Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Абсолютная величина и её свойства

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

Метод раскрытия модулей

Использование тождества, при решении уравнений

Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Решение уравнений с использованием тождества

Применение теоремы о знаках при решении уравнений

Решение уравнений переходом к следствию

Решение уравнений методом интервалов

Решение уравнений домножением на положительный множитель

Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля

ЗаключениеВаВаВаВаВаВаВаВа

Список использованных источников

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел.

Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел и пытается восполнить настоящий диплом.

Дипломная работа состоит из 5 разделов.

В первом разделе приведены равносильные определения модуля, его геометрическая интерпретация, свойства абсолютной величины. На примере показано, как используя модуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Так же показано на примере, как линейный сплайн, предствавить в виде одного уравнения с модулями. Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойства модуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины, возникают в процессе решения.

Во втором разделе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей.

В третьем разделе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этом разделе рассмотрены построение графиков функций , Ваи . Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиков функций с ``вложенными'' модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.

В четвертом разделе представлены дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описан трудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый метод раскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можно решить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использования тождества ; рассмотрены метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель.

В пятом разделе приведены примеры решения типовых тестовых задач связанных с понятием абсолютная величина. Приведены решения как ``стандартных'' задач, в решении которых необходимо получить какую-либо комбинацию решений, так и заданий с параметрами. Для некоторых задач приведено несколько способов решения, иногда указаны типичные ошибки возникающие в процессе решения. Для всех заданий приведено наиболее эффективное, по быстроте, решение.

Абсолютная величина и её свойства

Модуль. Свойства модуля

Определение.Модуль числа Ваили абсолютная величина числа Варавна , если Вабольше или равно нулю и равна , если Ваменьше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа , .

Теорема Абсолютная величина действительного числа Варавна большему из двух чисел Ваили .

1. Если число Ваположительно, то Ваотрицательно, т. е. . Отсюда следует, что .

В этом случае , т. е. Васовпадает с большим из двух чисел Ваи .

2. Если Ваотрицательно, тогда Ваположительно и , т. е. большим числом является . По определению, в этом случае, Ва--- снова, равно большему из двух чисел Ваи .

Следствие Из теоремы следует, что .

В самом деле, как , так и Варавны большему из чисел Ваи , а значит, равны между собой.

Следствие Для любого действительного числа Васправедливы неравенства , .

Умножая второе равенство Вана Ва(при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , Васправедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .

Теорема Абсолютная величина любого действительного числа Варавна арифметическому квадратному корню из : .

В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .

Если , тогда Ваи Ваи в этом случае .

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять Вана .

Геометрически Ваозначает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.

Если , то на координатной прямой существует две точки Ваи , равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если , то на координатной прямой Ваизображается точкой .

Свойства модуля

Из этого свойства следует, что ; .

Равносильные переходы между уравнениями с модулями

Тема ``Абсолютная величина'' (или ``Модуль числа'') является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.

Посмотрим, на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению.

В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:

Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

Линейные сплайны

Пусть заданы Ва--- точки смены формул. Функция , определенная при всех , называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале , , , ..,, т. е.

где обозначено , .

Если к тому же выполнены условия согласования

то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

Подобный график изображен на рисунке (??):

pics/ex1.eps

Функцию с графиком, показанным на этом рисунке, можно задать и одной и тремя формулами:

Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: . Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой вида

(??)

где числа , , , .., Валегко найти по графику данной функции.

Заметим, что две ломанные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин , , .., Васовпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех ``одноименных'' звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка Ваберется за исходную, см. рисунок (??).

pics/ex2.eps

Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что Варавняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , , .., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая формулой ((??)), будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при Вапосле раскрытия всех модулей в выражении ((??)) на соответствующих этим звеньям промежутках, находим:

(??)

Вычитая из второго равенства первое, получаем Вавычитая из третьего второе, получаем Ваи т. д. Мы приходим в итоге к соотношениям

Складывая первое равенство с последним, получаем Ваоткуда

(??)

Обратно, нетрудно проверить, что из равенств (3) и ((??)) вытекают соотношения ((??)).

Итак, если коэффициенты Ваопределяются формулами (3) и ((??)), то угловые коэффициенты всех звеньев графика функции ((??)) совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и, значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для их совпадения.

Этого всегда можно добиться выбором подходящего значения оставшегося пока не определенным коэффициента . С этой целью достаточно подставить в формулу ((??)), коэффициенты которой уже вычислены из соотношений (3) и ((??)), координаты какой-либо одной точки данной ломаной и найти Ваиз полученного равенства.

Пример Найдем уравнение ломаной, изображенной на рисунке (??) (треугольный импульс).

pics/ex3.eps

Решение. Угловые коэффициенты звеньев таковы: , , , . Поэтому .

Значит, уравнение данной ломаной имеет вид

Найдем значение коэффициента Ваиз условия , подставляя координаты вершины (0; 1) нашей ломаной в уравнение, получим , откуда находим, , и уравнение окончательно запишем в виде

Примеры решения задач, использующих свойства модуля

Пример В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

Решение. Пусть деревья высотой Варастут в точках . Тогда по условию . Следовательно, длина ломаной Ване превосходит м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м (см. рис. (??)).

Пример На отрезке Вачисловой оси расположены четыре точки: , , , . Докажите, что найдётcя точка , принадлежащая , такая, что .

Решение. Точки , , , Ваделят отрезок Ване более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше . Возьмём за Вацентр этого интервала. Расстояние от Вадо концов этого интервала не меньше , а до других точек из числа , , , Ва--- больше . Поэтому два из чисел , , , Ване меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.

Пример Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым Ваи , пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой Ваот точки Вак точке , находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой Ваот точки Вак точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.

Решение. Через Вачасов первое тело будет находится от точки Вана расстоянии Вакм, а второе --- на расстоянии Вакм. По теореме Пифагора расстояние между телами составит . Вакм.

Ответ. Вакм.

Пример Пункты Ваи Варасположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта Вав направлении пункта Вавыходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта Вав том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч Вавыходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.

Решение. Расстояние между автомобилем и мотоциклом через Вачасов составит . .

Ответ. 16 км.

Пример Из пункта Вав пункт Вавышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт Ваодин из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт Вас интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от Вадо , если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.

Решение. Пусть Ваи Ва(мин) --- время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из Вав , и пусть второй пешеход вышел позже первого на Ваминут. Рассмотри 2 возможности 1) Ваи 2) . В случае Ваимеем равенство Ваи систему

Из первого и третьего неравенства получим , учитывая второе условие получим, что , и это в свою очередь дает равенства Ваи . Т.о. , , .

В случае Ваимеем Ваи сиcтему

Но так как , то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.

Ответ. , , .

Пример По расписанию автобус должен проходить путь , состоящий из отрезков , , Вадлиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта Вав 10 ч, он проходит пункт Вав 10 ч 10 мин, пункт Вав 10ч 34 мин. С какой скоростью Вадолжен ехать автобус, чтобы время за которое автобус проходит половину пути от Вадо Ва(со скоростью ), сложенное с суммой абсолютных величинотклонения от расписания при прохождении пунктов Ваи , превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта Ване более, чем на 28 мин.

Решение. Условие задачи приводит к системе

которая имеет единственное решение .

Ответ. 30 км/ч.

Пример Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из Вав Вадлиной 15 км за 1 час. При этом выходя из пункта Вав 12ч, он прибывает в пункты Ваи , отстоящие от Вана растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из Вав Вабез остановок с постоянной скоростью Ва(относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты , , Ване превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью Вав стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению: Ваили ?

Решение. Рассмотрим 2 случая 1) пункт Ванаходится выше по течению 2) пункт Ванаходится ниже по течению.

В первом случае получаем систему

которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай.

Ответ. .

Пример Даны три квадратных трехчлена: , Ваи . Докажите, что уравнение Ваимеет не более восьми корней.

Решение. Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов , , Вас некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при Ваимеет вид , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения Васодержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Пример Шабат Г.Б. Бесконечная последовательность чисел Ваопределяется условиями: , причем . Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если Варационально.

Решение. Если , то . Действительно, . Если Варациональное, то Варациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть Ва--- несократимая дробь. Тогда

Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности --- рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , --- конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: (??)
(??)
(??)
(??)

Примеры решения простейших уравнений.

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей [??] (формулы (??)--(??)).

Теорема Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Теорема Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример Решить уравнение

Решение. ``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть .

Ответ. .

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

(??)

(??)

Примеры решения простейших неравенств.

Пример Решим неравенство Вместе с этим смотрят: