- основной период функции , то число 
Ваявляется основным периодом функции 
.
Периоды функций 
Ваи 
Ваназываются соизмеримыми, если существуют натуральные числа 
Ваи , что 
.
Теорема Если периодические функции 
Ваи 
, имеют соизмеримые Ваи , то они имеют общий период , который является периодом функций 
, 
, 
.
В теореме говорится о том, что Ваявляется периодом функции , , , и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций Ваи Ва--- 
, а основной период их произведения --- 
.
Стандартным путем преобразования выражений вида 
Ваявляется следующий прием: пусть 
Ва--- угол, задаваемый равенствами 
, 
. Для любых 
Ваи 
Ватакой угол существует. Таким образом 
. Если 
, 
Ваили , 
, 
, в других случаях 
.
Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:
решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения --- преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип --- не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.
Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага --- замены переменных --- превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.
Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.
Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения 
Ваответ может быть записан следующим образом:
1) в виде двух серий: 
, 
, 
;
2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: 
, ;
3) поскольку 
, то ответ можно записать в виде 
, . (В дальнейшем наличие параметра 
, , Ваили 
Вав записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)
Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Например, при 
Васправедливо равенство 
. Следовательно, в двух первых случаях, если 
, мы можем заменить 
Вана .
Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения Варабота не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)
Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: 
Ваи 
. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем 
.
Другой путь. Поскольку 
, то, заменяя 
Ваи 
Вапо формулам понижения степени. После небольших преобразований получим 
, откуда 
.
На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, 
, то окажется, что 
, т.е. уравнение 
Ваимеет решение 
, в то время как первый способ нас приводит к ответу 
. "Увидеть" и доказать равенство 
Ване так просто.
Ответ. .
Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.
Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.
В общем случае, если разность прогрессии 
, нулевой член 
, формула для любого (-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:
Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии
1. Если к нулевому члену Ваприбавить или отнять разность прогрессии , то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.
2. Если коэффициент при переменной величине Ваумножить на 
, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.
3. Если Вапоследовательных членов бесконечной прогрессии
например , 
, 
, .., 
, сделать центральными членами Вапрогрессий с одинаковой разностью, равной 
:
то прогрессия (??) и ряд прогрессий (??) выражают собой одни и те же числа.
Пример Ряд 
Ваможет быть заменен следующими тремя рядами: 
, 
, 
.
4. Если Вабесконечных прогрессий с одинаковой разностью 
Ваимеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью 
, то эти Варядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью , и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если
то эти Вапрогрессий объединяются в одну: 
Пример 
, 
, 
, 
Ваобе объединяются в одну группу 
, так как 
.
Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.
Метод разложения на множетели заключается в следующем: если
то всякое решение уравнения
является решение совокупности уравнений
(??)
Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (??) могут не входить в область определения функции .
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде 
Ответ. 
; 
.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применим формулу (??), получим равносильное уравнение
Ответ. 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения 
. В итоге получим равносильное уравнение
Ответ. 
, 
.
При решении ряда уравнений применяются формулы.
Пример Решить уравнение 
Решение. Применив формулу (??), получим равносильное уравнение:
Ответ. 
, 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применив формулу (??), получим равносильное уравнение:
.
Ответ. 
.
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.
.
Ответ. 
; 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применим формулу (??), получим уравнение
Ответ. 
; 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применим формулы понижения степени получим: 
. Применяя (??) получаем:
.
Ответ. 
; 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. 
Ответ. , 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем уравнение. 
Ответ. 
.
Пример Известно, что Ваи 
Ваудовлетворяют уравнению
Найти сумму 
.
Решение. Из уравнения следует, что
Ответ. 
.
Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
Рассмотрим суммы вида
Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на 
, тогда получим
Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Видно, что множество 
Ваявляется решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на 
Ване приведет к появлению лишних корней.
Имеем 
.
Ответ. 
; 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Домножим левую и правую части уравнения на Ваи применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений 
Ваи 
, откуда 
Ваи 
.
Так как корни уравнения 
Ване являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить 
. Значит во множестве Ванужно исключить 
.
Ответ. Ваи , 
.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем выражение 
:
Уравнение запишется в виде:
Принимая 
, получаем 
. 
, 
. Следовательно
Ответ. 
.
Сводящиеся к квадратным
Если уравнение имеет вид
то замена 
Ваприводит его к квадратному, поскольку 
Ва((??)) и (??).
Если вместо слагаемого 
Вабудет 
, то нужная замена будет 
.
Уравнение
сводится к квадратному уравнению
представлением 
Вакак 
. Легко проверить, что Вапри которых 
, не являются корнями уравнения, и, сделав замену 
, уравнение сводится к квадратному.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Перенесем 
Вав левую часть, заменим ее на 
, 
Ваи 
Вавыразим через Ваи .
После упрощений получим: 
. Разделим почленно на , сделаем замену :
Возвращаясь к , найдем 
.
Уравнения, однородные относительно 
, 
Рассмотрим уравнение вида
(8)
где 
, 
, 
, .., 
, 
Ва--- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (??) степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно Ваи , а число Ваназывается показателем однородности.
Ясно, что если 
, то уравнение примет вид:
решениями которого являются значения , при которых , т. е. числа 
, . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.
Если же 
, то эти числа не являются корнями уравнения (??).
При Ваполучим: , 
Ваи левая часть уравнения (1) принимает значение 
.
Итак, при , 
Ваи 
, поэтому можно разделить обе части уравнения на 
. В результате получаем уравнение:
которое, подстановкой 
Валегко сводится к алгебраическому:
Однородные уравнения с показателем однородности 1. При 
Ваимеем уравнение 
.
Если 
, то это уравнение равносильно уравнению 
, 
, откуда 
, .
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на Ваполучим: 
, 
, 
, .
Ответ. 
.
Пример При 
Ваполучим однородное уравнение вида
Решение.
Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение 
, которое подстановкой Валегко приводится к квадратному: 
. Если 
, то уравнение имеет действительные корни 
, 
. Исходное уравнение будет иметь две группы решений: 
, 
, .
Если 
, то уравнение не имеет решений.
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: 
. Пусть , тогда 
, 
, 
. 
, 
, ; 
, 
, .
Ответ. 
.
К уравнению вида (??) сводится уравнение
Для этого достаточно воспользоваться тождеством 
В частности, уравнение 
Васводится к однородному, если заменить Вана 
, тогда получим равносильное уравнение: 
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Преобразуем уравнение к однородному:
Разделим обе части уравнения на 
, получим уравнение:
ВаПусть , тогда приходим к квадратному уравнению: 
, 
, 
, 
, 
.
Ответ. 
.
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: 
, 
,
Пусть , тогда получим 
, 
, 
.
Ответ. 
.
Уравнения, решаемые с помощью тождеств 
Полезно знать следующие формулы:
(??)
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Используя (??), получаем
Ответ. 
Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:
следовательно,
.
Аналогично, 
.
Пример Решить уравнение .
Решение. Преобразуем выражение :
.
Уравнение запишется в виде:
Принимая , получаем . , . Следовательно
Ответ. .
Универсальная тригонометрическая подстановка
Тригонометрическое уравнение вида
где 
Ва--- рациональная функция с помощью фомул (??) -- (??), а так же с помощью формул (??)-- (??) можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов , , , , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно 
Вас помощью формул универсальной тригонометрической подстановки
(??)
(??)
Следует отметить, что применение формул (??) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку 
Ване определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.
Пример Решить уравнение 
.
Решение. По условию задачи 
. Применив формулы (??) и сделав замену , получим
откуда 
Ваи, следовательно, 
.
Уравнения вида 
Уравнения вида , где 
Ва--- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных
(??)
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Сделав замену (??) и учитывая, что 
, получим
откуда 
, 
. 
Ва--- посторонний корень, т.к. 
. Корнями уравнения 
Ваявляются 
.
НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций Ваи . Например:
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Поскольку 
, 
, то левая часть не превосходит 
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Аксонометричнi проекцii