Функция плотности распределения

Задание

номер интервалаграницы интервалов tчастота m
свышедо(включительно)
157,99757,9992
257,99958,0012
358,00158,0038
458,00358,00525
558,00558,00733
658,00758,00950
758,00958,01165
858,01158,01371
958,01358,01532
1058,01558,01737
1158,01758,01926
1258,01958,0216
1358,02158,0233

1. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений

плотность распределение доверительный математический ожидание

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi), по оси ординат тАУ частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.

Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценкитАУ соответственно эмпирическое среднее Ваи эмпирическую дисперсию S2, характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений. Ваи S2 определяются из выражений:

Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:

,

где .

Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h

.


Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:

Середина интервала xi

Эмпирич. частости PтАЩi

mixi

xi-

zi

mixi2

φi(z)

Pi

57,9980,006115,996-0,012852,8749656727,5360,0063990,002863
580,006116-0,010852,427567280,0209560,009377
58,0020,022464,016-0,008851,98003426913,860,0561790,025138
58,0040,0691450,1-0,006851,53256984111,60,1232770,055162
58,0060,0921914,198-0,004851,0851031110350,2214270,099081
58,0080,1392900,4-0,002850,637638168246,40,3255530,145674
58,010,1813770,65-0,000850,190173218735,40,3917930,175314
58,0120,1974118,8520,001150,257293238942,80,3859540,172701
58,0140,0891856,4480,003150,7047581077000,3112120,139257
58,0160,1032146,5920,005151,152223124536,70,205410,091914
58,0180,0721508,4680,007151,59968987518,30,1109760,049658
58,020,017348,120,009152,04715420197,920,0490770,02196
58,0220,008174,0660,011152,49461910099,660,0177650,007949
Сумма20883,911211493

=

58,01085

S2=

1,99775E-05
S=0,00446962


2. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений

Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:

,

где N тАУ объем выборки.

Вычисление эмпирических FтАЩi и теоретических Fi значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений PтАЩi и Pi. Результаты вычислений сведены в таблицу:

Номер интервала

Pi

PтАЩi

Fi

FтАЩi

Fi-Fi'
10,0028630,0055560,0028630,0055560,002692
20,0093770,0055560,012240,011111-0,00113
30,0251380,0222220,0373790,033333-0,00405
40,0551620,0694440,0925410,1027780,010237
50,0990810,0916670,1916220,1944440,002823
60,1456740,1388890,3372950,333333-0,00396
70,1753140,1805560,5126090,5138890,00128
80,1727010,1972220,685310,7111110,025801
90,1392570,0888890,8245660,8-0,02457
100,0919140,1027780,916480,902778-0,0137
110,0496580,0722220,9661380,9750,008862
120,021960,0166670,9880980,9916670,003568
130,0079490,0083330,99604810,003952

DN= F'8 тАУ F 8= 0,025801,

N=åmi=360,


Тогда получаем:

λ= 0,48953

Для lN=0,52 g В» 0,05 Þ (1 тАУ 0,05)=0,95 >0,1.

Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.

3. Определение доверительных интервалов

В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.

Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:

интегральный доверительный интервал математический ожидание

Значения tγ табулированы и равняется tγ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.

58,00814756

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:


Значения χ12, χ22 табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ1, γ2:

Значение χ12 определяем при вероятности (1- γ1), χ22 тАУ при γ2.

χ12=24,1ВаВаВаВаВа χ22=4,18

И тогда

0,003024897<σ<0,008194587

4. Определение диапазона рассеивания значений

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .

М В»=58,01085

В»S=0,00446962

М-3В» 57.997442

М+3В» 58.024258

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001

МВ±σ

=0,4995 при этом=3,29 (по справочнику)

М-3,29=57,996146

М+3,29=58,025554


Список использованной литературы

1. Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.

Вместе с этим смотрят:


РЖнварiантнi пiдпростори. Власнi вектори i власнi значення лiнiйного оператора


Актуальные проблемы квантовой механики


Алгебра и алгебраические системы


Анализ эмпирического распределения


Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле