Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики

1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале. Основные тригонометрические тождества

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 0В° до 180В°

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению

Заключение

Литература

Введение

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0⁰ до 180⁰; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".

Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия , Ваи Ваострых углов треугольника вводится для углов от Вадо , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.

Назовите катеты в ABC, APN. Назовите гипотенузы в LKM и EFA. Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в указанных треугольниках и почему?

Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL, PN, EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.

Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.

С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin , tg

Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.

Для синуса это доказывается так:

так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.

Из определений , Ваи Ваполучаем следующие правила:

v Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;

v Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;

v Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .

По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.

Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP, LN=, LM=, гипотенуза MP=m. Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).

Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.

После введения понятий , Ваи Варассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.

Задача №1. Дано: a, b. Требуется найти A, B, c.

Задача №2. Дано: a, c. Требуется найти A, B, b.

Задача №3. Дано: a, A. Требуется найти A, b, c.

Задача №4. Дано: a, B. Требуется найти A, b, c.

Задача №5. Дано: a, A. Требуется найти B, a, b.

По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Вводятся основные тригонометрические тождества:

, , , .

В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:

, .

Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла Ваи Вавозрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:

, , тогда , .

тогда из равенства правых частей получаем:

, тогда .

Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:

Пусть Ваи - острые углы, Ваи , и она пересекает стороны угловВаи Вав точках Ваи Васоответственно.

Так как , то точка Валежит между точками Ваи , тогда . А значит, по свойству наклонных, (через сравнение их проекций). Так как , , то косинус убывает. А так как , то синус возрастает.

2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от

Вадо

Расширение области определения тригонометрических функций от Вадо Вапроисходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".

Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость Ваугол . Пусть точка Ваимеет координаты Ваи . , , то из треугольника : , .

ВаОпределяются значения Ваи Ваэтими формулами для любого угла α (для ⁰-исключается).

Можно найти значения этих функций для углов 90⁰, 0⁰, 180⁰. Доказывается, что для любого угла α , 0⁰<α<180⁰, .

повернем подвижный радиус на угол 180⁰-α=

Вапо гипотенузе и острому углу: => OB₁=OB; A₁B₁=AB => x = -x₁,y = y₁=>

Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.

Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:

1) построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;

2) обозначить величину острого угла А буквой α;

3) измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;

4) вычислить отношение

5) записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);

6) измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.

Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37⁰. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37⁰, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37⁰, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37⁰. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37⁰ при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:

Определение cos, sin, tg углов от 0⁰ до 180⁰ являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.

В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 0⁰ до 180⁰. Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"

Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: Вадля острых углов и для углов от 0⁰ до 180⁰:

0⁰<α<90⁰	0⁰≤α≤180⁰
1	1
2	2
3	3

В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения тАУ во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.

Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.

3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры

Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:

В· в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;

В· затем введенные понятия обобщаются для углов от Вадо ;

В· тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:

a) Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;

b) Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);

c) Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;

d) Утверждение функциональной точки зрения на , , и Ва(трактовка , , и Вакак функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);

e) Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;

f) Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

В курсе "Алгебра 9" учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения Ваи определимы при , т.к Ваугла поворота можно найти соответствующее значение дробей Ваи Ва. Выражение Ваимеет смысл при , кроме углов поворота , , тАж, т.к. имеет смысл дробь .

Каждому допустимому значению Васоответствует единственное значение , , Ваи . Поэтому , , Ваи Ваявляются функциями угла . Их называют тригонометрическими функциями.

Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:

1. область значения Ваи - , для Ваи - множество всех действительных чисел

2. промежутки знакопостоянства: , то значит Вазависит от знака Ваи т.д.

3. , Ваи Ваявляются нечетными функциями, а Ваявляется четной функцией

4. при изменении угла на целое число оборотов значение , , , Ване изменится (под обратным понимаем поворот на ).

Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если Ваположить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .

Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.

Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .

Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:

1 четверть: , ;

2 четверть: , ; Ваи т.д.

Определение тригонометрической функции Вавыглядит так:

Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной

окружностью. Пусть точка Ваединичной окружности получена при повороте точки Вана угол в Варадиан. Ордината точки Ва- это синус угла . Числовая функция, заданная формулой , называется синусом числа, каждому числу Ваставится в соответствие число .

Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:

; .

Построим график функции

на

Делим единичную окружность и отрезок Вана 16 равных частей.

Через точку Вапроводим прямую, параллельную . Проводим прямую Вадо пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой.

Отрезок оси

, с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.

Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида , где , значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .

Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке Варавно значению синуса в точке . Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние Вав отрицательном направлении оси . Поэтому график функции Ватакже является синусоидой.

Для функций

Ваи

Ваопределяется аналогично. Область определения

- множество всех чисел, где

Построение графика: проведем касательную Вак единичной окружности в точке .

Пусть Вапроизвольное число, для которого . Тогда точка Ване лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая Вапересекает Вав некоторой точке Вас абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая Вапроходит через точки Ваи . Поэтому она имеет уравнение .

Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой находим, что ордината точки равна . Итак, ордината точки пересечения прямых и Варавна . Поэтому прямую Ваназывают линией тангенсов.

Нетрудно доказать, что абсцисса точки Вапересечения прямой с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку , равна Вапри .

Поэтому прямую m называют линией котангенсов.

Область значений
Ва- вся числовая прямая. Докажем это для функции . Пусть Ва- произвольное действительное число. Рассмотрим точку . Как только что было показано, Варавен . Следовательно, функция Вапринимает любое действительное значение , ч.т.д.

Построение графика аналогично построению

Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:

1) Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).

2) Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.

3) По окружности находим соответствующее число значений этих функций.

4) Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.

Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.

1) Функции тригонометрических функций для углов от до

(прямоугольный треугольник, планиметрия);

2) Тригонометрические функции для углов от до Ва(тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");

3) Тригонометрические функции для любого действительного числа.

Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.

К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.

Например:

1) В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .

2) В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.

3) В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см, . Определите .

4) В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.

Найдите угол B.

Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.

Одно из наиболее простых доказательств основано на применении системы координат и формулы расстояние между двумя точками. Воспроизвести доказательство по опорному конспекту:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

6. ;

, ч.т.д.

; Ваè.

С другой стороны:

Ваè

Ваè Ваè

Ва- теорема сложения.

и по доказанной формуле.

Для доказательства Васуммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:

, , , .

Проведём радиус , длина которого равна , на угол : и получили радиус , где Ваи на угол Ваи получим радиус , где .

, : , .

Ва- прямоугольник. Повернём его на угол Вавокруг точки :

; ; , т.е.

; , т.е:

; , по

Аналогично:

Тогда:

и т.д.

К функциям от углов Ваможно прийти и из геометрических соображений.

Формулы приведения для и выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:

{определяем четность, в которой оканчивается угол Ва- II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти тАУ " - ". Изменяется ли название функции тАУ нет, поэтому:} Ва= - cos .

Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.

а затем применяется уже известная формула.

Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив .

Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:

={ , }=

но:

Таким образом:

Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.

Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):

1) радианное измерение углов, sin, cos, tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;

2) основные тригонометрические тождества:

Их применение для вычисления значений sin, cos, tg;

3) формулы приведения; sin, cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;

4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель тАУ сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:

Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:

Задача №1.

Доказать тождество: