Применение производной при нахождении предела
1. Бесконечно малые и их сравнения; символы "o малое" и "о большое"
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
2.1 Теорема Ферма о нуле производной
2.2 Теорема Ролля о нуле производной
2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях
2.4 Теорема Коши о конечных приращениях
3. Раскрытие неопределенностей. правило лопиталя
3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0
3.2 Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥
3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0¥, 1¥, 00,¥0,¥ - ¥
4. Формула тейлора. вычисление пределов с помощью формулы тейлора
4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.
4.2 Остаток в форме Пеано
4.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора
4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
4.5 Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
4.6 Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Заключение
Список использованных источников
Данная курсовая работа раскрывает применение производной при вычислении пределов. Вычисление пределов важная часть математического анализа, поскольку практически весь курс математического анализа опирается на понятие предела.
Действительно, производная, интеграл, непрерывность функции - все эти понятия используют предел.
Курсовая работа состоит из четырех разделов.
В первом разделе раскрывается понятие скорости роста функции, вводятся символы "О большое" и "о малое", и важное понятие, для вычисления пределов, эквивалентные функции.
Во втором разделе приведены основные теоремы дифференциального исчисления, служащие необходимой основой для правила Лопиталя и формулы Тейлора.
В третьем разделе приведено правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Примеры для этого и последующего раздела были взяты из [Марон].
В четвертом разделе приведен вывод формулы Тейлора и показано применение формулы Тейлора для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
Определение. Бесконечно малой в x0 называется функция f (x) такая, что 
Свойства бесконечно малых функций:
1) Критерий существования конечного предела функции
Û$ б. м. функция a (x) при xВоx0: f (x) =A+a (x)
2) a (x),b (x) б. м. Þ a (x) +b (x) б. м.
3) Произведениебесконечно малой функции на ограниченнуюявляется бесконечно малой функцией.
4) Произведение бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.
Определение. f (x) определенная в проколотой окрестности x0 называется бесконечно большой в т. x0, если 
.
5) Если a (x) б. м. при xВоx0 и a (x) ¹0, то 1/a (x) является бесконечно большой и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы O, o
f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0
Пишут
,
Если
.
Аналогично определяется O при xВоx0+0, xВоx0 - 0, xВоВ±¥, xВо¥.
Пример: f (x) =O (1),xВо¥ означает локальную ограниченность функции в ¥.
Опр. Если при xВоx0, f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциями одного порядка.
Пример: Функции x3,x2являются функциями одного порядкапри xВо1.
Определение o. Пусть f (x), g (x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0, пишут f (x) =o (g (x)), xВоx0, если
$ 
$ б. м. a (x) при xВоx0, такая, что"xÎ: f (x) =a (x) g (x)
Аналогично определяется o при xВоx0+0, xВоx0 - 0, xВоВ±¥,xВо¥.
Пример: f (x) =o (1), при xВоx0означает, что f (x) бесконечно малая при xВоx0.
Некоторые примеры работы с символами o (подразумевается xВо0).
o (xn) В± o (xn) = o (xn)
xmo (xn) = o (xn+m)
c o (xn) = o (xn) (c-константа)
o (xn) В± o (xn+p) = o (xn), здесь натуральное.
o (xn+p) /xp= o (xn) В частности,o (xp) /xp= o (1).
o (an xnВ± an+1 xn+1В±тАжВ± an+p xn+p) = o (xn)
Если a, б. м. и b=o (a), то говорят, что бесконечно малая более высокого порядка, чем a.
Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x0 (говорят так же, в окрестности x0), если выполнено хотя бы одно из двух условий
f (x) =g (x) +o (g (x)), xВоx0
g (x) =f (x) +o (f (x)), xВоx0.
Условие эквивалентности записывается в виде f~g, при xВоx0.
Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.
Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство
f (x) =h (x) g (x), 
=1.
Замечание 3. Если, например, g (x) ¹0, то первое условие можно записать в виде
.
Определение. Если f (x) ~ (x-x0) n при xВоx0, то f (x) называется бесконечно малой порядка n при xВоx0.
Если f (x) ~ 
Вапри xВоx0, то f (x) называется бесконечно большой порядка n при xВоx0.
Если f (x) бесконечно большая при xВо¥ и f (x) эквивалентна xn при xВо¥, то f (x) называется бесконечно большой порядка n при xВо¥.
Замечание. Если f (x) бесконечно малая порядка n, то 1/f (x) будет бесконечно большой порядка n и наоборот.
Примеры. Определить характер функций
,
Вав 0, 1,+¥.
При вычислении пределов полезна следующая теорема
Теорема 2. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при xВоx0.
Если существует предел 
, тогда существует и 
.
Если существует предел 
, тогда существует и 
.
Определение. Если 
, то g называется главной частью f при xВо x0.
Теорема. Если f (x) - определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0Î (a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f¢ (x0) =0.
Доказательство. Для случая наименьшего значения
f¢ (x0+0) =
³ 0, f¢ (x0-0) =
£ 0 Þ f¢ (x0) =0
Геометрическая интерпретация
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f (a) =f (b). Тогда
$ x0Î (a,b): f¢ (x0) =0.
Доказательство. Положим
, 
.
Хотя бы одна из точек x1, x2 внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то
$xÎ (a,b): f (b) - f (a) =f¢ (x) (b-a).
Доказательство. Рассмотрим функцию
.
Для этой функции F (a) =F (b) =0, и к ней применима теорема Роля
.
Геометрическая интерпретация
Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.
Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) º0 на (a,b), то f (x) ºconst.
Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0произвольная фиксированная точка, получим
f (x) - f (x0) =f¢ (x) (x - x0) =0, т.е. f (x) = f (x0).
Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) =g¢ (x) на (a,b), то f (x) =g (x) + const.
Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует
xÎ (a,b): g¢ (x) (f (b) - f (a)) = f¢ (x) (g (b) - g (a)).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = g (x) (f (b) - f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).
Для этой функции
F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),
F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b),
таким образом, F (a) =F (b) и к ней применима теорема Ролля: существует точка xÎ (a,b) для которой выполняется равенство
0=F (b) - F (a) =F¢ (x) (b-a) = [g¢ (x) (f (b) - f (a)) - f¢ (x) (g (b) - g (a))] (b-a).
Следствие. Если g¢ (x) ¹0 на (a,b), то
.
Доказательство. Если g¢ (x) ¹0, то g (b) - g (a) ¹0. Иначе, в случае g (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x, где g¢ (x) =0.
Дано: f (x), g (x) определены на (x0,b) и
1) 
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g¢ (x) ¹0 на (x0,b).
Тогда
,
если существует конечный или бесконечный предел
.
Доказательство. Доопределим f, g в точке x0 по непрерывности нулем f (x0) =g (x0) =0. По тереме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существовать x (x) Î (x0,x): x0<x (x) < x и 
, из условия x0<x (x) следует, что 
, причем x (x) ¹x0, если x¹x0. По теореме о существовании предела суперпозиции
=
Вач. т.д.
Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для xВо x0.
Следствие 1. Если
1) Существуют f (k),g (k), k=1,2,тАж,n на (x0,b)
2) 
, k=0,1,тАж,n-1
3) Существуeт g (n) (x) ¹0 на (x0,b), то
,
если
существует, конечный или бесконечный.
Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,
, то
,
если последний существует, конечный или бесконечный.
Доказательство. Сделаем замену
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для xВо - ¥.
f,g определены на (x0,b) и
1) 
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g¢ (x) ¹0 на (x0,b)
Тогда
,
если последний существует конечный или бесконечный.
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для xВо x0 - 0, xВо x0, xВо +¥, xВо - ¥.
В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f (x) - бесконечно малая при xВо x0 и в точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1) - го порядка включительно f (x0) =0, f¢ (x0) =0,тАж, f (n-1) (x0) =0 и f (n) (x0) ¹0. В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная часть будет равна
.
Это утверждение следует из равенства
,
в котором в качестве функции g (x) берется (x-x0) n.
.
Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функции.
Пример: f (x) = 3sh x - 3sin x - x3при xВо 0
f¢ (x) =
=0,f¢¢ (x) =
=0,f¢¢¢ (x) =
=0,f (4) (x) =
=0,f (5) (x) =
=0,f (6) (x) =
=0,f (7) (x) =
=6¹0.
Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f (x) ~
x7, xВо0.
Неопределенности вида 0¥ сводятся к уже рассмотренным.
Примеры.
1) 
2) 
3) 
4) ¥ - ¥
Можно, например, так
5) Неопределенности вида 1¥,00,¥0 сводятся к уже рассмотренным логарифмированием
y=uv=ev ln u
Пример 1.
.
Вычисление.
.
Этот предел рассматриваем, как
,
где
, а 
.
Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функций следует, что 
. Далее
,
заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую получим
=
.
Таким образом,
.
Пример 2.
.
Представим функцию в следующем виде.
и вычислим предел
Пример 3. Вычислить предел:
Пример
Ва4. 
Пример 5.
При хВо¥
при 
exВавозрастает быстрее любой степенной функции хк, k>0
ln (x) возрастает медленнее любой степенной функции хк
Пусть f (n-1) - раз дифференцируема в окрестности U= (x0-a,x0+a) точки x0 и существует f (n) (x0). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида
.
Свойства многочлена Тейлора
Ва(1)
Из (1) следует
=
Ва(2)
Из (1) следует
Pn (x0) =f (x0),
Ва(3)
В частности,
, k=0,1,тАж,n.
Обозначим Rn (x) =f (x) - Pn (x), тогда
Ва(4)
(4) - формула Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах.
Теорема 1. Если функция f (x) (n-1) - раз дифференцируема в окрестности U= (x0-a,x0+a) точки x0 и существует f (n) (x0), то имеет место равенство
.
Другими словами
Ва(5)
Доказательство. Для краткости будем обозначать R (x) =Rn (x)
Ва(10)
Ва(11)
Ва(1m)
тАж
Ва(1n-1)
f (n-1) (x) дифференцируема в точке x0, поэтому
Откуда
По правилу Лопиталя
Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n-ю производную в точке x0 и
,
то 
Лемма. Если
, (2)
то bk=0, k=0,1,тАж,n
Доказательство. в (2) перейдем к пределу при xВо x0, получим
b0 = 0,
,
делим полученное выражение на (x-x0) и переходим к пределу при xВо x0и т.д.
Доказательство теоремы.
откуда и следует утверждение.
Пусть функция f (x) (n+1) -раз дифференцируема в окрестности Ua (x0) = (x0-a,x0+a) и y (x) дифференцируема в 
, y¢¹0 в 
, y (x) непрерывна в .
Возьмем xÎ (x0-a,x0+a), x¹x0 и фиксируем. Для определенности будем считать x0 и рассмотрим на [x0,x] функцию
.
Отметим следующие свойства этой функции
j (x) =0
j (x0) =Rn (x)
j (z) непрерывна на [x0,x], дифференцируема на (x0,x).
Не очевидным является только четвертое свойство
=
=
=
.
К функциям j и y применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [x0,x]
. Откуда 
Ваи, далее,
Ва(1)
Следствие 1. Если функция f (n+1) - раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то
,
где xÎ (x0,x) (или (x,x0)),p>0. Остаток Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы следует в качестве функцииy (z) взять
y (z) = (x-z) p.
Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f (n+1) -раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то
.
Получено из общей формулы при p=n+1.
Замечание. Формулу с остатком Лагранжа можно представить в виде.
.
Следствие 3. Если f (n+1) -раз дифференцируема на (x0-a, x0+a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши
Получено из общей формулы при p=1.
ex, x0=0
,xÎ (0,x),
если x>0 или xÎ (x,0) в случае x <0.
Например, при |x|<1, |Rn (x) |£
sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
sin x =
=
, xВо0,
выберем m=2n+2, тогда
sin x=
, xВо0,
откуда, с учетом равенства f (2n+2) (0) =0, получаем разложение для синуса
sin x=
, xВо0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
sin x =
, xÎ (0,x) (или xÎ (x,0)).
Действительно,
sin x =
=
=
=
.
Откуда следует, что
cos x, x0=0
Вспомогательная формула:
=
, xВо0,
выберем m=2n+1, тогда
cos x=
, xВо0,
откуда, с учетом равенства f (2n+1) (0) =0, получаем разложение для косинуса
cos x=
, xВо0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x =
, xÎ (0,x) (или xÎ (x,0)).
Действительно,
cos x =
=
=
=.
Откуда следует, что
ln (1+x), x0=0
, xВо0
(1+x) a, x0=0,
интерес представляет случай, когдаa не является натуральным числом.
f¢=a (1+x) a-1,тАж,f (k) =a (a - 1) тАж (a - k+1) (1+x) a - k
, xВо0
Важный частный случай
=
=
.
Из формул Тейлора следуют известные "равносильности при 
"; например,
Пример 1.
Пример 2.
.
Пример 3. Разложить функцию f (x) =
Вапо формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5включительно.
. Для решения задачи возьмем разложения функции
e2x = 1+2x+
+
+
+
+o (x5),
= (1+2x+++++o (x5)) (
) =
1+2x+
x2+
x3+
x4+
x5+o (x5) =
1+2x+x2
x3
x4
x5+o (x5).
Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5включительно. Представим функцию в виде
=1+u+u2+u3+o (u3), где u =
.
Тогда
=1+u+u2+u3+o (u3) =1++
+
+
.
При вычислении степеней
нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени войдут в o (x5). Таким образом,
=
,=
, =.
Выражение
=
показывает, что в разложении
=1+u+u2+u3+o (u3)
можно, с самого начала, ограничится второй степенью
=1+u+u2+o (x5).
Подставляя нужные выражения в это равенство получим
=1+++=1+
+
+.
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6включительно.
tg x=
=
=
x+x2 (0) +x3
+x4 (0) +x5
+x6 (0) =
=
Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) a - (1 - x) aпо формуле Тейлора с остатком Пиано.
k = 2l+1,
Таким образом,
Следствие. 
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)
.
Имеем:
=|x|
= 
Ваsign x +o (
).
Пример 8. Разложить функцию
f (x) =
по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x4включительно.
Сначала выпишем разложение функции 
Вапо степеням x до x3включительно.
Положим u=x - x2, тогда
=
=1+u+u2+u3+o (u3) =1+ x - x2+ (x - x2) 2+ (x - x2) 3+o (x3) =1+x - x3 +o (x3).
Далее,
=
=1+2x (1+x - x3 +o (x3)) =1+2x+2x2-2x4+o (x4).
Второй способ. Так как
,
то на первом шаге выделяем единицу:
=.
Второе слагаемое представляем в виде Cxng2 (x) так, чтобы 
, после чего следует представить функцию g2 (x) в виде g2 (x) = 1+g3 (x) и т.д. В нашем случае:
==
=
=
=
=1+2x+
=
1+2x+2x2
=1+2x+2x2-2x4+o (x4).
Теорема 1. Если функция f (x) четна и существует f (2n+1) (0), то имеет место следующее разложение этой функции
.
Если функция f (x) нечетна и существует f (2n+2) (0), то имеет место следующее разложение этой функции
.
Теорема 2. Если функция f (x) четна и существует f (2n+2) (x) в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство
,
гдеxÎ (0,x) илиxÎ (x,0).
Если функция f (x) нечетна и существует f (2n+3) (x) в некоторой окрестности U (0), то для xÎU (0) справедливо равенство
,
гдеxÎ (0,x) илиxÎ (x,0).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке ноль
f (2k+1) (0) = 0, если f (x) четна.
Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и
f (2k) (0) = 0, если f (x) нечетна.
В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+2 включительно.
В данной курсовой работе были рассмотрены методы вычисления пределов использующие понятие производной, а именно: правило Лопиталя и формула Тейлора.
Для каждого метода рассмотрены примеры вычисления пределов. Так же было рассмотрено такое важное понятие, как скорость роста функции, играющее большую роль при вычислении пределов.
1. Дадаян А.А., Математический анализ: учебное пособие / Дадаян А.А., Дударенко В.А., - Минск, Вышэйшая школа, 1990. - 428с.
2. Марон И.А., Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции одной переменной) / Марон И.А., - М., Наука, 1970. - 400с.
Вместе с этим смотрят:
РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора
РЖнтегральнi характеристики векторних полiв
РЖнтерполювання функцiй
Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Аксонометричнi проекцii